周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)

1、x主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率周期信號的功率x頻域分析從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析。從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析。傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解（分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)析）。將信號進行正交分解（分解為

2、三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合）。函數(shù)的組合）。頻域分析將時間變量變換成頻率變量頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜頻譜、帶寬帶寬以及以及濾波濾波、調(diào)調(diào)制制和和頻分復(fù)用頻分復(fù)用等重要概念。等重要概念。 x主要內(nèi)容從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。葉變換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步通過典型信號頻譜以及傅里葉

3、變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對于周期信號而言，在進行頻譜分析時，可以利用傅對于周期信號而言，在進行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達形式。傅里葉變換的一種特殊表達形式。最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。x一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)11cos,sinntnt是一個是一個完備完備的的正交正交函數(shù)集函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，n=0,1,. 2112cossin0ttntmt2112,co

4、scos20,tttmnntmtmn2112,sinsin20,tttmnntmtmn由積分可知由積分可知1.三角函數(shù)集x 1112 , , f ttt周期信號周期為基波角頻率為在滿在滿足足狄氏條件狄氏條件時，可展成時，可展成 0111( )cossin 1nnnf taantbnt直流分量直流分量0001( )dtttaf ttt余弦分量的幅度余弦分量的幅度0012( )cosdttntaf tnttt正弦分量的幅度正弦分量的幅度0012( )sindttntbf tnttt稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2級數(shù)形式x狄利克雷（dirichlet）條件條件條件

5、3:3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積在一周期內(nèi)，信號絕對可積; ;條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個；限個；條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。數(shù)目應(yīng)是有限個。|( )|tf tdt x例1不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個信號的周期為的例子如下圖所示，這個信號的周期為2 2，它，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積不會超過一半?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積

6、不會超過2 2，但不連續(xù)，但不連續(xù)點的數(shù)目是無窮多個。點的數(shù)目是無窮多個。( )f t202x例2不滿足條件不滿足條件2 2的一個函數(shù)是的一個函數(shù)是 2sin, 01f ttt tf011 t1對此函數(shù)，其周期為對此函數(shù)，其周期為1 1，有，有 101f t dt x例3周期信號周期信號 ，周期為周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 1, 01f ttt tf0121 2 t1x在一周期內(nèi)，信號是在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的絕對可積的(t1為周期為周期) 1dtf ttt 010( ) dtttf tt 1j11ddntnttff t etf tttt說明與平方可積條件相同，這一條件保

7、證了每一系數(shù)與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)fn都都是有限值，因為是有限值，因為nf x例4求周期鋸齒波的三角形式的傅里葉級數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角形式的傅里葉級數(shù)展開式。11201121d0ttaatttt11211122cosd0ttnaatntttt11211122sindttnabtntttt1( 1) 1,2,3 nann周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 110sinsin22aaf ttt111( ) /2/2af tttttt 直流直流基波基波諧波諧波t tfa a21t21t 112t x其他形式00ca22nnncab1tgnnnba

8、cosnnnacsinnnnbc 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00da1tgnnnbasinnnnadcosnnnbd 110sin)(nnntnddtf 22nnndab 2 cos)(110 nnntncctf x關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖可畫出可畫出頻譜圖頻譜圖周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性，諧波性，收斂性離散性，諧波性，收斂性 ncn幅度頻率特性和相位頻率特性11:n周期信號可分解為直流，基波（ ）和各次諧波（基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合x二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集1j 0

9、, 1, 2nten 2 2級數(shù)形式級數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù)11111j01jj0( )d()dtnttntntf tetf neet 1j1( )() 4ntnf tf ne 11j01( )d 5tntf t ett利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nf 也可寫為也可寫為x說明 變換對。變換對。式是一對式是一對、唯一確定，唯一確定，則，則如給出如給出)5()4()(1tfnf 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號區(qū)間上的指數(shù)信號周期信號可分解為周期信號可分解為tne1j, 1j1( )() 4ntnf tf ne 11j101( )d 5tntf nf tett傅立葉級數(shù)反變換

10、傅立葉級數(shù)反變換（4）傅立葉級數(shù)正變換傅立葉級數(shù)正變換（5）x三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖1j101()( )dtntf nf t ett110011( )cosdj( )sindttf tnttf tntttt12nnajb1110011()( )cosdj( )sindttfnf tnttf tntttt1j2nnab nenfnf j11)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),(11 nfnf x22111()22nnnf nabc相頻特性相頻特性1tgnnnba幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實實際際關(guān)關(guān)于于取取正正

11、值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實實際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnfnbnannx1 13 nc0c1c3co1 13 n o 頻譜圖（單邊譜）幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線ncn曲線x請畫出其幅度譜和相位譜。請畫出其幅度譜和相位譜。例501c 00152.236c 10.15 21c 20.25化為余弦形式化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖111( )1 sin2coscos 24f tttt 已知，11( )15cos(0.15 )cos 24f ttt 三角形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù) x1 1c0c2c12 024. 211nc

12、12 25. 0 15. 0 01 n x化為指數(shù)形式 4j24j2jjjj1111112122211)( tnttttteeeeeejtf1111jjjjj2j2441111( )1112 j2 j22ttttf teeeeee 12j12()ntnf ne(0)1f0.151111.122jfej0.151111.122jfej41122jfe41122jfe整理整理指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)x譜線0(0)1ff11()1.12ff11()1.12ff21(2)0.5ff21( 2)0.5ff0010.15 10.1520.2520.25 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式

13、的頻譜圖12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n x三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比1 1c0c2c12 024. 211nc12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖12 25. 0 15. 0 01 n x四總結(jié)（1）周期信號周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式的傅里葉級數(shù)有兩種形式（3）周期信號的頻譜是離散譜，三

14、個性質(zhì)周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率引入負(fù)頻率x(1)周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有 兩種形式0111( )cossinnnnf taantbnt011cos()nnnccnt三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式1j1( )()ntnf tf nex10001()02nf ncnfca(2)兩種頻譜圖的關(guān)系11 ()()nn 相位頻譜為奇函數(shù)nnc三角函數(shù)形式：，單邊頻譜單邊頻譜nnf指數(shù)函數(shù)形式：，雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系11 ()()f nfn指數(shù)形式的幅度譜為偶函數(shù)x(3)三個性質(zhì)11,( )( ( )f n)nf nnf tf t收斂

15、性：諧波性： （離散性），頻率只出現(xiàn)在處唯一性：的譜線唯一與 ()一一對應(yīng)(4)引入負(fù)頻率 的的實實函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)不不變變。，才才能能保保證證和和數(shù)數(shù)，必必須須有有共共軛軛對對是是實實函函數(shù)數(shù)，分分解解成成虛虛指指)(11jjtfeetfnn 注意：注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性x五函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量x1偶函數(shù)為為實實函函數(shù)數(shù)。項項。項項，只只含含直直流流項項和和余余弦弦傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)中中不不含含正正弦弦)(1 nf信號波形相對于縱軸是對稱的信號波形相

16、對于縱軸是對稱的)()(tftf )(tfottet 0nb 2104( )cosd0tnaf tnttt111()22nnnnff najba0nx2奇函數(shù))()(tftf 對對稱稱的的：波波形形相相對對于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfottt 11 為為虛虛函函數(shù)數(shù)。量量，傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)中中無無余余弦弦分分)(1 nf2021 ( )d =0 ttaf ttt2122( )cosd0tntaf tnttt102( )sindtnbf tnttt111()22nnnnff najbjb 2104( )sind0tf tntttx0nnab3奇諧函數(shù)2104( )cosdtnaf tnt

17、tt2104( )sindtnbf tntttf(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即n=2,4,6,時時, n=1,3,5,時時, )(tfottt 2t( )2tf tft 若波形沿時間軸平移半個周若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化：此時波形并不發(fā)生變化：00a x 12tf tft112t4偶諧函數(shù)121014( )sindtnbf tnttt0nnab121014( )cosdtnaf tntttn=2,4,6,時時, n=1,3,5,時時, f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量)(tfot1t1t 21t21t 稱為偶諧函數(shù)。稱為偶諧函數(shù)。與原波形重合，與原波形重合，波形移動波形移動21t x六周期信號的功率