CH113格林公式

1、11.3.1 11.3.1 格林公式格林公式11.3.211.3.2平面上曲線積分與路徑無關(guān)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件的等價條件11.3.3 11.3.3 二元函數(shù)全微分式的判定與二元函數(shù)全微分式的判定與求積求積格林公式一一 問題的提出問題的提出 在一元函數(shù)的微積分中我們通過在一元函數(shù)的微積分中我們通過newton-lebiniz公式可以把定積分和原函公式可以把定積分和原函數(shù)聯(lián)系起來數(shù)聯(lián)系起來. .在曲線積分中，我們是否有在曲線積分中，我們是否有相似的聯(lián)系呢？下面的相似的聯(lián)系呢？下面的greengreen公式告訴我公式告訴我們，在曲線積分中，也有相似的聯(lián)系。們，在曲線積分中，也有相似的

2、聯(lián)系。即二重積分與曲線積分的聯(lián)系，這就是即二重積分與曲線積分的聯(lián)系，這就是我 們 所 要 學(xué) 習(xí) 的我 們 所 要 學(xué) 習(xí) 的 g r e e ng r e e n 公 式 。公 式 。區(qū)域連通性的分類區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)d為平面區(qū)域為平面區(qū)域, 如果如果d內(nèi)任一閉曲線內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于所圍成的部分都屬于d, 則稱則稱d為平面單為平面單連 通 區(qū) 域連 通 區(qū) 域 , 否 則 稱 為 復(fù) 連 通 區(qū) 域否 則 稱 為 復(fù) 連 通 區(qū) 域 .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域dd連成連成與與由由21lll組成組成與與由由21lll 邊界曲線邊界曲線l的正向的正向: 當觀察者沿

3、邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域區(qū)域d總在他的左邊總在他的左邊.2ld1l2l1ld曲線曲線l的正向的正向區(qū)域區(qū)域 d 邊界邊界l 的的正向正向: 當人沿邊界行走時，當人沿邊界行走時，區(qū)域區(qū)域d總在他的左邊總在他的左邊 ld域域 d 邊界邊界l 的的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 d 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 l 圍成圍成,則有則有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)函數(shù)在在 d 上具有上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),ldyxyqxpyxqpdddd或或一、一、 格林公式格林公式(gre

4、en formula)證明證明:1) 若若d 既是既是 x - 型區(qū)域型區(qū)域 , 又是又是 y - 型區(qū)域型區(qū)域 , 且且bxaxyxd)()(:21dycyxyd)()(:21yxo abdcd)(1xy )(2xy abce)(2yx )(1yx 則則yxxqddddcyyyqd),(2)()(21dyyxxqcbeyyxqd),(caeyyxqd),(cbeyyxqd),(eacyyxqd),(dcyyyqd),(1dcydyxo abdcd)(1xy )(2xy abce)(2yx )(1yx 即即yxxqdddlyyxqd),(同理可證同理可證yxypdddlxyxpd),(、兩式相

5、加得兩式相加得: :ldyqxpyxypxqddddl2) 若若d不滿足以上條件不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割則可通過加輔助線將其分割1dnd2dnkdyxypxqk1ddyxypxqdddnkdkyqxp1ddlyqxpdd為有限個上述形式的區(qū)域為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖如圖)(的正向邊界表示kkdd證畢證畢yxo推論推論: 正向閉曲線正向閉曲線 l 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 d 的面積的面積lxyyxadd21格林公式格林公式ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 橢圓橢圓)20(sincos:byaxl所圍面積所圍面積lxyyxadd212022d)sincos(21aba

6、bab提示提示 dldxdyxdyydx2 或在格林公式中在格林公式中 令令p y q x 則有則有 或ldydxxdydxdya21 例例1. 設(shè)設(shè) l 是一條分段光滑的閉曲線是一條分段光滑的閉曲線, 證明證明0dd22yxxyxl證證: 令令,22xqyxp則則ypxq利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxldd22022xxdyxdd00例例2. 計算計算,dde2dyyx其中其中d 是以是以 o(0,0) , a(1,1) , b(0,1) 為頂點的三角形閉域為頂點的三角形閉域 . 解解: 令令, 則則2e, 0yxqpypxq利用格林公式利用格林公式 , 有有dyyxdde2d

7、yyxde2yxoayde2yyyde1022eyxy yx) 1 , 1 (a) 1 , 0(bdo)e1(211提示提示:要使要使2yeypxq 只需只需 p0 2yxeq 例例3. 計算計算,dd22lyxxyyx其中其中l(wèi)為一無重點且不過原點為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線的分段光滑正向閉曲線.解解: 令令,022時則當 yx22222)(yxxyxq設(shè)設(shè) l 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為d,)0 , 0(時當d由格林公式知由格林公式知0dd22lyxxyyx,22yxyp22yxxqypyxlodsincos2022222rrr2,)0 , 0(時時當當d 在在d 內(nèi)作圓周內(nèi)作圓周,

8、:222ryxl取逆時取逆時針方向針方向,1d, 對區(qū)域?qū)^(qū)域1d應(yīng)用格應(yīng)用格lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddllyxxyyx22dd0dd01yxdllyxxyyxyxxyyx2222ddddl1dl記記 l 和和 l 所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為林公式林公式 , 得得yxov曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān) 設(shè)設(shè)g是一個開區(qū)域是一個開區(qū)域 p(x y)、q(x y)在區(qū)域在區(qū)域g內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 21llqdypdxqdypdx與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān)否則說與路徑有關(guān) 如果對于如果對于g內(nèi)任意指定的兩個點內(nèi)任意指定的兩個點a、b以及以及g內(nèi)

9、從點內(nèi)從點a到到點點b的任意兩條曲線的任意兩條曲線l1、l2 等式等式恒成立恒成立 就說曲線積分就說曲線積分lqdypdx在在 g 內(nèi)內(nèi) v曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān) 這是因為這是因為 設(shè)設(shè)l1和和l2是是g內(nèi)任意兩條從內(nèi)任意兩條從點點a到點到點b的曲線的曲線 則則l1 (l2-)是是g內(nèi)一條任內(nèi)一條任意的閉曲線意的閉曲線 而且有而且有021llqdypdxqdypdx 0)(21 llqdypdx 21llqdypdxqdypdx021llqdypdxqdypdx 意意閉曲線閉曲線 c 的曲線積分的曲線積分lqdypdx等于零等于零曲線積分曲線積分lqdypdx在在 g 內(nèi)與路徑無

10、關(guān)相當于沿內(nèi)與路徑無關(guān)相當于沿 g 內(nèi)任內(nèi)任v曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān) v定理定理2 (曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法) 在在 g 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立 閉曲線的曲線積分為零閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是等式的充分必要條件是等式數(shù)數(shù) 則曲線積分則曲線積分 lqdypdx在在 g 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿或沿 g 內(nèi)任意內(nèi)任意設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù)p(x y)及及q(x y)在在單連通域單連通域g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)意意閉曲線閉曲線 c 的曲線積分的曲線積分 lqdypdx等于零等于零 曲線積分曲線積分 lqdypdx在在 g 內(nèi)與路徑無關(guān)相

11、當于沿內(nèi)與路徑無關(guān)相當于沿 g 內(nèi)任內(nèi)任.xqyp設(shè)設(shè)l為為d中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,dd (如圖如圖) ,上上因此在因此在 d xqyp利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxqxqyqxplddd)(ddddl0所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為證畢證畢 (1) 沿沿d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 l , 有有.0ddlyqxp(4) 在在 d 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xqypv應(yīng)用定理應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題 (1)區(qū)域區(qū)域g是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域 (2)函數(shù)函數(shù)p(x y)及及q(x y)在在g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個條件之一不能滿足

12、如果這兩個條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保那么定理的結(jié)論不能保證成立證成立 則 aboaldyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 解解 這里這里p 2xy q x2 選擇從選擇從o(0 0)到到a(1 0)再到再到b(1 1)的折線作為積分路線的折線作為積分路線 11102dy 物線物線y x2上從上從o(0 0)到到b(1 1)的一段弧的一段弧 例例 計算計算 ldyxxydx22 其中其中l(wèi)為拋為拋 ldyxxydx22與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) .0 xqypqdypdxqdypdxll 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) 因為因為xxqyp2 所所以以積分積分 二、平面上曲線積分與路

13、徑無關(guān)的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理設(shè)設(shè)d 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxqyxp在在d 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 l , 有有.0ddlyqxp(2) 對對d 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 l, 曲線積分曲線積分(3)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d(4) 在在 d 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xqyplyqxpdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價:在在 d 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分

14、,即即 使使若存在若存在),(yxuyyxqxyxpyxud),(d),(),(d 則稱則稱0d),(d),( yyxqxyxp為全微分方程為全微分方程.v原函數(shù)原函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)u(x y)滿足滿足du(x y)=p(x y)dx q(x y)dy 則則函數(shù)函數(shù)u(x y)稱為稱為p(x y)dx q(x y)dy的原函數(shù)的原函數(shù).v全微分方程全微分方程(1) 沿沿d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 l , 有有.0ddlyqxp(2) 對對d 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 l, 曲線積分曲線積分lyqxpdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 說明說明:

15、 積分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)設(shè)21, ll21ddddllyqxpyqxp1ddlyqxp2ddlyqxp21ddllyqxp02l2ddlyqxp1ddlyqxp為為d 內(nèi)內(nèi)任意任意兩條由兩條由a 到到b 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線, 則則(根據(jù)條件根據(jù)條件(1)bayqxpddabyqxpddab1l定理定理2 (2) 對對d 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 l, 曲線積分曲線積分(3)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(dlyqxpdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 在

16、在 d 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 證明證明 (2) (3)在在d內(nèi)取定點內(nèi)取定點),(00yxa因曲線積分因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyqxpyxu),(),(yxuyxxuux則則),(yxpxuxuxx0lim),(lim0yxxpx),(),(ddyxxyxyqxp),(),(dyxxyxxpxyxxp),(同理可證同理可證yu),(yxq因此有因此有yqxpuddd和任一點和任一點b( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),),(yxxc),(yxb),(00yxa有函數(shù)有函數(shù) 定理定理2 (4) 在在 d 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xqyp(3)y

17、qxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d在在 d 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 xyuyxu 22所以所以證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yqxpuddd則則),(),(yxqyuyxpxup, q 在在 d 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在從而在d內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有xqypxyuxqyxuyp22,證明證明 (4) (1)設(shè)設(shè)l為為d中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,dd (如圖如圖) ,上因此在dxqyp利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxqxqyqxplddd)(ddddl0所圍區(qū)域為

18、所圍區(qū)域為證畢證畢 (1) 沿沿d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 l , 有有.0ddlyqxp(4) 在在 d 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xqyp說明說明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域若在某區(qū)域d內(nèi)內(nèi),xqyp則則2) 求曲線積分時求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求可用積分法求d u = p dx + q dy在域在域 d 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù):dyx),(00及動點及動點,),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或或yyyyxqyxu0d),(),(0則原函數(shù)為則原函

19、數(shù)為yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可可添加輔助線添加輔助線;取定點取定點1) 計算曲線積分時計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;yx0y0 xoxy4) 若已知若已知 d u = p dx + q dy ,則對則對d內(nèi)任一分段光滑曲內(nèi)任一分段光滑曲bayyxqxyxpd),(d),(abu)()(aubu線線 ab ,有有yyxqxyxpabd),(d),(注注: 此式稱為此式稱為曲線積分的基本公式曲線積分的基本公式babaxfxxf)(dd)(dab 它類似于微積分基本公式它類似于微積分基本公式: baud)(

20、)(xfxf其中)()()(afbfxfabya xl例例4. 計算計算,d)(d)3(22yxyxyxl其中其中l(wèi) 為上半為上半24xxy從從 o (0, 0) 到到 a (4, 0).解解: 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,aod它與它與l 所所圍圍原式原式y(tǒng)xyxyxaold)(d)3(22dyxdd4oayxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周圓周區(qū)域為區(qū)域為d , 則則o6483例例5. 驗證驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, 并求并求出這個函數(shù)出這個函數(shù). 證證: 設(shè)設(shè),22yxqyxp則則xqyxyp2由定理由定理2

21、 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0 , 0(),(yx例例6. 驗證驗證22ddyxxyyx在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 證證: 令令2222,yxxqyxyp則則)0()(22222xyqyxxyxp由由定理定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1

22、(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yxo),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy判別判別: p, q 在某單連通域在某單連通域d內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),xqypdyx),(為全微分方程為全微分方程 則則求解步驟求解步驟:方法方法1 湊微分法湊微分法;方法方法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件利用積分與路徑無關(guān)的條件.1. 求原函數(shù)求原函數(shù) u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解為知通解為 u (x, y)

23、= c .三、全微分方程三、全微分方程使使若存在若存在),(yxuyyxqxyxpyxud),(d),(),(d則稱則稱0d),(d),(yyxqxyxp為為全微分方程全微分方程.),(yxyxo例例8. 求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因為因為yp236yyx ,xq故這是全微分方程故這是全微分方程. , 0, 000yx取則有則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為因此方程的通解為cyyxyxx332253123)0 ,(x法法10d)33(d)35(222324yyyxyxxyyx

24、x求解法法2 此全微分方程的通解為此全微分方程的通解為 yu,)(2yy cyxu),(xu, 則則有有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx兩邊對兩邊對 y 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yu由由得得與與比較得比較得331)(yy 取因此方程的通解為因此方程的通解為cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx例例9. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyp 這是一個全微分方程這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解用湊微分法求通解. 將方程改寫為將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx

25、故原方程的通解為故原方程的通解為021d2xyx或或cxyx221,xq思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx這不是一個全微分方程這不是一個全微分方程 ,12x就化成例就化成例9 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxqyxxyxpyx為全微分方程為全微分方程,),(yx則稱在簡單情況下在簡單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的為原方程的積分因子積分因子.但若在方程兩邊同乘但若在方程兩邊同乘注注:若存在連續(xù)可微函數(shù)若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子積分因子.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式格林公式lyqx

26、pdd2. 等價條件等價條件在在 d 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).ypxq在在 d 內(nèi)有內(nèi)有yqxpudddyxypxqdddlyqxpdd對對 d 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 l 有有0ddlyqxp在在 d 內(nèi)有內(nèi)有設(shè)設(shè) p, q 在在 d 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有為全微分方程為全微分方程0ddyqxp思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè),4:, 1:222412yxlyxl且都取正向且都取正向, 問下列計算是否正確問下列計算是否正確 ?lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41dd5415lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41dd2412提示提示:時022 yxypxq)