不等式的證明(一)

1、不等式的證明(一)【知識(shí)點(diǎn)精講】1比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：1比差法：要證ab，只須證a-b0。2比商法：要證ab且b0，只須證 -0。b說明：作差比較法證明不等式時(shí)，通常是進(jìn)行因式分解，利用各因式的符號(hào)進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；一般地運(yùn)用比商法時(shí)要考慮正負(fù)，尤其是作為除式式子的值必須確定符號(hào)；證幕指 數(shù)或乘積不等式時(shí)常用比商法，證對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用比差法。2.綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法。證 明時(shí)要注意 字母是否為正 和等號(hào)成立的條件?；静坏仁剑?1)若a0,b0,則2

2、 2a ba bab2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)1.2 2 11aba,bR,2ab22ab當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào)a,b同號(hào),-b1當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取等號(hào)b a3.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫 做分析法。要注意 書寫的格式，綜合法是分析法的逆過程4.重點(diǎn)難點(diǎn)：作差比較法的順序是“作差-變形-判斷差式的正負(fù)”；作商比較法的順序是“作商-變形-判斷商式與1的大小”(注意商式的分子分母均正)；綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч薄?.思維方式：掌

3、握證明不等式的常用方法，對(duì)較復(fù)雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以證明。6.特別注意：在利用不等式的性質(zhì)或基本不等式時(shí)要注意等號(hào)、不等號(hào)成立的條件?！纠}選講】例1、已知a,bR,求證:a2+b2+1ab+a證明：p= a2+b2+1-ab-a=-(a22ab b2) (a22a 1) b21=-(a b)2(a 1)2b212 2顯然p0得證思維點(diǎn)拔作差比較法的順序是“作差-變形-判斷差式的正負(fù)”.通常是進(jìn)行因式分解，利用各因式的符號(hào)進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷2 1.2 1丄-例2、P87例1.設(shè)a 0,b 0,求證()2()a?b2.b a【分析】不等式兩端

4、都是多項(xiàng)式的形式，故可用比差法證明或比商法證明?！咀C法一左邊-右邊=Ca) Cb)(.a .b)ab=(掐 Jb)(a Jab b) Jab(Ma Vb)Jab=(、a、.b)(a 2 . ab b)=(.a.b)G.a.b)20 原不等式成立。abab【證法二】左邊0,右邊0。左邊(.a .b)(a . abb)(a一ab b)2ab1原不等式成立。右邊TOE(掐Tb)Jab.ab思維點(diǎn)拔用比較法證不等式，-般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、 判斷三個(gè)步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法思維點(diǎn)拔觀察特征，用比較法或分析法例4、設(shè)x0,y0且xM

5、y,求證x只需2xy又Ta、b、c是不全相等的正數(shù)，（*）式等號(hào)不成立。原不等式成立。例5.（P88例3）某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6t每噸面粉的價(jià)格為1800元,面粉的保管等費(fèi)用為平均每噸每天例3、P87例2已知a,b,x,yR且1b,xy求證證明：由x0,y0且XMy要證明x3x2只需x3y32x2y23即2x3y33x2yx2由條件,顯然成立原不等式成立思維點(diǎn)拔分析法證明不等式是“執(zhí)果索因” 練習(xí)：若a、b、c是不全相等的正數(shù)， 求證：lga2blglglg a lgb lgc【分析】根據(jù)本題的條件和要證明的結(jié)論，既可用分析法由可用綜合法?！咀C法一】（綜合法）：a,b,c

6、 R, 乞上.ab 0,2又a、b、c是不全相等的正數(shù)，.有 乞上乞上,要注意書寫的格式、:cba b- ig(二【證法二】2c b a ca b)lgabc即lg2 2 2a b c b lg lg2 2（分析法）要證即證lg（ab c b a c）2 2 2） I 、ab 0, 3 2 2lg abc成立。只需證2 2.c blgT2a b2abc。.a clglgaaclgalg blgclgb lgc-cabc成立。2a b c b a c0o abc 0(*)2 2 23元，購買面粉每次需支出運(yùn)費(fèi)900元（1）.求該廠多少天購買一次面粉才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最小；（2）若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次性購買面粉不少于210t時(shí),其價(jià)格可優(yōu)惠9折，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件說明理由點(diǎn)評(píng)【課堂小結(jié)】不等式的比較法、綜合法、分析法合稱三種基本方法，是最常用