人教A版高中數(shù)學(xué)必修四教案：2.1平面向量的實際背景及基本概念

1、起第二章 平面向量本章教材分析1豐富多彩的背景,引人入勝的內(nèi)容.教材首先從力、位移等量講清向量的實際背景以及研究向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關(guān)知識.學(xué)生將了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運算的意義,能用向量語言與方法表述和解決數(shù)學(xué)、物理中的一些問題,發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā),引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律及坐標(biāo)表示.向量數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來,這樣為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便,特別能有效地解決線段的垂直問題.最后介紹了平面向量的應(yīng)用

2、.2教學(xué)的最佳契機(jī),全新的思維視角.向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”,這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的.反過來,向量的理論和方法,又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具,向量之所以有用,關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì),通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算,這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題.這一章的內(nèi)容雖然概念多,但大都有其物理上的來源,雖然抽象,卻與圖形有著密切的聯(lián)系,向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明顯的.全新的思維視角,恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué),使得向量不僅生動有趣,而且是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機(jī).3本章充分體現(xiàn)出新教材特點.以學(xué)生已有的物理知識和幾何內(nèi)容為

3、背景,直觀介紹向量的內(nèi)容,注重向量運算與數(shù)的運算的對比,特別注意知識的發(fā)生過程.對概念、法則、公式、定理等的處理主要通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論.這一章中的一些例題,教科書不是先給出解法,而是先進(jìn)行分析,探索出解題思路,再給出解法.解題后有的還總結(jié)出解決該題時運用的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,有的還讓學(xué)生進(jìn)一步考慮相關(guān)的問題.對知識的處理,都盡量設(shè)計成讓學(xué)生自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.向量的坐標(biāo)實際上是把點與數(shù)聯(lián)系起來,進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來,這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題,同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題.4.本

4、章教學(xué)約需12課時,具體分配如下,僅供參考.標(biāo)題課時2.1平面向量的實際背景及基本概念1課時2.2向量的線性運算3課時2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時2.4平面向量的數(shù)量積2課時2.5平面向量的應(yīng)用舉例2課時本章復(fù)習(xí)2課時§2.1 平面向量的實際背景及基本概念一、教學(xué)分析 本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學(xué)生可根據(jù)原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念,結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用,可通過幾個具體的例子說明它的應(yīng)用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重

5、要對象.幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之間的相對關(guān)系,它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學(xué)生舉出物理學(xué)中力的其他一些實例,目的是要建立物理課中學(xué)過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ).二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量。2、過程與方法：通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生

6、初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別。3、情感態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。三、重點難點教學(xué)重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學(xué)難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.四、教學(xué)設(shè)想：（一）導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入)如圖1,在同一時刻,老鼠由a向西北方向的c處逃竄,貓在b處向正東方向的d處追去,貓能否追到老鼠呢？學(xué)生馬上得出結(jié)論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設(shè)問:如何從數(shù)學(xué)的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.圖1 思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相

7、反方向開出,各走了相同的路程,怎樣用數(shù)學(xué)式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規(guī)定“馬”走日,象走“田”,讓學(xué)生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是一個不錯的選擇.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題在物理課中,我們學(xué)過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學(xué)的數(shù)學(xué)中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應(yīng)怎樣定義這樣的量呢？數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？ 活動:教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學(xué)生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物

8、體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向,且有大??；物理學(xué)中存在著許多既有大小,又有方向的量. 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機(jī)成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量,物理學(xué)上稱為標(biāo)量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問題.討論結(jié)果:略.我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.略.提出問題如何表示向量?有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么?長

9、度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量?滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎?有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關(guān)系？怎樣定義平行向量?如果把一組平行向量的起點全部移到一點o,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系?數(shù)量與向量有什么區(qū)別?數(shù)學(xué)中的向量與物理中的力有什么區(qū)別? 活動:教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學(xué)習(xí)向量的關(guān)鍵.但不能說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關(guān),但有向線段不僅與方向、長度有關(guān)

10、,也與起點的位置有關(guān).如圖2,在線段ab的兩個端點中,規(guī)定一個順序,假設(shè)a為起點、b為終點,我們就說線段ab具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以a為起點、b為終點的有向線段記作.起點要寫在終點的前面. 已知,線段ab的長度也叫做有向線段的長度,記作.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.圖2 知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.用有向線段表示向量的方法是:1°起點是a,終點是b的有向線段,對應(yīng)的向量記作:.這里要提醒學(xué)生注意的方向是由點a指向點b,點a是向量的起點.2°用字母a,b,c,表示.(一定要學(xué)生規(guī)

11、范書寫:印刷用黑體a,書寫用)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的長度(或稱模),記作|(或|a|).教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量與向量的模進(jìn)行比較,數(shù)量有大小而沒有方向,其大小有正、負(fù)和0之分,可進(jìn)行運算,并可比較大小;向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小,像ab就沒有意義,而|a|>|b|有意義.討論結(jié)果:向量也可用字母a,b,c,表示(印刷用粗黑體表示),手寫用a 來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如、.注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別:

12、向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關(guān),只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.圖3長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規(guī)定0與任一向量平行即0a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作

13、abc.如圖3.圖4 又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點o,則可在l上分別作出a,=b, =c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量. 說明:平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系.是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關(guān)).平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向、大小

14、雙重性質(zhì),不能比較大小.力有大小、方向、作用點三個要素,而數(shù)學(xué)中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關(guān).（三）應(yīng)用示例例1 如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示a地至b、c兩地的位移.(精確到1 km)圖5分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:表示a地至b地的位移,且|232 km;(ab長度×8 000 000÷100 000)表示a地至c地的位移,且|296 km.(ac長度×8 000 000÷100 000) 點評:位置是幾何

15、學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由a點確定b點、c點的位置.變式訓(xùn)練 一個人從a點出發(fā)沿東北方向走了100 m到達(dá)b點,然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100 m到達(dá)c點,求此人從c點走回a點的位移.圖6解:根據(jù)題意畫出示意圖,如圖6所示.|=100 m,|=100 m,abc=45°+15°=60°,abc為正三角形.|=100 m,即此人從c點返回a點所走的路程為100 m.bac=60°,cad=bac-bad=15°,即此人行走的方向為西偏北15°.故

16、此人從c點走回a點的位移為沿西偏北15°方向100 m.圖7例2 判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)abcd中,與是共線向量;(2)單位向量都相等. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生畫出平行四邊形,如圖7. 因為ab/cd,所以.由于上面已經(jīng)明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.點評:本題考查基本概念,對于單位向量、平行向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.圖8例3 如圖8,設(shè)o是正六邊形abcdef的中心,分別寫出圖中所示向量與相等的量. 活動:本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì),讓學(xué)生鞏

17、固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長等于半徑并且對邊互相平行的正多邊形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書中要求判斷與,與是否相等,是要通過長度相等方向相反的兩個向量的不等,讓學(xué)生從反面認(rèn)識向量相等的概念.解:=;=;=. 點評:向量相等是一個重要的概念,今后經(jīng)常用到.讓學(xué)生在訓(xùn)練中明確,向量相等不僅大小相等,還要方向相同.變式訓(xùn)練 本例變式一:與向量長度相等的向量有多少個？ (11個) 本例變式二:是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命題正確的是( )a.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線b.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平

18、行四邊形的四頂點c.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量d.有相同起點的兩個非零向量不平行 活動:由于零向量與任一向量都共線,所以a不正確.由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,所以b不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關(guān),所以d不正確.對于c,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有c正確.答案:c 點評:對于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進(jìn)行考慮.即要判斷一個結(jié)論不正確,只需舉一個反例即可.要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合.變式訓(xùn)練1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一