魅力無窮的完全數(shù)

1、魅力無窮的完全數(shù)來源 奇趣數(shù)學苑（許興華數(shù)學 /選編）公元前3 世紀時，古希臘數(shù)學家對數(shù)字情有獨鐘。他們在對數(shù)的 因數(shù)分解中，發(fā)現(xiàn)了一些奇妙的性質，如有的數(shù)的真因數(shù)之 和彼此相等，于是誕生了親和數(shù)；而有的真因數(shù)之和居然等 于自身，于是發(fā)現(xiàn)了完全數(shù)。 6 是人們最先認識的完全數(shù)。 發(fā) 現(xiàn)完全數(shù) 研究數(shù)字的先師畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn) 6 的真因數(shù) 1、2、 3 之和還等于 6 ，他十分感興趣地說：“6象征著完滿的婚姻 以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自 身。” 古希臘哲學家柏拉圖在他的共和國一書中提出了 完全數(shù)的概念。 約公元前 300 年，幾何大師歐幾里得在他 的巨著幾何原本第九章最后

2、一個命題首次給出了尋找完 全數(shù)的方法，被譽為歐幾里得定理：“如果 2n1 是一個素 數(shù)，那么自然數(shù) 2n-1 一定是一個完全數(shù)。 ”并給出了證明。公 元1 世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘著名數(shù)學家尼可馬 修斯在他的數(shù)論專著算術入門一書中，正確地給出了 6、 28、496 、8128 這四個完全數(shù)，并且通俗地復述了歐幾里得 尋找完全數(shù)的定理及其證明。他還將自然數(shù)劃分為三類：富 裕數(shù)、不足數(shù)和完全數(shù)，其意義分別是小于、大于和等于所 有真因數(shù)之和。 千年跨一步 完全數(shù)在古希臘誕生后，吸引 著眾多數(shù)學家和數(shù)學愛好者像淘金般去尋找?？墒?，一代又 一代人付出了無數(shù)的心血， 第五個完全數(shù)沒人找到。 后來，

3、 由于歐洲不斷進行戰(zhàn)爭，希臘、羅馬科學逐漸衰退，一些優(yōu) 秀的科學家?guī)е麄兊某晒椭腔奂娂娞油⒗?、印度?意大利等國，從此，希臘、羅馬文明一蹶不振。 直到 1202 年才出現(xiàn)一線曙光。意大利的斐波那契，青年時隨父游歷古 代文明的希臘、 埃及、阿拉伯等地區(qū)， 學到了不少數(shù)學知識。 他才華橫溢， 回國后潛心研究所搜集的數(shù)學， 寫出了名著算 盤書，成為 13 世紀在歐洲傳播東方文化和系統(tǒng)將東方數(shù)學 介紹到西方的第一個人，并且成為西方文藝復興前夜的數(shù)學 啟明星。斐波那契沒有放過完全數(shù)的研究，他經過推算宣布 找到了一個尋找完全數(shù)的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為 過眼煙云。 光陰似箭， 1460 年，

4、還當人們迷惘之際，有人 偶然發(fā)現(xiàn)在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個完 全數(shù) 33550336 。這比起第四個完全數(shù) 8128 大了 4000 多倍。 跨度如此之大，在計算落后的古代可想發(fā)現(xiàn)者之艱辛了，但 是，手稿里沒有說明他用什么方法得到的，又沒有公布自己 的姓名，這更使人迷惑不解了。 發(fā)現(xiàn)非一帆風順 在無名氏 成果鼓勵下， 15 至 19 世紀是研究完全數(shù)不平凡的日子，其 中 17 世紀出現(xiàn)了小高潮。 16 世紀意大利數(shù)學家塔塔利亞 小時曾被法國入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，后 來靠自學成為一位著名數(shù)學家。他研究發(fā)現(xiàn)：當n = 2和n= 3 至 39 的奇數(shù)時， 2n-1(2

5、n-1) 是完全數(shù)。 17 世紀“神數(shù)術”大師龐格斯在一本洋洋 700 頁的巨著數(shù)的玄學中，一口 氣列出了 28 個所謂“完全數(shù)”，他是在塔塔利亞給出的 20 個 的基礎上補充了 8 個?？上扇硕紱]有給出證明和運算過程， 后人發(fā)現(xiàn)其中有許多是錯誤的。 1603 年，數(shù)學家克特迪歷 盡艱辛，終于證明了無名氏手稿中第五個完全數(shù)是正確的， 同時他還正確地發(fā)現(xiàn)了第六個和第七個完全數(shù) 216(217-1) 和 218(219-1) ，但他又錯誤地認為 222(223-1) 、228( 229-1 ) 和 236 ( 237-1 )也是完全數(shù)。這三個數(shù)后來被大數(shù)學家費 爾馬和歐拉否定了。 1644 年，

6、法國神甫兼大數(shù)學家梅森指 出，龐格斯給出的 28 個“完全數(shù)”中，只有 8 個是正確的， 即 當 n = 2, 3, 5 , 7, 13 ,17,19 ,31 時，2n- 1(2n-1)是完全數(shù)，同時又增加了n = 67 , 127和257。在未證明的情況下他武斷地說：當nW 257時，只有這 11個完全數(shù)。這就是著名的“梅森猜測”。 “梅森猜測”吸引了許多人的研究， 哥德巴赫認為是對的；微積分發(fā)現(xiàn)者之一的德國萊布尼茲也 認為是對的。他們低估了完全數(shù)的難度。1730 年，被稱為世界四大數(shù)學家雄獅之一的歐拉，時年 23 歲，正值風 華茂盛。 他出手不凡，給出了一個出色的定理：“每一個偶完全數(shù)都是

7、形如 2n-1(2n-1) 的自然數(shù)， 其中 n 是素數(shù)， 2n-1 也 是素數(shù)”，并給出了他一直沒有發(fā)表的證明。 這是歐幾里得定 理的逆定理。有了歐幾里得與歐拉兩個互逆定理，公式 2n-1(2n-1) 成為判斷一個偶數(shù)是不是完全數(shù)的充要條件了。歐拉研究“梅森猜測”后指出：“我冒險斷言：每一個小于 50 的素數(shù)，甚至小于 100 的素數(shù)使 2n-1(2n-1) 是完全數(shù)的僅有 n 取 2, 3, 5 , 7, 13 , 17, 19 , 31 , 41 , 47，我從一個優(yōu) 美的定理出發(fā)得到了這些結果，我自信它們具有真實性?！?1772 年，歐拉因過度拼命研究雙目已經失明了，但他仍未 停止研究

8、，他在致瑞士數(shù)學家丹尼爾的一封信中說： “我已經 心算證明n = 31時，230(231 -1)是第8個完全數(shù)?！蓖瑫r，他 發(fā)現(xiàn)他過去認為n=41和n= 47時是完全數(shù)是錯誤的。歐拉定理和他發(fā)現(xiàn)的第 8 個完全數(shù)的方法，使完全數(shù)的研究發(fā)生 了深刻變化，可是，人們仍不能徹底解決“梅森猜測” 。1876年，法國數(shù)學家魯卡斯創(chuàng)立了一種檢驗素數(shù)的新方法，證明 n = 127時確實是一個完全數(shù)， 這使“梅森猜測”之一變成事實， 魯卡斯的新方法給研究完全數(shù)者帶來生機， 同時也動搖了“梅 森猜測”。因數(shù)學家借助他的方法發(fā)現(xiàn)猜測中n = 67 , n =257 時不是完全數(shù)。 在以后 1883 1931 年的

9、 48 年間， 數(shù)學家發(fā)現(xiàn)“梅森猜測”中nW 257范圍內漏掉了 n = 61 , 89 , 107 時的三個完全數(shù)。 至此，人們前仆后繼，不斷另辟新路 徑，創(chuàng)造新方法，用筆算紙錄，耗時二千多年，共找到 12 個完全數(shù)，即 n = 2,3 , 5, 7, 13 , 17 , 19 , 31 , 61 ,89， 107， 127 時， 2n-1(2n-1) 是完全數(shù)。 笛卡爾曾公開預 言：“能找出完全數(shù)是不會多的，好比人類一樣，要找一個完 全人亦非易事?！?歷史證實了他的預言。從1952年開始， 人們借助高性能計算機發(fā)現(xiàn)完全數(shù)， 至 1985 年才找到 18 個， 多么可憐！ 等待揭穿之謎 迄今

10、為止，發(fā)現(xiàn)的 30 個完全數(shù)， 統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)，于是，數(shù)學家提出猜測：存不存在奇數(shù)完全 數(shù)。 1633 年 11 月，法國數(shù)學家笛卡爾給梅森一封信中， 首次開創(chuàng)奇數(shù)完全數(shù)的研究，他認為每一奇完全數(shù)必具有 PQ2 的形式， 其中 P 是素數(shù)， 并聲稱不久他會找到， 可不僅 直到他死時未能找到，而且至今，沒有任何一個數(shù)學家發(fā)現(xiàn) 一個奇完全數(shù)。它成為世界數(shù)論又一大難題。 雖然，誰也 不知道它們是否存在，但經過一代又一代數(shù)學家研究計算， 有一點是明確的。那就是如果存在一個奇完全數(shù)的話，那么 它一定是非常大的。 有多大呢？遠的不說，當代大數(shù) 學家奧爾檢查過 1018 以下自然數(shù)， 沒有一個奇完全數(shù)； 19

11、67 年，塔克曼宣布，如果奇完全數(shù)存在，它必須大于 1036 ， 這是一個 37 位數(shù)； 1972 年，有人證明它必大于 1050 ；1982 年，有人證明，它必須大于 10120 ;這種難于捉摸的奇 完全數(shù)也許可能有，但它實在太大，以至超出了人們能夠用 計算機計算的范圍了。 對奇完全數(shù)是否存在，產生如此多 的估計，也是數(shù)學界的一大奇聞！ 關于完全數(shù)還有許多待 揭之謎，比如：完全數(shù)之間有什么關系？完全數(shù)是有限還是 無窮多個？存在不存在奇完全數(shù)？ 人們還發(fā)現(xiàn)完全數(shù)的一 個奇妙現(xiàn)象，把一個完全數(shù)的各位數(shù)字加起來得到一個數(shù)， 再把這個數(shù)的各位數(shù)字加起來，又得到一個數(shù)，一直這樣做下去，結果一定是1。例如，對于 28 , 2 + 8 = 10, 1