向量知識點題型歸納

1、專題-平面向量1.向向量的相關概念、2.向量的線性運算二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_ （答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 A

2、. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_ （答：）；（4）已知中，點在邊上，且，則的值是 （答：0）四實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當0時，注意：0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當0時，同向，當時，反向，當時，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積或點積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量

3、。如（1）ABC中，則_ （答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_ （答：）；（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為_（答：）3在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_ （答：）4的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，其夾角為，則：；當，同向時，特別地，；當與反向時，；當為銳角時，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（2）已知的

4、面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_ （答：）；六向量的運算：1幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為_ （答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為_ （答：2）；（5）若點是的外心，且，則的內角為_（答：）；2坐

5、標運算：設，則：向量的加減法運算：，。如已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是 （答：（9,1）實數(shù)與向量的積：。若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如設，且，則C、D的坐標分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_ （答：）； 兩點間的距離：若，則。七向量的運算律：1交換律：，；2結合律：，；3分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一

6、個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？八向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當_時與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設，則k_時，A,B,C共線（答：2或11）九向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，則點B的坐標是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標是_ （答：）十線段的定比分點：1定比分點的概念：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在

7、一個實數(shù) ，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；2的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段 PP上時>0；當P點在線段 PP的延長線上時<1；當P點在線段PP的延長線上時；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為。如若點分所成的比為，則分所成的比為_（答：）3線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，= 線段PP的中點公式。在使用定比分點的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，

8、-1），且，則點P的坐標為_（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（答：或）十一平移公式：如果點按向量平移至，則=，；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！如（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點_（答：（，）；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_ （答：）12、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).在中，若，則其重心的坐標為。如若ABC的三邊的中點分別為（2，1）、

9、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標為_（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_（答：直線AB）12、向量與三角形外心. 三角形外接圓的圓心,簡稱外心. 是三角形三邊中垂線的交點. （下左圖）重心 三角形三條中線的交點,叫做三角形的重心.掌握重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.（上右圖）三、垂心 三角形三條高的交點,稱為三角形的垂心.（下左圖）四、內心 三角形內切圓的圓心,簡稱為內心. 是三角形三內角平分線的交點

10、.三角形內角平分線性質定理:三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例.（上右圖）題型一：共線定理應用例一：平面向量共線的充要條件是（ ）A.方向相 同 B. 兩向量中至少有一個為零向量 C.存在 D存在不全為零的實數(shù)變式一：對于非零向量，“”是“”的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設是兩個非零向量（ ）A.若則 B. 若，則 C. 若，則存在實數(shù)，使得 D若存在實數(shù)，使得，則例二：設兩個非零向量，不共線，（1）如果（2）如果求實數(shù)k的值。變式一：設兩個不共線向量，若三點A,B,D共線，求實數(shù)k的值。變式二：已知向量，

11、且則一定共線的三點是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D題型二：線段定比分點的向量形式在向量線性表示中的應用例一：設P是三角形ABC所在平面內的一點，則（ ）A. B. C. D. 變式一：已知O是三角形ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，且,那么（ ）A. B. C. D. 變式二：在平行四邊形ABCD中，,M為BC的中點，則 ( 用表示)例二：在三角形ABC中，,若點D滿足,則( )A. B. C. D. 變式一：(高考題) 在三角形ABC中，點D在邊AB上，CD平分角ACB,，,則( )A. B. C. D. 變式二：設D,E,F分別是三角形ABC的邊

12、BC,CA,AB上的點，且則與( )A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若,其則=變式四：在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若則( )A. B. C. D. 題型三：三點共線定理及其應用例一：點P在AB上，求證：且=1（）變式：在三角形ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M和N,若則m+n=例二：在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，DE與AF交于點H,設則A. B. C. D. 變式：在三角形

13、ABC中，點M是BC的中點，點N是邊AC上一點且AN=2NC,AM與BN相交于點P,若求的值。題型四： 向量與三角形四心一、 內心例一：O是ABC所在平面內一定點，動點P滿足，則點P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心 變式一：已知非零向量與滿足，且，則ABC為（ ）A. 等邊三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形變式二：P為ABC的內心二、重心例一：O是ABC內一點，則為ABC的（ ）A.外心B.內心C.重心 D.垂心 變式一：在ABC中，G為平面上任意一點，證明：O為ABC的重心變式二：在ABC中，G為平面上任意一點，證明：

14、O為ABC的重心三垂心：例一：求證：在ABC中， O為ABC的垂心變式一：O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則點P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心 四外心例一：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，則變式一：已知點O，N，P在ABC所在平面內，且，則O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、內心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 內心題型五：向量的坐標運算 例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且,試求點M,N和的坐標。變式一：已知平面向量其中t和k 為不同時為零

15、的實數(shù)，（1）若，求此時k和t滿足的函數(shù)關系式k=f(t);(2)若，求此時k和t滿足的函數(shù)關系式k=g(t).變式二：平面內給定3個向量，回答下列問題。（1）求；（2）求滿足的實數(shù)m,n;(3)若，求實數(shù)k；（4）設且，求。題型六：向量平行（共線）、垂直充要條件的坐標表示例一：已知兩個向量,當實數(shù)k取何值時，向量與平行？變式一：設向量a,b滿足|a|=，b=（2,1），且a與b反向，則a坐標為_例二：已知向量且A,B,C三點共線，則k=（ ）A: B: C: D:變式一：已知且a/b，則銳角為_變式二：ABC的三內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c 設向量若，則C的大小為（ ）A: B:

16、 C: D:題型七：平面向量的數(shù)量積例一：（1）在RtABC中，C=90°，AC=4，則（ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16（2）(高)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_；的最大值為_（3）在ABC中，M是BC中點，AM=1，點P在AM上滿足，則等于（ ）A: B: C: D:變式一：(高) 如圖所示，平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=_變式二：在ABC中，AB=1，BC=，AC=，若O為ABC的重心，則的值為_例二：(高)在矩形ABCD中，AB=,BC=2,點E為BC的中點，點F在邊CD上，若,則的值是 變式一：(高)在A

17、BC中，,AC=2.設點P,Q滿足,若,則=（ ）A: B: C: D:2 例三：已知向量滿足則 變式一：在ABC中，若則 變式二：已知向量滿足則 變式三：已知向量滿足則 題型八：平面向量的夾角例一：已知向量則的夾角是例二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式一：已知向量滿足則的夾角是變式二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式三：若向量不共線，則的夾角是變式四：(高) 若向量滿足且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為.，則的夾角的取值范圍是例二：已知，的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍。變式一：設兩個向量，滿足，的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍。變式二：已知均為單位向量，其夾

18、角為，有下列4個命題：其中的真命題是（ ）A. B. C. D. 題型九：平面向量的模長例一：已知，向量的夾角為，求，。變式一：已知向量滿足，則= 變式二：已知向量滿足的夾角為，則= 變式三：在ABC中，已知求.例二：已知向量的夾角為，則= 變式一：(高) 已知向量的夾角為，且則= 變式二：設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，,=,則 變式三：已知向量，若則 例三：已知向量，滿足，且的取值范圍是 變式一：已知單位向量，且，的最大值為 變式二：(高)已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 動點，則的最小值為 題型十：平面向量在三角函數(shù)中的應用例一：在ABC中，A,B,C所對邊的長分別為a,b,c，已知向量，且滿足（1）求A的大小（2）求的值變式一：已知變量，函數(shù)（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的單調遞增區(qū)間（3）如果ABC的三邊a,b,c滿足，且b邊所對的角為x，試求x的范圍和此時f(x)的值域變式二：已知向量（1