生物數(shù)學(xué)結(jié)課論文

1、 生物數(shù)學(xué)結(jié)課論文 班級(jí)：研數(shù)理1433 學(xué)號(hào)：1142209024 姓名： 王艷紅 乙型肝炎傳播的模型及其動(dòng)力學(xué)性態(tài)分析1引言傳染病歷來(lái)就是危害人類(lèi)健康的大敵，歷史上傳染病一次又一次的流行給人類(lèi)生存和國(guó)計(jì)民生帶來(lái)了巨大的災(zāi)難。1990年蘇聯(lián)發(fā)生白喉流行，波及東歐15個(gè)國(guó)家，病例超過(guò)10萬(wàn)人；各種類(lèi)型的肝炎在不少國(guó)家廣泛流行；性病患者顯著上升；人類(lèi)新的致命殺手艾滋病(AIDS)來(lái)勢(shì)兇猛，聯(lián)合國(guó)艾滋病規(guī)劃署(UNAIDS)和世界衛(wèi)生組織最新報(bào)告顯示，截至2000年底，全球累計(jì)感染免疫缺陷(HIV)病毒的總?cè)藬?shù)已達(dá)5790萬(wàn)人，涉及193個(gè)國(guó)家和地區(qū)，其中累計(jì)已死亡于AIDS病的人數(shù)為2180萬(wàn)，

2、且90以上發(fā)生在發(fā)展中國(guó)家。每天有近16000名新感染者，該兩組織估計(jì)，若不采取緊急有效措施，至U2101年非洲人的平均壽命將因艾滋病而下降到30歲，艾滋病將導(dǎo)致非洲撒哈拉沙漠以南的地區(qū)一半的人口死亡。傳染病動(dòng)力學(xué)是對(duì)傳染病進(jìn)行定量研究的一種重要方法，它是根據(jù)種群生長(zhǎng)的特性，疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)傳播、發(fā)展規(guī)律，以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素，建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性、定量分析，來(lái)顯示疾病的發(fā)展過(guò)程，揭示其流行規(guī)律，預(yù)測(cè)其變化發(fā)展趨勢(shì)，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，尋求對(duì)其預(yù)防和控制的最優(yōu)策略，為人們防治決策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù)。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法相比，動(dòng)力學(xué)方

3、法能更好地從疾病的傳播機(jī)理方面來(lái)反映流行規(guī)律，能使人們了解流行過(guò)程中的一些全局性態(tài)，能使所建立的理論與防治策略更加可靠和符合實(shí)際。流行病的傳播規(guī)律和防治對(duì)策的研究是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的重大問(wèn)題，對(duì)疾病流行規(guī)律的定量研究是防治工作的重要依據(jù)，因此，對(duì)流行病的數(shù)學(xué)模型的研究在全世界越來(lái)越受到人們的重視。而幾年前，衛(wèi)生部就已將肝炎列為威脅我國(guó)人民健康的頭號(hào)“敵人”。我國(guó)堪稱(chēng)是“肝炎大國(guó)”，是乙型肝炎高發(fā)區(qū)，在法定傳染病中，其發(fā)病率僅次于感染性腹瀉與流行性感冒而居第三位。乙型肝炎己成為我國(guó)重大的公共衛(wèi)生問(wèn)題之一，同時(shí)也成了全世界醫(yī)學(xué)界共同關(guān)注的重要課題。2 基本概念2.1傳染病動(dòng)力學(xué)中的基本概念 易感者(s

4、usceptibles)類(lèi)，其數(shù)量記為,表示時(shí)刻未染病但是有可能被該類(lèi)疾病傳染的人數(shù)。染病者(infectives)類(lèi)，其數(shù)量記為，表示時(shí)刻己被感染成病人而且具有傳染力的人數(shù)。移出者(removed)類(lèi)，其數(shù)量汜為，表示時(shí)刻已從染病者類(lèi)移出的人數(shù)。移出率和恢復(fù)率：假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)從染病者類(lèi)移出的人數(shù)與病人數(shù)量成正比，比例系數(shù)為，從而單位時(shí)間內(nèi)移出者的數(shù)量為。顯然，是單位時(shí)間內(nèi)移出者在病人中所占的比例，稱(chēng)為移出率。當(dāng)移出者中僅包括康復(fù)者時(shí)，移出率又稱(chēng)為恢復(fù)率。有效接觸率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)病人與他人接觸的次數(shù)稱(chēng)為接觸率，它通常依賴于環(huán)境中的總?cè)丝跀?shù)，記作。如果被接觸者為易感者，就會(huì)有一定程度的傳染，設(shè)

5、每次接觸傳染的概率為，我們把賦有傳染概率成的接觸稱(chēng)為有效接觸，這時(shí)的接觸率稱(chēng)為有效接觸率。它表示一個(gè)病人傳染他人(易感者)的能力。 傳染率及發(fā)生率：一般來(lái)說(shuō)總?cè)丝谥谐赘姓吆突疾≌咄膺€可能包含有疾病免疫者和潛伏者。當(dāng)病人與非易感者接觸時(shí)不會(huì)發(fā)生傳染，而易感者在總?cè)肟谥兴嫉谋壤秊?。因此，每一病人平均?duì)易感者的有效接觸率為，也就是每一個(gè)病人平均對(duì)易感者的傳染率，簡(jiǎn)稱(chēng)傳染率。從而時(shí)刻在單位時(shí)間內(nèi)被所有病人傳染的人(即新病人)數(shù)為 稱(chēng)為此疾病的發(fā)生率。雙線性發(fā)生率：假定接觸率與環(huán)境內(nèi)人口總數(shù)成正比，即，于是時(shí)刻的有效接觸率為，其中是有效接觸率在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例，稱(chēng)為有效接觸率系數(shù)或傳染率系數(shù)，從

6、而時(shí)刻在單位時(shí)問(wèn)內(nèi)所產(chǎn)生的新病人數(shù)也就是疾病的發(fā)生率為 所以當(dāng)有效接觸率為時(shí)，發(fā)生率為，這種發(fā)生率成為雙線性發(fā)生率。標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率：當(dāng)人口數(shù)量很大時(shí)，與人口成正比的接觸率顯然是不符合實(shí)際的，因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)病人所能接觸他人的數(shù)目是有限的。這時(shí)通常假定接觸率為一常數(shù)，即有效接觸率為，從而疾病的發(fā)生率為，這種發(fā)生率稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率?；驹偕鷶?shù)：在發(fā)病初期，有人均為易感者時(shí)，一個(gè)病人在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)，成為基本再生數(shù)。對(duì)于KermackMcKendrick的SIR倉(cāng)室模型，得到了疾病是否流行的閥值 當(dāng)時(shí)，疾病不會(huì)流行，染病者數(shù)量I(t)將會(huì)單調(diào)下降而趨近于零當(dāng)時(shí)，疾病將會(huì)流行，染病者數(shù)量，I(t

7、)會(huì)逐漸上升而最終發(fā)展成地方病是作為疾病足否消亡的閥值，意義非常重大2.2乙肝病毒的流行病學(xué)特征 肝炎是肝臟炎癥的統(tǒng)稱(chēng)。通常是指由多種致病因素-如病毒、細(xì)菌、寄生蟲(chóng)、化學(xué)毒物、藥物、酒精、自身免疫因素等使肝臟細(xì)胞受到破壞，肝臟的功能受到損害，引起身體一系列不適癥狀，以及肝功能指標(biāo)的異常。乙型病毒性肝炎是其中的一種，簡(jiǎn)稱(chēng)“乙肝”。乙型肝炎是我國(guó)感染人數(shù)最多、危害最大的傳染病。目前，我國(guó)約有1. 2億人是乙型肝炎病毒(簡(jiǎn)稱(chēng)乙肝HBV)攜帶者.慢性乙型肝炎患者約有3萬(wàn)人。乙型肝炎如果得不到有效控制進(jìn)一步發(fā)展，將會(huì)演變成為肝硬化和肝癌，使患者的生活質(zhì)量下降，壽命縮短。日前對(duì)于乙型肝炎的治療目標(biāo)，國(guó)內(nèi)外

8、廠泛的共識(shí)是通過(guò)藥物治療長(zhǎng)期或持久地抑制乙肝病毒復(fù)制，控制疾病的進(jìn)展，減少肝硬化和肝癌的發(fā)生。體內(nèi)帶有乙肝病毒(HBV)的人是主要傳染源，其中包括各型乙肝患者、乙肝表面抗原(HBsAg)陽(yáng)性攜帶者、及(HBV)陽(yáng)性其他患者(肝硬化、肝癌)，值得注意的是HBV的慢性攜帶者占我國(guó)人群的10一20，這些人長(zhǎng)期帶菌，在潛在和母嬰垂直傳播上，起著重要作用，故而在本模型的建立中視HBV的慢性攜帶者為患者。所有未感染乙肝病毒的人都是易感者。 研究表明，乙肝病毒感染人體，主要是通過(guò)水平傳播和垂直傳播兩種方式。乙肝患者通過(guò)輸血、注射等方式，將乙肝病毒傳給周?chē)慕】等巳?，即水平傳播。如果孕婦患急性乙肝，或者是乙肝

9、病毒攜帶者，就有可能將乙肝病毒傳給其嬰兒，即母嬰傳播，也稱(chēng)垂直傳播。大凡既往已經(jīng)感染過(guò)HBV的人，其中絕大多數(shù)體內(nèi)已產(chǎn)生了乙肝保護(hù)性抗體乙肝表面抗體(抗-HBS)或乙肝核心抗體(抗一HBC)，具有天然的主動(dòng)免疫力。故而在本模型中恢復(fù)者被視為具有永久免疫力。值得欣慰的是，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)已經(jīng)研制出有效的乙肝疫苗，一般而言乙肝疫苗免疫成功率能達(dá)到90以上，也就是說(shuō)某些易感者可以直接進(jìn)入移出者類(lèi)。建立模型時(shí)我們還應(yīng)該考慮這一點(diǎn)。3乙肝模型3.1乙肝模型的建立 在一般的SIR流行病模型里，把人口N分為易感者類(lèi)S，染病者類(lèi)I和恢復(fù)者類(lèi)R假設(shè)在t時(shí)刻易感者類(lèi)、染病者類(lèi)和移出者類(lèi)的數(shù)量分別為S(t)，I(t)，和R

10、(t)，則三者之和等于總?cè)丝贜(t)， 即S(t)+I(t)+R(t)=N(t) 假設(shè)為接觸率，傳統(tǒng)的流行病學(xué)模型通常采用雙線性發(fā)生率，也就是假設(shè)接觸率與人口數(shù)量成正比，研究小范圍的疾病時(shí)這種假設(shè)是比較合理的，當(dāng)人口數(shù)量很大時(shí)，與人口成正比的接觸率顯然是不符合實(shí)際的，因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)病人所能接觸的他人的數(shù)目是有限的，這時(shí)通常假定接觸率為一常數(shù)k，有效接觸率則為。從而疾病的發(fā)生率為，這種發(fā)生率稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率。另外假設(shè)各參數(shù)的意義如下：b為人口的出生率，為人口的自然死亡率，為因病死亡率，P為免疫接種的成功率，為恢復(fù)率，為母嬰垂直傳播的概率，為未被母嬰傳播的概率，所以以上參數(shù)都是大于0而小于1的正

11、常數(shù)，其中m+n=1。根據(jù)以上各參數(shù)的意義，在以下模型中都假設(shè)，這種假設(shè)在大部分地區(qū)都是合理的。倉(cāng)室模型如下：由以上倉(cāng)室模型圖可得如下常微分方程組： 其中，所以有。 分別表示易感者（S)，染病者（I)和恢復(fù)者（R)在總種群中所占比例，通過(guò)直接計(jì)算可得： 因?yàn)?，所以，系統(tǒng)（3.2）的前兩個(gè)方程可寫(xiě)為： 易知為系統(tǒng)（3.3）正向不變集。 令系統(tǒng)（3.3）右端的向量場(chǎng)為零，則系統(tǒng)（3.3）的無(wú)病平衡點(diǎn)為，其中，即。 令，我們稱(chēng)其為基本再生數(shù)。它反映了在全部是易感者的人口中，進(jìn)入一個(gè)染病者，該患者在他的病程內(nèi)傳染的病人數(shù)。在該模型中，當(dāng)?shù)匾粋€(gè)患者進(jìn)入該人口群體時(shí)，人口處于平衡狀態(tài)且易感者的數(shù)量為，因

12、此該患者在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)為，有模型可以看出平均患病期為，因此該模型的基本再生數(shù)為。從系統(tǒng)（3.3）可以得到，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（3.3）存在唯一的正平衡點(diǎn)，其中 3.2模型各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性定理3.1 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng) 只存在唯一的可行平衡點(diǎn)，即無(wú)病平衡點(diǎn)，它是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，不穩(wěn)定。證明：系統(tǒng)（3.3）在平衡點(diǎn)處的線性化矩陣為 易見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，矩陣的所有特征根都是負(fù)的，所以，當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。下面判斷時(shí)點(diǎn)的全局穩(wěn)定性：取Dulac函數(shù)，那么 故系統(tǒng)（3.3）在其最大不變集D內(nèi)無(wú)環(huán)，故當(dāng)時(shí)，是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，線性化矩陣有一個(gè)正的特征根，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)不穩(wěn)定的。 定理3.2 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng) 的正平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。 證明： 系統(tǒng)（3.3）在平衡點(diǎn)處的線性化矩陣為 為了方便起見(jiàn)，記 所以的特征方程為 特征方程的兩個(gè)特征根分別為 易知恒成立。注意在本定理中，即，所以。有Hurwize判據(jù)知道當(dāng)時(shí)，正平衡點(diǎn)時(shí)局部漸近穩(wěn)定的。又有前面的Dulac函數(shù)知道，系統(tǒng)在整個(gè)不變集內(nèi)無(wú)環(huán)，所以正平衡點(diǎn)時(shí)全局漸近穩(wěn)定的。4生物學(xué)意義 從基本再生數(shù)及定理3.1和定理