高等數(shù)學(xué)B答案含綜合練習(xí)

1、高等數(shù)學(xué) (B)(1) 作業(yè)答案高等數(shù)學(xué)(B) (1)作業(yè)1初等數(shù)學(xué)知識(shí)一、名詞解釋：鄰域一一設(shè)a和 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 0,滿足不等式x a 的實(shí)數(shù)x的全體，稱為點(diǎn)a的鄰域。鄰對(duì)值一一數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離稱為數(shù)a的絕對(duì)值。記為a o區(qū)間一一數(shù)軸上的一段實(shí)數(shù)。分為開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間、無(wú)窮區(qū) 問(wèn)。數(shù)軸一一規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和長(zhǎng)度單位的直線。實(shí)數(shù)一一有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。二、填空題1 .絕對(duì)值的性質(zhì)有 a 0、|ab 即、-ja(b 0)、 a a |a、b iba b a 忖、1abia b。2 .開(kāi)區(qū)間的表示有(a,b)、土 匕3 .閉區(qū)間的表示有a, b、=匕4 .無(wú)

2、窮大的記號(hào)為_(kāi)。5 .(,)表示全體實(shí)數(shù),或記為 x 。6 . ( , b)表示小于p的實(shí)數(shù),或t己為x b。7 . (a,)表示大于_a_的實(shí)數(shù),或記為a x 。8 .去心鄰域是指(a , a) (a, a)的全體。用數(shù)軸表示即為 9.MANZUL E &.+ 巳9 .滿足不等式 2 -1的數(shù)x用區(qū)間可表示為(1, 1x2三、回答題1 .答：(1)發(fā)展符號(hào)意識(shí)，實(shí)現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)的運(yùn)算到抽象符號(hào)運(yùn)算的轉(zhuǎn)變 (2)培養(yǎng)嚴(yán)密的思維能力，實(shí)現(xiàn)從具體描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變。(3)培養(yǎng)抽象思維能力，實(shí)現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。(4)樹(shù)立發(fā)展變化意識(shí)，實(shí)現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。2.3.4.

3、答：包括整數(shù)與分?jǐn)?shù)。答：不對(duì)，可能有無(wú)理數(shù)。5.1(2I)o答：等價(jià)于(1,5。四、計(jì)算題1.解：(x1)(x2)解集為(,1)(2,2,解：x26x(x1)(x5)x 5或x3.解:x23x10解集為(x 2)(x1電5) 0x25為方程的解。數(shù)(P3)一、名詞解釋D內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)函數(shù)一一設(shè)x與y是兩個(gè)變量，若當(dāng)x在可以取值的范圍 值時(shí)，變量y通過(guò)某一法則f,總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量 y是變量 x的函數(shù)。其中D叫做函數(shù)的定義域，f稱為對(duì)應(yīng)法則，集合G=y|y=f(x),x D 叫做函數(shù)的值域。數(shù)函數(shù)一一若函數(shù)y f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)于任意的 x,包有 f( x)f(x

4、),則稱函數(shù)y f(x)為奇函數(shù)。函函數(shù)一一若函數(shù)y f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)于任意的 x,包有 f ( x) f (x),則稱函數(shù)y f(x)為偶函數(shù)。定義域一一自變量的取值范圍，記作 x Do函域所有函數(shù)值組成的集合，記作 G=y|y=f(x),x D初等數(shù)學(xué)一一包括幾何與代數(shù)，基本上是常量的數(shù)學(xué)。三角函數(shù)： 稱 y sin x, y cosx, y tan x, y cot x, y secx, y cscx為 三角函數(shù)。指數(shù)函數(shù)稱函數(shù)y ax(a 0, a 1)為指數(shù)函數(shù)。復(fù)合函數(shù) 設(shè)y f(u), u (x),若u (x)的值域包含在y f(u)的定 義域中，則y通過(guò)u構(gòu)成

5、x的函數(shù)，記作y f ( (x),稱其為復(fù)合函數(shù)，u稱為 中間變量。指數(shù)函數(shù)稱函數(shù)y log a x(a 0,且a 1)為對(duì)數(shù)函數(shù)。指函數(shù)一一若函數(shù)y f(x)的值域?yàn)镚,若y G ,都有一個(gè)確定的且滿 足y f(x)的x值與之對(duì)應(yīng)。則由此得到一個(gè)定義在 G上的以y為自變量、x為 因變量的新函數(shù)，稱它為y f(x)的反函數(shù)，記作x f 1(y) o指函數(shù)稱函數(shù)y x (為實(shí)數(shù))為幕函數(shù)。常函數(shù)一一稱函數(shù)y c(c為常數(shù))為常函數(shù)。常量一一在某一變化過(guò)程中，始終保持不變的量。變量一一在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量。二、填空題2 .函數(shù)概念最早是由萊布尼茲引進(jìn)的。有了函數(shù)概念，人們就可以從數(shù)

6、量 上描述運(yùn)動(dòng)。0, x是無(wú)理數(shù)1, x是有理數(shù)3 .在歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是狄里克山給出了一個(gè)不能畫(huà)出圖形的函數(shù)。這就是著名的狄里克雷函數(shù)，其表達(dá)式是f(x)4 .函數(shù)的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。5 .函數(shù)表達(dá)了因變量與自變量之間的一種對(duì)應(yīng)規(guī)則。6 .單值函數(shù)是當(dāng)自變量在定義域中取定了一數(shù)值時(shí)、與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 唯一的函數(shù)。7 .奇函數(shù)的圖像特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、偶函數(shù)的圖像特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱。8 .單調(diào)函數(shù)的圖像特點(diǎn)是總是上升或總是下降。9 .反函數(shù)的圖像特點(diǎn)是關(guān)于直線 y=x對(duì)稱。三、回答題1 .答：設(shè)函數(shù)y f(x)在集合D上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù) M ,對(duì)所有的

7、x D ,恒有f (x) M ,則稱函數(shù)y f(x)為有界函數(shù)。2 .答：(1)當(dāng)一個(gè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有界時(shí)，正數(shù)M的取法不 是唯一的。(2)有界性是依賴于區(qū)間的f (x)在則函數(shù)3 .答：*, X2 (a, b),且xi X2,則£(%) f (X2) ,則稱函數(shù) y 區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)增加。否則，稱為單調(diào)減少。4 .答：若函數(shù)y f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)，其值域是(c, d), y f(x)存在反函數(shù)y f 1(x),其定義域是(c, d),值域是(a, b)。四、作圖題(1) y x2 解：是拋物線。(2) y x3 解：是立方拋物線。(3) y

8、 sin x 解：是正弦曲線。(4) y cosx解：是余弦曲線。(5) y tanx 解：是正切曲線。1(6) y x2 解：是半拋物線。(7) y ln x 解：是自然對(duì)數(shù)函數(shù)。(8) y 2x 解：是指數(shù)函數(shù)(a>1)。(9) y log2 x解：是對(duì)數(shù)函數(shù)(a>1)。(10) y 10gl x解：是對(duì)數(shù)函數(shù)(a<1) 2(11) y e x解：是指數(shù)函數(shù)(a<1)(12) y ex 解：是指數(shù)函數(shù)(a>1)第(1)題圖 第(2)題圖第(3)題圖第(7)題圖第(8)題圖第(9)題圖o2 rl2(1)解：s(2)解：設(shè)長(zhǎng)為x,寬為y ,則2x 2y y 106

9、0x 20y 10面積 s 20 10 200cm2。(3)解：x 1 0 x1,所以定義域?yàn)?1,)1522(4)解：f(2) log 2 5 ,f (-) log 2-， f (a b) log 2 (a 2ab b 1)24-24f(x ) log2(x1)。(5)解：由y 上解彳導(dǎo)x 上上，交換x和y,得到y(tǒng) 上的反函數(shù)x 21 yx 22xy ，由x 1 0 x 1,故定義域?yàn)?，1) (1,)。1 x(6)解：復(fù)合函數(shù)為 y (vT7 1)2 1 x 2jxi 3六、討論題答：(1)復(fù)合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運(yùn)算；(2)并不是任何兩個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)；(3)復(fù)合函數(shù)可以是由多

10、個(gè)(大于兩個(gè))函數(shù)復(fù)合而成；(4) y f(u), u (x)中，后者的值域正好是前者的定義域；(5)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的各簡(jiǎn)單函數(shù)，除了最后一個(gè)外，都是基本初等函數(shù)。極限(P9)、名詞解釋極限一一一個(gè)數(shù)列或函數(shù)其變化趨勢(shì)的終極狀態(tài)。無(wú)窮小量一一極限為零的變量或者常數(shù) 00連續(xù)一一設(shè)函數(shù) y f(x)在x %及其一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式lim f (x) f(x0)成立，則稱函數(shù)y"*)在* x0連續(xù)x Xo數(shù)列極限一一對(duì)數(shù)列xn來(lái)說(shuō)，若n時(shí)，Xna,則稱數(shù)列Xn的極限為a,記作lim xn a。 n函數(shù)極限設(shè)函數(shù)y f (x)在x x0的附近有定義，當(dāng)x x0時(shí)，f (x) A,則稱函數(shù)

11、y ”*)在* x0時(shí)的極限為A ,記作lim f (x) A x x0無(wú)窮大量一一若lim f (x),則稱f(x)為該極限過(guò)程下的無(wú)窮大量。二、填空題1 .從極限產(chǎn)生的歷史背景來(lái)看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分的基本問(wèn)題： 求面積，體積，弧長(zhǎng)，瞬時(shí)速度以及曲線在一點(diǎn)的切線問(wèn)題。2 .極限概念描述的是變量在某一變化過(guò)程中的終極狀態(tài)。3 .在中國(guó)古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的莊子天下篇 中說(shuō)：“一尺之,日取其半，萬(wàn)世不竭”,就是極限的樸素思想。4 .公元3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù),就用圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)去逼 近圓周長(zhǎng)這一極限思想來(lái)近似地計(jì)算圓周率 的。5 .極限概念產(chǎn)生于求面積求切

12、線兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。三、回答題1 .簡(jiǎn)述連續(xù)性概念。答：設(shè)函數(shù)y f(x)在x xo及其一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式 lim f (x) f(x0)成立，則稱函數(shù)y f(x)在x x0連續(xù)。y f(x)在(a,b )內(nèi) X xo連續(xù)是指函數(shù)y f(x)在(a,b)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)。2 .間斷點(diǎn)分成幾類？/ 廠打上第一類間斷點(diǎn)：在該點(diǎn) 的左右極限均存在答-間斷占第二類間斷點(diǎn)：左右極 限中至少有一個(gè)不存在3 .什么是單側(cè)連續(xù)？答：設(shè)函數(shù)y f(x)在x x。及其右鄰域內(nèi)有定義，且等式lim0f(x) f(xo) x x成立，則稱函數(shù)y "*)在* x0右連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。4 .什么是連續(xù)

13、函數(shù)？答：若函數(shù)y f(x)在(a,b)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)， 右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱函數(shù)y "*)在固可 上連續(xù)。5 .簡(jiǎn)述復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。答：設(shè)函數(shù)y f (z)在點(diǎn)z z0處連續(xù)，函數(shù)z (x)在點(diǎn)x x0處連續(xù)，而 Z0(x0),并設(shè)y f (x)在點(diǎn)x x0的某一鄰域內(nèi)有定義，則復(fù)合函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x x0處連續(xù)。四、論述題極限思想的辯證意義是什么？是一個(gè)無(wú)限逼近答：極限概念描述的是變量在某一變化過(guò)程中的終極狀態(tài),的過(guò)程，是一個(gè)客觀上存在但又永遠(yuǎn)達(dá)不到的數(shù)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，“無(wú)限”的過(guò)程標(biāo)志著可以得到精確的答案， 他是為解決實(shí)際問(wèn)題的需要而產(chǎn)生

14、的， 反過(guò) 來(lái)又成為解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。五、計(jì)算題,22 c4-2(1) 解：lim 2 lim-n 3n2 1 n1x o11(2) 斛：lim2 lim 一x 0sin2x x 0 sin2x 4 2x(3) 解：lim (Vn 1 v'n) lim - 0nn . n 1.n-1 V1 Y 111(4)解：lim (1 )lim (1 ) e 一x x xxe六、討論解：lim f (x)x 0lim (1 x) 1x 0lim f (x) lim 0 0x 0x 0xim f(x) xim f (x)，函數(shù)在x=0處極限不存在。若 lim ylimx 0 Xx 0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

15、值。記為,f (xo), ydyxo dx x冬 xo高等數(shù)學(xué)(B) (1)作業(yè)2導(dǎo)數(shù)一、名詞解釋導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y "*)在* x0及其鄰域內(nèi)有定義,口xx)f(xo)存在,則稱此極限值為函數(shù)y"*)在* xo平均變化率瞬時(shí)變化率稱,fjx x) f (xo)為平均變化率。 xx稱lim ' lim f0x) f(xo)為瞬時(shí)變化率x 0 v x 0瞬函數(shù)Xt于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x都有導(dǎo)數(shù)值，這樣由這些導(dǎo)數(shù)值 構(gòu)成的函數(shù)稱為y f(x)的導(dǎo)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一一二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)。駐點(diǎn)一一使得f (x) 0的點(diǎn)。極值一一設(shè)函數(shù)y f(x)在x xo及其鄰域內(nèi)有定義，且

16、在x xo的鄰域內(nèi) f (x) f(xo)包成立，則稱x xo為極大值點(diǎn)，稱f(xo)為極大值。同理可定義極 小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。二、填空題1 .導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時(shí)速度。2 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點(diǎn)處切線的些率。3 .導(dǎo)數(shù)的第三種解釋是變化率。4 .導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循極限運(yùn)算的法則。5 .可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的，但是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。三、回答題1 .什么是費(fèi)馬定理？答：設(shè)函數(shù)y f(x)在x xo的某鄰域u(xo)內(nèi)有定義，并且在xo處可導(dǎo)， 如果對(duì)任意的 x u(xo),有 f (x) f (xo)(或 f (x) f(xo),那么 f (xo) o O2

17、 .什么是羅爾定理？答：設(shè)函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，并且 滿足f (a) f (b),那么至少存在一點(diǎn) (a, b),使得f ( ) o。3 .什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)成的？答：設(shè)函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一點(diǎn)(a, b),使得 f(b) f(a) f ( )(b a)輔助函數(shù)為：(x) f(x) f(b) f(x a)。b a4 .函數(shù)的性質(zhì)有哪些？答：函數(shù)的性質(zhì)有：有界性，奇偶性，周期性，單調(diào)性。5 .導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？答：導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值大小反映曲線

18、的陡峭程度，導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，則曲線越陡峭，否則，曲線越平緩。6 .什么是極大值(或極小值)？答：設(shè)函數(shù)y f(x)在x xo及其鄰域內(nèi)有定義，且在x xo的鄰域內(nèi)f(x) f(xo)恒成立，則稱x xo為極大值點(diǎn)，稱f(xo)為極大值。設(shè)函數(shù)y f(x)在x xo及其鄰域內(nèi)有定義，且在x xo的鄰域內(nèi) f(x) f(xo)何成立,則稱x xo為極小值點(diǎn),稱f(xo)為極小值。7 .請(qǐng)舉例說(shuō)明費(fèi)馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。答：例如：直線y=c(c為常數(shù))，在任意一點(diǎn)都滿足費(fèi)馬定理的條件，且導(dǎo) 數(shù)值都是0,但是在任意一點(diǎn)處都不是極值點(diǎn)。8 .最大值與極大值是一回事嗎？答：不是一回

19、事。連續(xù)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上可能有多個(gè)極大值和極小值，但是最大值和最小值卻各有一個(gè)。9 .求最大值或最小值通常要經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)步驟？答：(1)找出駐點(diǎn)和那些連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)來(lái)，并計(jì)算出這些點(diǎn)的函數(shù)值；(2)計(jì)算出比區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)將以上個(gè)函數(shù)值進(jìn)行比較，可得到最大值與最小值。(4)如果是應(yīng)用問(wèn)題，則需先分析題意，設(shè)變量，列出函數(shù)關(guān)系，在求出 唯一駐點(diǎn)，它就是答案。四、計(jì)算題221 .解：lim 工 lim f-x-f lim 3-x lim (6 x) 6 x o x x oxxoxxoQ 412 .斛：y 4x 2- 一-f= ox 2 v x3 .解：y 2xsin x x2 cosx

20、-14 .斛：y xln n5 .解： y cos(cosx3)( sin x3)3x23x2 cos(cosx3) sin x316 .解：y ( sin x) tan xcosx17 .解：當(dāng) x 0時(shí)，y (ln x) x，、一 ，1綜上所述，(Inx) 111當(dāng) x 0時(shí)，y ln( x) x x-1v2V22-8 .解：y ex (2)xln;)，33339 .解：y 二1 x2(1 x2) 2x2x 2 2x2y (1 x2)2TV710.解：y cosx sin(1 x)y sin x sin(2 一 x) 2y cosx sin(3 x)(n)sin(n x) 2五、應(yīng)用題1.

21、解：V - R3, R t, V 4 t333V 4 3t2 4t2,當(dāng) R 10時(shí)，t 10, V 400 , 3答：體積V增加的速率為400 cm/s.2 .解：設(shè)一邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為1-x,，一一一一 _9*, ，一 1矩形面積 S=x(1-x)= x x , S 1 2x,令 S 0,解得 x -2些米，圍墻長(zhǎng)度為L(zhǎng) 2x512/x答：從中間截?cái)?，可得到最大矩形的面積。3 .解：設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)為512 2x2 512L 2 422，x x即2x2 512 0,解得x舍掉x 16,答：當(dāng)寬為16米，長(zhǎng)為32米時(shí)，才能使材料最省微分(P17)一、名詞解釋微分設(shè)函數(shù) y f(x)在點(diǎn)x

22、處可導(dǎo)，則稱f (x) x為函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x處的微分，記作dy,即dy f (x) x函數(shù)的一階微分形式白不變性一一無(wú)論u是自變量也好，還是中間變量也好，dy f(u)du總是成立的。微分的線性化一一由lim y f (x0)知，y f (x0) x (是比x高階的無(wú)窮小)，其中 x 0 xf (xo) x為線性主部，也就是微分。二、填空題1 .微分有雙重意義，一是表示微小的量，二是表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的 運(yùn)算。2 .微分學(xué)包括兩個(gè)系統(tǒng)：概念系統(tǒng)與算法系統(tǒng)。3 .導(dǎo)數(shù)是逐點(diǎn)定義的，它研究的是函數(shù)在一點(diǎn)附近的性質(zhì)。4 .微分中佰定理建立了函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)的聯(lián)系、建立了微積分理論聯(lián)

23、系實(shí)際的橋梁。三、回答題1 .微分學(xué)基本問(wèn)題是什么?答：求非均勻變化量的變化率問(wèn)題2 .微分學(xué)的基本運(yùn)算是什么？答：求導(dǎo)運(yùn)算和求微分的運(yùn)算3 .微分的線性化有什么應(yīng)用?答：可進(jìn)行近似計(jì)算等。四、計(jì)算題0 4x 111 71 (1)斛：y - 二，dy二dx4x xx(2)解：y4x x4xln442x1 xln 44xdyxln 44xdx(3)解：y3.解：設(shè)f(x) 次，取Xo 1,x 0.03則 f(X°X)f(Xo) f(Xo)3 1.03 f (1)f (1) X 311 -X30.03 1 10.01 1.01五、證明題證明：令f(X)eX,取 X0則 eXf (x) f

24、 ( x) f (0X)f(0)f (0) Xx,eX 1 x,證畢。高等數(shù)學(xué)(B) (1)作業(yè)3不定積分一、名詞解釋原函數(shù)如果函數(shù) f (x)與F(x)定義在同一區(qū)間(a, b),并且處處有：F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx,則稱 F (x)是 f (x)的一個(gè)原函數(shù)。不定積分一一若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱F(x) C為f(x)的不定積分。記作 f(x)dx F(x) C .不定積分幾何意義一一表示形狀完全一樣只是位置不同的一族曲線。二、填空題1 .在數(shù)學(xué)中必須考慮的運(yùn)算有兩類：正運(yùn)算與逆運(yùn)算。2 .對(duì)應(yīng)于加法運(yùn)算的逆運(yùn)算是減法，對(duì)應(yīng)于乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算是除法，對(duì) 應(yīng)

25、于正整數(shù)次乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算是開(kāi)立對(duì)應(yīng)于微分運(yùn)算的逆運(yùn)算是積分?3 .關(guān)于逆運(yùn)算我們至少有兩條經(jīng)驗(yàn)：一是逆運(yùn)算一般說(shuō)比正運(yùn)算困難，二 是逆運(yùn)算常常引出新結(jié)果。如減法引出負(fù)數(shù)，除法弓I出有理數(shù)，正數(shù)開(kāi)方引出工理數(shù),負(fù)數(shù)開(kāi)方引出虛數(shù)。三、回答題1 .什么叫函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)的原函數(shù)？有多少個(gè)？它們彼此之間有 什么關(guān)系？答：若F(x) f(x),則稱F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)，彼此之 間相差一個(gè)常數(shù)。2 .什么叫函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)的不定積分？答：函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體，稱為函數(shù)f(x)的不定積分。3 .兩個(gè)函數(shù)的不定積分相等是什么意思？答：這兩個(gè)函數(shù)相等。4

26、.說(shuō)明數(shù)學(xué)運(yùn)算中存在的正運(yùn)算與逆運(yùn)算。答：減法是加法的逆運(yùn)算；除法是乘法的逆運(yùn)算；開(kāi)方是乘方的逆運(yùn)算；不 定積分是微分的逆運(yùn)算；等等。5 .說(shuō)明原函數(shù)和不定積分的關(guān)系。答：原函數(shù)的全體就是不定積分。四、計(jì)算題1.求下列函數(shù)的原函數(shù)(1)解：因?yàn)?dx 5x C, 所以該函數(shù)白原函數(shù)為f (x) 5x C(2)解:2xdxx2C,該函數(shù)的原函數(shù)為f(x)(3)解:4e2xdx 4 122xd(2x) 2e2x C,該函數(shù)的原函數(shù)為f (x) 2e2x C(4)解:1631xdx 6 x'dx1T31 i-x31該函數(shù)的原函數(shù)為f (x)(5)解:c 515 16x dx 6 x C6該函

27、數(shù)的原函數(shù)為f (x)(6)解:72dx 瓜 C,該函數(shù)的原函數(shù)為f(x)2x解:1 1dxx C2 - x該函數(shù)的原函數(shù)為f(x)(8)解:sin xdx cosxC,該函數(shù)的原函數(shù)為f(x)cosx C(9)解:x 6dxC,該函數(shù)的原函數(shù)為f (x)(10)解:3dC,該函數(shù)的原函數(shù)為f()2.求下列各不定積分(1)解:x4dx k 5(2)解:3x.xdxx2dx2 1-x212x±5(3)解:J 4x)dx xln x4xC ln 4(4)解:tan2 xdx/2(sec x 1)dx tanx(5)解：exdx exC-1(6)斛： dxx 1d(x 1) In x 1

28、C，一 ii一一 1 - 2 一(7) 解： sinxcosxdx sin xd sin x sin x C2Tdj2)1(8) 解 arctan xdx x arctan x x2 dx xarctan x1 x12、xarctanx ln(1 x ) C定積分(P26)一、名詞解釋定積分一一設(shè)函數(shù) y f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在區(qū)間a, b內(nèi)插入n 1 個(gè)分點(diǎn)：a Xo X1 X2Xn 1 Xn b ,把區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間X, Xi 1,其長(zhǎng)度為Xi Xi 1 x其中i 0, 1, 2, 3,，n-1,在每個(gè)小區(qū) 問(wèn)Xi, Xi 1上任取一點(diǎn)i ： Xi i Xi 1 ,并作

29、乘積f ( i) Xi ,再求出部分和n 1Sn f( i) Xi ,令 maX Xi,若lim SnS ( S為常數(shù))，則稱S為函數(shù)0 i n 10i 0bn 1y f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 f(x)dx lim f( i) Xi a0 i 0b定積分幾何意義若函數(shù) y f (x) 0 ,則定積分 f(x)dx表示由曲線ay f(x)、直線x a、x b以及x軸所圍的曲邊梯形的面積。定積分中值定理設(shè)函數(shù)y f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在ba, b上至少存在一點(diǎn)，使得 f(x)dx f ( )(b a),其中 a, b。 ab微積分基本定理一一設(shè)函數(shù) y f(x)在區(qū)間a,

30、 b上連續(xù)，則f(x)dxab= F(x) F(b) F(a),這里 F(x) f(x) a牛頓萊布尼茲公式一一即微積分基本定理中的公式。二、填空題1 .定積分是對(duì)連續(xù)變化過(guò)程總效果的度量、求曲邊形區(qū)域的面積是定積分2 .積分學(xué)的基本問(wèn)題是非均勻變化量的求積問(wèn)題。它的數(shù)學(xué)模型是n 1lim f( i) xi ,它的物理原形是求變速運(yùn)動(dòng)的路程，它的幾何原形是求曲邊 0i 0梯形的面積。3 .微分學(xué)的基本問(wèn)題是求非均勻變化量的變化率間題，它的數(shù)學(xué)模型是lim ) ,宜的物理原形是求瞬時(shí)諫度，宜的幾何原形是求切線斜率，它的基本 x 0 x運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算和求微分的運(yùn)算。4 .微分學(xué)研究的是函數(shù)的局部性

31、態(tài)，無(wú)論是微分概念,還是微商概念，都是逐點(diǎn)給出的。數(shù)學(xué)家研究函數(shù)的局部性質(zhì)，其目的在于以局部定整體。5 .積分學(xué)包括不定積分和定積分兩大部分.不定積分的目的是提供積分方法。1 .定積分有哪些應(yīng)用？答：物理學(xué)應(yīng)用，幾何學(xué)應(yīng)用等。例如，路程問(wèn)題，曲邊梯形面積問(wèn)題等。2 .定積分的性質(zhì)有哪些？答：由以下9條：(1)bf (x) g(x)dxabf (x)dx abag(x心;(2)ba kf (x)dxbk a f(x)dx ；(3)ba f(x)dxab f(x)dx；(4)af(x)dx a0;(5)bf(x)dx acf(x)dx abf (x)dx ；c(6)bdx ba若在a, b上,f(

32、x)bg(x),則 f (x)dxabg(x)dx ；a(8)設(shè)M, m分別是函數(shù)yf(x)在a, b上的最大值和最小值,b則：m(b a)f (x) dxaM(b a)；(9)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間ab上連續(xù)，則在a, b上至少存在一點(diǎn)a, b。b使得 f(x)dx f( )(b a),其中 a3 .簡(jiǎn)述積分區(qū)間上限為變量時(shí)定積分定理。x答：設(shè)函數(shù)y f在閉區(qū)間a, b上有定義且連續(xù)，則 f(t)dt在a, b上可 ax導(dǎo)，且a "。明 f(x)o a4 .建立定積分步驟有哪些?答：分為4步：n 1n 1(1)分割；(2)作積 f( i) xi ; (3)作和 f ( i) xi

33、; (4)取極限 lim f ( i)為，i 00i 0其中 max xj。0 i n 1四、計(jì)算題1.利用定積分性質(zhì)，比較下列積分值大小。(1)解:0,1時(shí)，x21x2dx01x3dx0(2)解:1,2時(shí)，x32x3dx12x2dx1(3)解:1,2時(shí)，lnx2ln xdx12ln2 xdx12.求函數(shù)y 2x2 3x立£區(qū)間1,4上的平均值。.一 1解：平均值A(chǔ)=4 114(2x23x3)dx1(2x3 3x23 323x)49萬(wàn)3.設(shè)yx0 sintdt，求dydx解：dydxx(0sintdt)dydxsin x4.設(shè)y解：dx=(x2 1.dx, 1 1 AX21dx)1

34、1 A求dy。dx2xo1 A5.計(jì)算下列定積分(1)解:3x3dx120(2)解:2x2 3?431萬(wàn))143(3)解:2sin xdx(4)解:xdxcosx1 (1)(5)解:tdx01exd( x)0(ee1)23dx1 x 321(1)dx(6)解:2x 31n x11 4t2 9dt1 41(6 1 2t 31.4 11n2t 3 In 2t12 F 121 3(1n1 1n2) 31n 2 111 4 11 4 1)dt出dt2t 36 1 2t 36 1 2t 31 1n512111In 1251 -1n561 1n11124241246.解：如下圖，體積 V= f (x)dx

35、 4axdx 4 ax 32 a002 07.解：如上圖，2體積V(1022dx(12x x .)dx4(x1 3、x )128.解：如上圖,2x2 xx1x2y23面積S J(2x3)x2dx(x23x3)3239.解：如上圖，面積xdx高等數(shù)學(xué)(B) (1)作業(yè)4微積分簡(jiǎn)史注意：以下六題自己從書(shū)中相應(yīng)位置的內(nèi)容去概括，要抓住重點(diǎn)，言簡(jiǎn)意賅,寫(xiě)滿所留的空地。1 .論述微分學(xué)的早期史。答：見(jiàn)書(shū)P2162172 .簡(jiǎn)述費(fèi)馬對(duì)微分學(xué)的貢獻(xiàn)。答：見(jiàn)書(shū)P2172183 .簡(jiǎn)述巴羅對(duì)微分學(xué)的貢獻(xiàn)。答：見(jiàn)書(shū)P2182204 .論述積分學(xué)的早期史。答：見(jiàn)書(shū)P2062105 .論述微積分對(duì)人類歷史的貢獻(xiàn)。答：

36、見(jiàn)書(shū)“一、前言” 一開(kāi)始的部分(前兩段)。6 .牛頓和萊布尼茲對(duì)微積分的發(fā)現(xiàn)做出了什么貢獻(xiàn)？答：見(jiàn)書(shū)P222225。微分方程(P33)一、回答題1 .微分方程的定義。答：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。2 .何為微分方程的通解、特解、初始條件？答：滿足微分方程的所有函數(shù)，叫做微分方程的通解；滿足微分方程的一個(gè) 解或者部分解，稱為微分方程的特解。 微分方程最初所滿足的條件，叫做初始條 件。3 .何為變量可分離的微分方程？答：把形如 如 f(x)g(y)的微分方程，稱為微分方程。 dx4 .微分方程與建模有和關(guān)系。答：拋棄具體意義，只關(guān)心微分方程的形狀，研究如何解方程，等這些工作 做熟練了，反過(guò)來(lái)

37、又可以用它解決實(shí)際問(wèn)題。5 .建模思想和步驟是什么？答：建模思想就是將各種各樣的實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題， 通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型， 最終使實(shí)際問(wèn)題得到解決。步驟：(1)明確實(shí)際問(wèn)題，并熟悉問(wèn)題的背景;(2)形成數(shù)學(xué)模型；(3)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題；(4)研究算法，并盡量使用計(jì)算機(jī)；(5)回到實(shí)際中去，解釋結(jié)果。二、計(jì)算題1.求下列微分方程的解。(1)解：y (2x 3)dxx2 3x C ,代入初始條件得C1,滿足初始條件的特解為x2 3x(2)解：y4vxdx1x2dx1-1x2112-x3代入初始條件得C滿足初始條件的特解為38 2x3(3)解：y6e3xdxe3xd(3x) 2e3x C ,代入初始條件

38、得2,滿足初始條件的特解為y2e3x 2y2.解：由題意：y3x2,c 21、，(3x2 )dxx代入初始條件得f(x)y3 .解:由題意：y2000.2x1000100000 '(200 0.2x)dx200x0.1x2 C代入初始條件得C0,所求的函數(shù)關(guān)系是y 200x4 .解：由題意:dR dtkR0R0,分離變量：dR kdtR1600兩邊積分：空RkdtInRkt InC RCekt,代入初始條件Ro 得：C0Ro,這時(shí)：RktRoe代入初始條件1600R01600 k萬(wàn)R0e1600k1e21600k ln2ln 2 /jx、R,代入、1600ktR0e得t1600R Ro

39、e 1600 ,化簡(jiǎn)得：RRo2In 2tR1600 R0 2高等數(shù)學(xué)(B) (1)綜合練習(xí)一、名詞解釋1 .函數(shù)一一設(shè)x與y是兩個(gè)變量，若當(dāng)x在可以取值的范圍D內(nèi)任意取一 個(gè)數(shù)值時(shí)，變量y通過(guò)某一法則f,總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量 y是 變量x的函數(shù)。其中D叫做函數(shù)的定義域，f稱為對(duì)應(yīng)法則，集合 G=y|y=f(x),x D叫做函數(shù)的值域。2 .奇函數(shù)一一若函數(shù)y f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)于任意的 x , 恒有f ( x)f(x),則稱函數(shù)y f(x)為奇函數(shù)。3 .連續(xù)一一設(shè)函數(shù)y "*)在* xo及其一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且等式lim f (x) f(xo)成立，

40、則稱函數(shù)y f(x)在x x0連續(xù)。y f(x)在(a,b )內(nèi) x xo連續(xù)是指函數(shù)y f(x)在(a,b)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)。4 .定積分設(shè)函數(shù) y f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在區(qū)間a, b內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)：axoXix2xn ixnb ,把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)問(wèn)X, Xi 1,其長(zhǎng)度為Xi Xi 1 Xi,其中i 0, 1, 2, 3,，n-1,在每個(gè)小區(qū) 問(wèn)Xi,Xi1上任取一點(diǎn)i :XiiXi1 ,并作乘積f ( i)Xi,再求出部分和n 1Snf( i) Xi ,令 max xj ,若lim Sn S ( S為常數(shù))，則稱S為函數(shù)0 i n 10i 0bn 1y f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 f(x)dx lim f( i) xi a0i 05.微分方程一一含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。二、填