第七節(jié)無窮小的比較

1、第七節(jié)第七節(jié) 無窮小比較無窮小比較一、無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價(jià)無窮小替換二、等價(jià)無窮小替換三、小結(jié)三、小結(jié)一、無窮小的比較一、無窮小的比較,0時(shí)xxxxsin,32都是無窮小都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31可見無窮小趨于可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的的速度是多樣的 . );(, 0lim)1( o記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比就說就說如果如果定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 cc;, 1

2、lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkcck 例例1 1解解.tan4 ,0:3的四階無窮小的四階無窮小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四階無窮小的四階無窮小為為時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)xxxx (4)lim,如果就說 是比 低階的無窮小。例例2. 證明證明: .1exx證證:, 1e xy令, )1ln(yx則,0,0yx時(shí)且xexx1lim0)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx

3、1e xx )1ln( 因此因此 即有等價(jià)關(guān)系即有等價(jià)關(guān)系: 說明說明: 上述證明過程也給出了等價(jià)關(guān)系上述證明過程也給出了等價(jià)關(guān)系: )1ln(1lim10yyy常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 注意：無窮小x的形式可以變化。二、等價(jià)無窮小替換二、等價(jià)無窮小替換定理定理( (等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim0

4、52例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價(jià)無窮小代換不能濫用等價(jià)無窮小代換.對于對于代數(shù)和代數(shù)和中各無窮小不能分別替換中各無窮小不能分別替換.注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 練習(xí)：練習(xí)：p60 4p60 4、（

5、、（2 2）三、小結(jié)三、小結(jié)1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 2.等價(jià)無窮小的替換等價(jià)無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小; 無窮小的階無窮小的階.返回返回作業(yè)作業(yè)p59 習(xí)題1-7 1 4.(1)(3) 思考題思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？返回返回思考題解答思考題解答不能不能例當(dāng)例當(dāng) 時(shí)時(shí)x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxg

6、xxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí)x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，無窮小時(shí)，無

7、窮小xcos1 與與nmx等價(jià)，則等價(jià)，則 ._,nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設(shè)四、設(shè) f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達(dá)式的表達(dá)式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .返回返回一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3 3； 8 8、21,2.,2.二、二、1 1、21； 2 2、