一,交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

1、一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11)1(nnnu滿滿足足條條件件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, , 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余項(xiàng)項(xiàng) nr的的絕絕對(duì)對(duì)值值 1 nnur. . )0( nu其中其中3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 證法一證法一)()()(21243212nnnuuuuuus , 01 nnuu,2是單調(diào)增

2、加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns)()(122232112 nnnuuuuus又又,12是單調(diào)遞減的是單調(diào)遞減的數(shù)列數(shù)列 nsnnnuss2212 0 )( , 0 n由區(qū)間套定理，由區(qū)間套定理，是一個(gè)區(qū)間套，是一個(gè)區(qū)間套，122 nnss,limlim , 1122ussssnnnn使.limssnn 即級(jí)數(shù)收斂即級(jí)數(shù)收斂于于s.證法二證法二nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(lim

3、lim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級(jí)數(shù)收斂于和級(jí)數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項(xiàng)余項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件滿足收斂的兩個(gè)條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.仍構(gòu)成一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，仍構(gòu)成一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，例例 1 1 判判別別收收斂斂性性： );0( )1()1(11 pnnpnpnnu1)1( .收斂收斂解解顯然單調(diào)趨于顯然單調(diào)趨于0，例例 2 2 判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原

4、級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .與書上證與書上證法不同法不同該定理的作用：該定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)例例 3 3 判判別別級(jí)

5、級(jí)數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. . 解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例例 4 4 判判別別 1)1(npnn的的收收斂斂性性，并并在在收收斂斂時(shí)時(shí)指指出出是是 ,p時(shí)時(shí) 1 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；, 10時(shí)時(shí) p條條件件收收斂斂；發(fā)發(fā)散散。絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂還還是是條條件件收收斂斂。 解解,1|1)1( |ppnnn , 0時(shí)時(shí) p例例5nnnn sin)1(1 解解,)1(|nnu 絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。例例6,!2)1(112 nnnn解解222!)!1(2|)1(1nnnnnnuu 12

6、12 nn)( . n, 0lim nnu發(fā)散。發(fā)散。 用比值或根值判別法判定的非絕對(duì)收斂級(jí)用比值或根值判別法判定的非絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)一定發(fā)散。數(shù)一定發(fā)散。三、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)三、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、級(jí)數(shù)的重排、級(jí)數(shù)的重排)( , 2 , 1 , 2 , 1:nknf映射映射稱為正整數(shù)列的重排。稱為正整數(shù)列的重排。)(:nknuuf的重排，的重排，稱作稱作)(nnkuu的重排，的重排，稱作稱作 11)(nnnnkuu則則記記,)(nknuv .11)( nnnnkvu定理定理.11svsunnnn也絕對(duì)收斂于也絕對(duì)收斂于，則其重排級(jí)數(shù)，則其重排級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于絕對(duì)收斂于設(shè)設(shè) 證證*即：絕對(duì)收斂的

7、級(jí)數(shù)對(duì)加法有交換律。即：絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)對(duì)加法有交換律。為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若若 1 )1(nnu,21nnuuus 設(shè)設(shè),21mmvvv ,kikuv ,max21miiin 令令,nms 則則有界，有界，收斂，知收斂，知由由1nnnsu 有界，有界，從而從而m .1收斂收斂故故 nnv得得及及且由且由nmnnsss lim,limnn.1svnn 收斂于收斂于即即級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)，重排重排也可看作也可看作另一方面，另一方面， 11nnnnvu, s故故. s絕對(duì)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 )2(nnu收斂時(shí)，收斂時(shí)，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)即正項(xiàng)級(jí)數(shù) |1 nnu由（由（1）的證明得：）的證明得：, |

8、|11收斂收斂的重排級(jí)數(shù)的重排級(jí)數(shù) nnnnvu收斂。收斂。絕對(duì)絕對(duì)即即 1 nnv下面證明兩個(gè)級(jí)數(shù)的和相等。下面證明兩個(gè)級(jí)數(shù)的和相等。 2| nnnuup 令令|0 |,|0 nnnnuqup , |,|nnnnnnuqpuqp 2| nnnuuq 0 , 00 ,nnnuuu 0 ,0 , 0nnnuuu絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂， 1nnu收斂。收斂。和和正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 11nnnnqp nnqp . sun, , nnnqpv 也同樣構(gòu)造也同樣構(gòu)造類似地，對(duì)類似地，對(duì) nnqp可得可得 .nv前面已證收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)重排后和不變，前面已證收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)重排后和不變，的重排，的重排，和和分別是分

9、別是和和且且 nnnnqpqp nv nnqp nnqp . sun證畢。證畢。上述證明過(guò)程顯然可以得到下面的結(jié)論：上述證明過(guò)程顯然可以得到下面的結(jié)論：命題：命題：.,都收斂都收斂和和則正項(xiàng)級(jí)數(shù)則正項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂設(shè)設(shè) nnnqpu同時(shí)可以證明：同時(shí)可以證明：命題：命題：.,都發(fā)散都發(fā)散和和則正項(xiàng)級(jí)數(shù)則正項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂條件收斂設(shè)設(shè) nnnqpu證證, nnnuqp 也收斂，也收斂，收斂，則收斂，則若若 nnqp也收斂，也收斂，收斂，則收斂，則若若 nnpq |,| nnnuqp 而而收斂，收斂， | nu矛盾！矛盾！ 可以證明：可以證明：條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)重排，使條件收斂的級(jí)數(shù)，可

10、以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。514131211111 nnn）（如：條件收斂級(jí)數(shù)如：條件收斂級(jí)數(shù)設(shè)其收斂于設(shè)其收斂于a， 1018161412112111nnn）（則：則：,2a收斂于收斂于兩個(gè)級(jí)數(shù)相加，得兩個(gè)級(jí)數(shù)相加，得 41715121311.23a收斂于收斂于的一個(gè)重排，的一個(gè)重排，）（是是 111nnn2、級(jí)數(shù)的乘積、級(jí)數(shù)的乘積, nnnauuau 收斂，則收斂，則若若,)()(2121 nmnmuaaauaaa兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)如何相乘？?jī)蓚€(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)如何相乘？, 21auuuunn 設(shè)設(shè), 21bvvvvnn 這兩個(gè)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)的所有可能的乘積為

11、：這兩個(gè)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)的所有可能的乘積為： 1312111 v u v uvuvun 2322212 v u v uvuvun 3332313 v u v uvuvun 321 v u v uvuvunnnnn這些乘積可以按各種方法排成不同的級(jí)數(shù)，這些乘積可以按各種方法排成不同的級(jí)數(shù)，常用正方形順序和對(duì)角線順序，分別為：常用正方形順序和對(duì)角線順序，分別為： 1312111 v u v uvuvun 2322212 v u v uvuvun 3332313 v u v uvuvun 321 v u v uvuvunnnnn“正方形正方形”排序級(jí)數(shù)為：排序級(jí)數(shù)為： 132333323112222111

12、vuvuvuvuvuvuvuvuvu 1312111 v u v uvuvun 2322212 v u v uvuvun 3332313 v u v uvuvun 321 v u v uvuvunnnnn“對(duì)角線對(duì)角線”排序級(jí)數(shù)為：排序級(jí)數(shù)為： 132231122111vuvuvuvuvuvu定理（柯西定理）：定理（柯西定理）：, , bvaunn絕對(duì)收斂于絕對(duì)收斂于絕對(duì)收斂于絕對(duì)收斂于若若 則它們的乘積按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)則它們的乘積按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂于收斂于ab.例例 nnnrrrrr3201,11, 1|rr 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于當(dāng)當(dāng) 00nnnnrr考察：考察

13、：)1()1(22 rrrr 132 rr r 432 r rrr 5432 r rrr按對(duì)角線順序，得按對(duì)角線順序，得 324321rrr.)1(12r 該級(jí)數(shù)的和我們將來(lái)還會(huì)有其他方法求得。該級(jí)數(shù)的和我們將來(lái)還會(huì)有其他方法求得。二、二、 阿貝耳判別法和狄利克雷判別法阿貝耳判別法和狄利克雷判別法 引理（分部求和公式，引理（分部求和公式，abel變換）：變換）： 為為兩兩組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，令令設(shè)設(shè)), 2 , 1(,nivii ), 2 , 1( , 21nkvvvkk iniiv 1 則則.)()()(11232121nnnnn 111)(niiiinn 離散型分部求和公式離散型分部求和公式,1

14、iiiv則證證 ), 3 , 2( ,111nkvvkkk 注意到：注意到：代入即得。代入即得。解釋解釋“離散型分部求和公式離散型分部求和公式” xadttgxg)()(令令 baxdgxf)()()()(| )()(xdfxgxgxfbaba )()()()(xdfxgbgbfba iniiv 1 111)(niiiinn . ),( ),(1 baiiixdfxg相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于將將 )( 11 iinii 推論（推論（abel引理）引理）是是單單調(diào)調(diào)數(shù)數(shù)組組，若若n , )1(21（2）對(duì)任一正整數(shù)）對(duì)任一正整數(shù) ，有，有 )1(nkk ),( 1kkkvva 這這里

15、里 則則記記,max kk .31avnikk 證證是同號(hào)的，是同號(hào)的，對(duì)于對(duì)于由由iii 1 )1(iniiv 1 .)()()(11232121nnnnn | | 1iniiv |)()()( |11232121nnnnn aannn| )()()( |13221 |)|(|1nna .3 a 證畢。證畢。的斂散性。的斂散性?，F(xiàn)在討論現(xiàn)在討論 nnba定理（定理（abel判別法）判別法） 若（若（1） 為單調(diào)有界數(shù)列，為單調(diào)有界數(shù)列， na收收斂斂， nb )2(收斂。收斂。則則 nnba證證收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則，有有由由收收斂斂，cauchybn ., 0 pnnknbpnnn有有引理，有引

16、理，有于是由于是由設(shè)設(shè)abelman,| .3 mbapnnknn 再由再由cauchy準(zhǔn)則，準(zhǔn)則，收斂。收斂。得得 nnba 證畢。證畢。定理（定理（dirichelet判別法）判別法） 單單調(diào)調(diào)；且且若若, 0lim)1( nnnaa 有界；有界； )2(1 niib收斂。收斂。則則 nnba證證, 0lim nna., 0 nannn有有,| 1mbnii 設(shè)設(shè)則則令令, 2 , 1, kbknniik |111 niikniikbb ,2m ,623 mmbapnnknn 故故由由cauchy準(zhǔn)則，準(zhǔn)則，收斂。收斂。得得 nnba 證畢。證畢。注（注（1） 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的leib

17、niz判別法是判別法是dirichelet判別法的特例。判別法的特例。,)1(,111 nnnnnnbuau 令令）（單單調(diào)調(diào)；且且則則, 0limnnnaa ；1| | 1 niib收斂。收斂。）（故故nnu11 （2） 與反常積分類似，用與反常積分類似，用dirichelet判別法可以證判別法可以證明明abel判別法。判別法。無(wú)窮級(jí)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的abel判別法：判別法： 若（若（1） 為單調(diào)有界數(shù)列，為單調(diào)有界數(shù)列， na收收斂斂， nb )2(收斂。收斂。則則 nnba無(wú)窮積分的無(wú)窮積分的abel判別法：判別法： 收收斂斂，）若若（ adxxf)( 1上上單單調(diào)調(diào)有有界界，在在),)(

18、)2( axg收收斂斂。則則 adxxgxf)()( 無(wú)窮級(jí)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的dirichelet判別法：判別法：?jiǎn)螁握{(diào)調(diào)；且且若若, 0lim)1( nnnaa 有界；有界； )2(1 niib收斂。收斂。則則 nnba無(wú)窮積分的無(wú)窮積分的dirichelet判別法：判別法：上上有有界界，在在若若),)()( )1( adxxfufua，時(shí)時(shí)單單調(diào)調(diào)趨趨于于上上當(dāng)當(dāng)在在0),)( )2( xaxg收收斂斂。則則 adxxgxf)()( 例例收斂，收斂，若若 nu 單調(diào)有界，單調(diào)有界，由于由于)0(1 pnp收斂。收斂。故故 )0( pnupn同理，同理，, 1 收斂收斂 nun, 1 收斂收斂

19、nnun, )11( 收斂收斂nnun 例例。的性質(zhì)來(lái)決定斂散性）的性質(zhì)來(lái)決定斂散性）時(shí)由時(shí)由（收斂。收斂。都收斂，后者對(duì)都收斂，后者對(duì)前者對(duì)任何前者對(duì)任何與與，則，則單調(diào)趨于單調(diào)趨于設(shè)設(shè)nnnnakxkxxnxanxaa 22,cossin0 解（解（1）),cos()cos(sinsin2bababa 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) kx2 )sin2sin(sin2sin2nxxxx xnxnxxxx)21cos()21cos(25cos23cos23cos2cos xnx)21cos(2cos |2sin2|)21cos(2cos|sin|1xxnxkxnk |2sin|22x |2sin|1x 有界，有界，即即sin1 nkkx由由dirichelet判別法，得判別法，得收斂。收斂。 sin1 nnnxa時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) kx2 sin1nnnxa, 0 2sin1 nnkna 收斂。收斂。收斂。收斂。對(duì)任意的對(duì)任意