二階常系數(shù)非齊次線性微分方程59487

1、1二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一般式是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一般式是 (1) xfqypyy其中其中p、q是常數(shù)。是常數(shù)。一一 、 型型 xmexpxf )()( 是是x 的一個的一個m 次多項式：次多項式： xpm其中其中為常數(shù)，為常數(shù)， .1110mmmmmaxaxaxaxp 對對 f(x) 的下面兩種最常見形式，的下面兩種最常見形式，采用采用待定系數(shù)法待定系數(shù)法來求出來求出 y*。由定理由定理3，只要求出，只要求出(1)的一個特解的一個特解 y*及及(1)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程0 qypyy的通解的通解y，.*yyy 即可求得即可求得(1)的通解的通解 :2 可能是方程可能是

2、方程(1)的特解的特解(其中其中q(x)是某個多項式是某個多項式).xexqy )(* )3()()()()( ) 2()(2xpxqqpxqpxqm 要使要使(3)成立，成立，q(x)應(yīng)是一應(yīng)是一 個個m 次多項式，次多項式， ,exq*yx 代入方程代入方程(1)并消去并消去,xe 為了確定為了確定q(x)，將，將 xqxqe*yx xqxqxqeyx 2*2得得（i）如果如果, 02 qp 即即不是特不是特 征根。征根。 mmmmmbxbxbxbxqxq 1110)(不妨設(shè)不妨設(shè)代入代入(3)式，比較兩端同次冪的系數(shù)即可確定式，比較兩端同次冪的系數(shù)即可確定,m,ibi210 進(jìn)而得進(jìn)而得

3、(1)的特解的特解.)(* xexqy xxxxexqxqexqexqexq )(003, 02 qp , 0 2 p （ii）如果如果且且即即是特征方程的單根。是特征方程的單根。)()(xxqxqm 同樣可以定出同樣可以定出 的系數(shù)的系數(shù))(xqm,m,ibi210 令令（iii）如果如果 且且 ，02 qp 0 2 p 即即是特征方程的重根。是特征方程的重根。要使要使(3)成立，成立， )( xq應(yīng)是一個應(yīng)是一個m 次多項式次多項式,令令要使要使(3)式成立，式成立，)()(2xqxxqm 仍是比較仍是比較(3)式兩端的系數(shù)來確定式兩端的系數(shù)來確定 的系數(shù)。的系數(shù)。)(xqm)( xq應(yīng)是

4、應(yīng)是m次多項式次多項式. 4若若是特征方程的是特征方程的 s 重根，重根，k = s.上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到 n 階常系數(shù)非齊次線性微分方程，階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但但 k 是特征方程含根是特征方程含根的重復(fù)次數(shù)，即的重復(fù)次數(shù)，即若若不是特征方程的根，不是特征方程的根，k =0；2 是特征方程的重根是特征方程的重根k =0 不是特征根不是特征根1 是特征方程的單根是特征方程的單根其中其中總之，總之，當(dāng)當(dāng) 時，方程時，方程(1)具有形如具有形如xmkexqxy )(* 的特解，的特解，)(xqm)(xpm其中其中 是與是與 同次同次(m次次)的多項式，的多項式， xmexpxf

5、)()( (1) xfqypyy5代入所給方程，得代入所給方程，得13323100 xbbxb所以所以31 , 110 bb于是得原方程的一個特解為于是得原方程的一個特解為31* xy;31321 xececyxx所求通解為所求通解為于是齊次方程的通解為：于是齊次方程的通解為：xxececy321 3, 121 rr所以特征根為：所以特征根為：13)( xxf又又,) 13(0 xex=0不是特征根，不是特征根，故原方程特解設(shè)為：故原方程特解設(shè)為：xebxby010)(*10bxb 例例 1 求下列方程的通解求下列方程的通解.65)2( ;1332)1(2xxeyyyxyyy （1）對應(yīng)齊次方

6、程的特征方程為）對應(yīng)齊次方程的特征方程為0322 rr解解6.65)2(2xxeyyy 于是齊次方程的通解為于是齊次方程的通解為xxececy3221 ,)(2xxexf 由于由于=2是特征方程的單根，是特征方程的單根，對應(yīng)齊次方程的特征方程為；對應(yīng)齊次方程的特征方程為；0652 rr3, 221 rrxbbxb 10022代入所給方程，得代入所給方程，得1 ,2110 bb所以所以xexxy2)121(* 于是得原方程的一個特解為于是得原方程的一個特解為.)2(21223221xxxexxececy 所求通解為所求通解為xebxbxy210)(* 故原方程特解設(shè)為：故原方程特解設(shè)為：7例例

7、2 求解求解2, 1 52300 xxyyyyy解解于是齊次方程的通解為于是齊次方程的通解為xxececy221 ,exfx05由于由于=0不是特征方程的根，不是特征方程的根，對應(yīng)齊次方程的特征方程為對應(yīng)齊次方程的特征方程為0232 rr2, 121 rr52 a代入方程，得代入方程，得,25 a所以所以25* y于是得原方程的一個特解為于是得原方程的一個特解為25221 xxececy所求通解為所求通解為ay *故原方程特解設(shè)為：故原方程特解設(shè)為：把把2, 1 00 xxyy代入上式，得代入上式，得27 521 cc所以原方程滿足初始條件的特解為所以原方程滿足初始條件的特解為2527532

8、xxeey8)(1xf)(2xfsin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 二二 、sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 型型由歐拉公式：由歐拉公式：,2sin2cos ieexeexixixixix變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?xf把把xixiexpexp)()()()( ieepeepexixinxixilx22 xinlxinleippeipp 2222 xfxfqyypy21 9*1y*2y xxrxxrexymmxk sincos*21由第一種情形及由第一種情形及 定理定理 4 的結(jié)論，對于此種類型，特解可設(shè)為：的結(jié)論，對于此種類型，特解可設(shè)為： ximkximkexqxexqxy

9、)()(* 改寫為如下形式：改寫為如下形式： m=max l , n 。 ippxpnl22其中其中 ippxpnl22與與都是都是 m 次多項式，次多項式，其中其中 xr,xrmm21都是都是 m 次多項式，次多項式，0 i不是特征根不是特征根k =1 i是特征根是特征根m = max l , n ，且，且qyypy xixiexpexp)()()()( sin)(cos)(xxpxxpeqyypynlx 10代入所給方程，得代入所給方程，得xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433( 所求通解為所求通解為.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy 解

10、解對應(yīng)齊次方程的特征方程為對應(yīng)齊次方程的特征方程為012 rir 2, 1xcxcysincos21于是齊次方程的通解為于是齊次方程的通解為)10)(,)(, 2, 0( ,2cos)(mxpxxpxxxfnl即即 由于由于94, 0, 0,31 dcba所以所以xxxy2sin942cos31* 于是得原方程的一個特解為于是得原方程的一個特解為xdcxxbaxy2sin)(2cos)(* 故原方程特解設(shè)為：故原方程特解設(shè)為：i=2i不是特征方程的根，取不是特征方程的根，取, 0 k例例 3 求方程求方程xxyy2cos 的通解。的通解。sin)(cos)(xxpxxpeqyypynlx xx

11、rxxrexymmxk sincos*2111代入所給方程，得代入所給方程，得0 ,41 ba所求通解為所求通解為 xxexcxceyxx2cos412sin2cos21 解解齊次方程的特征方程為齊次方程的特征方程為0522 rrir212, 1 xcxceyx2sin2cos21 于是齊次方程的通解為于是齊次方程的通解為)0, 1)(, 0)(, 2, 1( ,2sin)(mxpxpxexfnlx 由于由于 xbxaxeyx2sin2cos* 故原方程特解設(shè)為：故原方程特解設(shè)為：i=12i 是特征方程的根，取是特征方程的根，取, 1 k例例 4 求方程求方程xeyyyx2sin52 的通解。

12、的通解。于是得原方程的一個特解為于是得原方程的一個特解為xxeyx2cos41* 12例例 5 求方程求方程 的通解。的通解。 xeyyxcos 由此求得由此求得0,21,21 bca齊次方程的通解為齊次方程的通解為xcxcysincos21 應(yīng)有應(yīng)有 形式的特解；形式的特解；xeyy xae因為因為有有 形式的特解，形式的特解，xyycos )sincos(xcxbx 應(yīng)應(yīng)代入所給方程，得代入所給方程，得xexbxcaexxcossin2cos22 所求通解為所求通解為.sin221)sincos(21xxexcxcyx 于是求得一個特解為于是求得一個特解為xxeyxsin221* 解解 對

13、應(yīng)齊次方程的特征方程為對應(yīng)齊次方程的特征方程為012rir 2, 1)sincos(*xcxbxaeyx 故特解應(yīng)設(shè)為故特解應(yīng)設(shè)為13求解微分方程求解微分方程(2) (1) 00yyy,xf yxx其中：其中： mllmyyxxayyaxxaayxf0000101000,以這些常數(shù)為系數(shù)的級數(shù)（以這些常數(shù)為系數(shù)的級數(shù)（3）就是上面初值問題的解。）就是上面初值問題的解。 設(shè)所求特解可展開為設(shè)所求特解可展開為 x - x0 的冪級數(shù)：的冪級數(shù)：(3) 0202010nnxxaxxaxxayy 21na ,a ,a其中其中 是待定的系數(shù)。是待定的系數(shù)。, 21na ,a ,a把（把（3）代入（）代入

14、（1）中，）中，比較等比較等式兩邊式兩邊 x - x0 的同次冪的系數(shù)，的同次冪的系數(shù)，就可定出常數(shù)就可定出常數(shù)14 求微分方程求微分方程 滿足滿足 的特解。的特解。2yx y00 xy解解 0000y,x故設(shè)故設(shè) 221nnxaxaxay把把 的冪級數(shù)展開式代入原方程，得的冪級數(shù)展開式代入原方程，得 y,y 543245342321xaxaxaxaa比較系數(shù)得比較系數(shù)得 ,201, 0, 0,21, 054321aaaaa于是所求解的冪級數(shù)展開式的開始幾項為于是所求解的冪級數(shù)展開式的開始幾項為. 2012152xxy4312232122122 xaaaxaaxax15例例 2 求解初值問題求解初值問題:10000 xx y,yxy y這里這里 ， xxq,xp 0由由得得.a,a1010, y,yxx1000解解滿足定理的條件。滿足定理的條件。則則.xna ynnn11,xaynnn0設(shè)設(shè)可在可在 r x r 內(nèi)展開為內(nèi)展開為 x 的冪級數(shù)，的冪級數(shù)，nnnxay0內(nèi)該方程必有形如內(nèi)該方程必有形如 的解。的解。定理定理 0yxqyxpy如果方程如果方程中的系數(shù)中的系數(shù) p(x) 與與q(x) 那末在那末在 r x r16;2n