第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

1、二二 函數(shù)的極值函數(shù)的極值一一 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xfabba若若 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b)上單調(diào)上升上單調(diào)上升)(xfy 若若 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b)上單調(diào)下降上單調(diào)下降)(xfy 0)( xf一、函數(shù)的單調(diào)性0)x(f0)x(f定理定理1 1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfb

2、abaxfyxfbababaxfy 1 1 單調(diào)性的判別法單調(diào)性的判別法證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 函數(shù)在函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加. . , 0解解函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?., 0，01xy例例1 1判斷函數(shù)判斷函數(shù) 的單調(diào)性

3、的單調(diào)性. .xlny xylnyxo1例例2 2. 的單調(diào)性的單調(diào)性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xeyx 函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注注1:1:要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性解解. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y).,(:d又又- 3- 2- 11232345注注2 2：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)1、單調(diào)區(qū)間定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)

4、區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)2、單調(diào)區(qū)間的劃分2 2 單調(diào)區(qū)間的求法單調(diào)區(qū)間的求法.,)x(f)x(f)x(f數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程 0 例例3 3.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf解解).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0

5、)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2例例4 4.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf 解解).,(函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 3 3 單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用例例5 5.132,1成立成立

6、試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx )1(111)(22 xxxxxxf則則, 0)(), 1(,), 1 )( xfxf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；故在故在), 1 ,0)1( f證證xxxf132)( 設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x0)( xf.132 ,1成立成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx 31292)(23 xxxxf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 2 二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值是函數(shù)的分界點(diǎn)是函數(shù)的分界點(diǎn)2121 x,x;)(f)x(f,xx均成立均成立鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)去心去心的一個(gè)去心鄰域，對(duì)此的一個(gè)去

7、心鄰域，對(duì)此因此，存在著點(diǎn)因此，存在著點(diǎn)11 ;)(f)x(f,xx均成立均成立的任何點(diǎn)的任何點(diǎn)去心鄰域內(nèi)去心鄰域內(nèi)的一個(gè)去心鄰域，對(duì)此的一個(gè)去心鄰域，對(duì)此存在著點(diǎn)存在著點(diǎn)22 oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一般地一般地1. 1. 函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義.)( )(,)()(,;)( )(,)()(, , ,),(,),()(000000000的的一一個(gè)個(gè)極極小小值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱均均成成立立外外除除了了點(diǎn)點(diǎn)任任何何點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果存存在在著著點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱均均成成

8、立立外外除除了了點(diǎn)點(diǎn)任任何何點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果存存在在著著點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)是是內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).31292)(23 xxxxf函數(shù)函數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)。是是函函數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)和和極極小小值值有有極極大大值值)(2, 1, 1)2(2)1(xfxxff 注注1 1：極值是函數(shù)的局部性概念，與最值不同；：極值是函數(shù)的局部性概念，與最值不同；注注2：

9、極大值可能小于極小值：極大值可能小于極小值,極小值可能大于極小值可能大于極大值極大值. 設(shè)設(shè))(xf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x處處具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. . 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x由費(fèi)馬引理易得函數(shù)取得極值的必要條件，由費(fèi)馬引理易得函數(shù)取得極值的必要條件，.,)(是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)xf注注2:2. 函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法注注1:的駐點(diǎn).的駐點(diǎn).f(x

10、)f(x)做函數(shù)做函數(shù)的實(shí)根)叫的實(shí)根)叫0 0(x)(x)f f程程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方( (1 1) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值. .( (2 2) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處處取取得得極極小小值值. .( (3 3) )如如果果當(dāng)當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符符號(hào)號(hào)相相同同, ,則則)(xf在在0 x處處無(wú)無(wú)極極值值. .定理定

11、理2 (2 (第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x0)( xf0)( xf0)( xf0)( xfxyoxyo0 x0 x0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求求出出導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù);0)()()2(的根的根的全部駐點(diǎn)，即方程的全部駐點(diǎn)，即方程求出求出 xfxf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)考察考察xf .)4(值值求求出出各各極極值值點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例6 6.593)(23的的極極值值求求函函數(shù)數(shù) xxxxf解解)3)(1(3963)()1(2

12、xxxxxf，令令0)()2( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)極大值極大值x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf0 0 0 00極小值極小值)3(593)(23 xxxxf圖形如下圖形如下)3(f極小值極小值.22 )1()4( f極極大大值值,10 mn定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)

13、(0000, 0 設(shè)設(shè))(xf在在0 x 處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù) , ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在 0 x 處取得極大值處取得極大值; ; (2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在 0 x 處取得極小值處取得極小值. . （2）同理可以證明當(dāng)）同理可以證明當(dāng)0)(0 xf函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值時(shí)時(shí)得寸進(jìn)尺：0)(0 xf？解解例例7 7.1)1()(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf22)1(6)()1( xxxf，令令0)()2( xf. 1, 0, 1321 xxx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))15)(1(6)()3(22 xxxf06)0()4( f0)0( f故故極極小小值值 第二充分條件失效。第二充分條件失效。 ,)(f)(f0115 ;)x(fx01 左側(cè)鄰近的值時(shí)，左側(cè)鄰近的值時(shí)，取取當(dāng)當(dāng);)x(fx01 右側(cè)鄰近的值時(shí)，右側(cè)鄰近的值時(shí)，取取當(dāng)當(dāng)點(diǎn)沒(méi)有極值。點(diǎn)沒(méi)有極值。在在故故1 x)x(f點(diǎn)也沒(méi)有極值。點(diǎn)也沒(méi)有極值。在在同理同理1 x)x(f