第六章第2講二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題

1、第 2 講二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題,學(xué)生用書 P111)1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線 AxByC0 某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的 x 和y 的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x， y)， 叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x，y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集3線性規(guī)劃的有關(guān)概念名 稱意 義約束條件由變量 x，y 組成的不等式(組)線性約束條件由 x，y 的一次不等式(或方程)組成的不等式(組

2、)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量 x，y 的函數(shù)解析式，如 zx2y線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量 x，y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題1辨明兩個易誤點(1)畫出平面區(qū)域，避免失誤的重要方法就是首先將二元一次不等式化為 axbyc0(a0)的形式；(2)線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點不一定只有一個，也可能有無數(shù)多個，也可能沒有2求 zaxby(ab0)的最值方法將函數(shù) zaxby 轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yabxzb，通過求直線的截距

3、zb的最值間接求出 z 的最值(1)當(dāng) b0 時，截距zb取最大值時，z 也取最大值；截距zb取最小值時，z 也取最小值；(2)當(dāng) b0 時，截距zb取最大值時，z 取最小值；截距zb取最小值時，z 取最大值1(必修 5 P91 練習(xí) T1(1)改編)已知實數(shù) x，y 滿足約束條件yx，xy1，y1，則 z2xy 的最大值為()A3B.32C32D3解析：選 A.畫出可行域，如圖陰影部分所示由 z2xy，知 y2xz，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(2，1)時直線在 y 軸上的截距最大，為 3.2(2015高考福建卷)若變量 x，y 滿足約束條件x2y0，xy0，x2y20，則 z2xy 的最小值等于()A5

4、2B2C32D2解析：選 A.作可行域如圖，由圖可知，當(dāng)直線 z2xy 過點 A 時，z 值最小，由x2y20，x2y0，得點 A(1，12)，zmin2(1)1252.3(2016揚州模擬)點(2，t)在直線 2x3y60 的上方，則 t 的取值范圍是_解析：因為直線 2x3y60 的上方區(qū)域可以用不等式 2x3y60 表示，所以由點(2，t)在直線 2x3y60 的上方得43t60，解得 t23.答案：23，4在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組xy10，x10，axy10(a 為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于 2，則 a 的值等于_解析：易知 axy10 過定點 B(0，1)，作出可行域(如

5、圖)，可得點 A(1，a1)，所以 SABC12(a1)12，解得 a3(經(jīng)檢驗滿足題意)答案：3考點一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域?qū)W生用書 P111(1)(2014高考安徽卷)不等式組xy20，x2y40，x3y20表示的平面區(qū)域的面積為_(2)若不等式組xy0，2xy2，y0，xya表示的平面區(qū)域是一個三角形， 則 a 的取值范圍是_解析(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由x3y20，x2y40得 A(8，2)由 xy20 得 B(0，2)又|CD|2，故 S陰影122212224.(2)不等式組xy0，2xy2，y0表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)解yx，2xy2得

6、A23，23 ；解y0，2xy2得 B(1，0)若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線 xya 中的 a 的取值范圍是 0a1 或 a43.答案(1)4(2)(0，143，若本例(2)條件變?yōu)椋喝舨坏仁浇Mxy50，ya，0 x2表示的平面區(qū)域是一個三角形，則 a 的取值范圍是_解析：如圖，當(dāng)直線 ya 位于直線 y5 和 y7 之間(不含 y7)時滿足條件答案：5，7)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法(1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是：“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式(組)若滿足不等式(組)，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與

7、特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域；(2)當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實線，不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點常取原點.1.(1)不等式(x2y1)(xy3)0 在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)大致是()(2)不等式組x0，xy3，yx1表示的平面區(qū)域為，直線 ykx1 與區(qū)域有公共點，則實數(shù) k 的取值范圍為()A(0，3B1，1C(，3D3，)解析：(1)選 C.(x2y1)(xy3)0，即x2y10，xy30或x2y10，xy30，與選項 C符合故選 C.(2)選 D.直線 ykx1 過定點 M(0，1)，由圖可知，當(dāng)直線 ykx1 經(jīng)過直線 yx1 與直線

8、xy3 的交點 C(1，2)時，k 最小，此時 kCM2（1）103，因此 k3，即k3，)故選 D.考點二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)(高頻考點)學(xué)生用書 P112線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)問題是每年高考的熱點，屬必考內(nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度適中，屬中檔題高考對線性目標(biāo)函數(shù)最值(范圍)問題的考查有以下兩個命題角度：(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)；(2)已知線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)求參數(shù)值(范圍)(1)(2015高考全國卷)若 x， y 滿足約束條件xy20，x2y10，2xy20，則 z3xy 的最大值為_(2)(2015高考山東卷)已知 x，y 滿足約束條件xy0，xy2，

9、y0.若 zaxy 的最大值為 4，則a()A3B2C2D3解析(1)畫出可行域(如圖所示)因為 z3xy，所以 y3xz.所以直線 y3xz 在 y 軸上截距最大時，即直線過點 B 時，z 取得最大值由xy20，x2y10解得 B(1，1)，所以 zmax3114.(2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若 zaxy 的最大值為 4，則最優(yōu)解為 x1，y1 或 x2，y0，經(jīng)檢驗知 x2，y0 符合題意，所以 2a04，此時 a2.答案(1)4(2)B利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟(1)畫出約束條件對應(yīng)的可行域；(2)將目標(biāo)函數(shù)視為動直線，并將其平移經(jīng)過可行域，找到最優(yōu)解對應(yīng)的點

10、；(3)將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)，求出最大值或最小值注意對于已知目標(biāo)函數(shù)的最值，求參數(shù)問題，把參數(shù)當(dāng)作已知數(shù)，找出最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)2.(1)(2016貴陽監(jiān)測考試)已知實數(shù) x，y 滿足：x2y10，x2，xy10，則 z2x2y1 的取值范圍是()A.53，5B0，5C.53，5D.53，5(2)當(dāng)實數(shù) x，y 滿足x2y40，xy10，x1時，1axy4 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是_解析：(1)畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖陰影部分所示，作直線 l：2x2y10(圖略)，平移 l 可知 2132231z0，且在點 A(1，0)處取得最小值，在點 B(2，1)處取得最大值，故 a1，2a

11、14，故 a 的取值范圍為1，32 .答案：(1)D(2)1，32考點三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用學(xué)生用書 P112(2016高考全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品 A 和產(chǎn)品 B 需要甲、 乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 的利潤為 2 100 元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 的利潤為 900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，則在不超過 600 個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品 B 的利潤之和的最大值為_元.解析由題意，設(shè)產(chǎn)品 A 生產(chǎn)

12、x 件，產(chǎn)品 B 生產(chǎn) y 件，利潤 z2 100 x900y，線性約束條件為1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，y0，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又由 xN，yN，可知取得最大值時的最優(yōu)解為(60，100)，所以 zmax2 10060900100216 000(元)答案216 000利用線性規(guī)劃解決實際問題的步驟(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，主要變量有哪些由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多，為了了解題目中量與量之間的關(guān)系，可以借助表格或圖形；(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量 x，y，并列

13、出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)；(3)作圖：準(zhǔn)確作圖，平移找點(最優(yōu)解)；(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)；(5)檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反饋3.A，B 兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品已知 A 產(chǎn)品需要在甲機器上加工 3 小時，在乙機器上加工 1 小時；B 產(chǎn)品需要在甲機器上加工 1 小時，在乙機器上加工 3 小時在一個工作日內(nèi)，甲機器至多只能使用 11 小時，乙機器至多只能使用 9 小時A 產(chǎn)品每件利潤 300 元，B 產(chǎn)品每件利潤 400 元，則這兩臺機器在一個工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是_元解析：設(shè)生產(chǎn) A 產(chǎn)品 x 件，B 產(chǎn)品 y 件，則 x，y

14、滿足約束條件3xy11，x3y9，xN，yN，生產(chǎn)利潤為 z300 x400y.畫出可行域，如圖陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點，顯然 z300 x400y 在點 A 處取得最大值，由方程組3xy11，x3y9，解得x3，y2，則 zmax300340021 700.故最大利潤是 1 700 元答案：1 700,學(xué)生用書 P113)方法思想數(shù)形結(jié)合思想求解非線性規(guī)劃問題(2015高考全國卷)若 x，y 滿足約束條件x10，xy0，xy40，則yx的最大值為_解析畫出可行域如圖陰影所示，因為yx表示過點(x，y)與原點(0，0)的直線的斜率，所以點(x，y)在點 A 處時yx最大由x1，xy40，得

15、x1，y3.所以 A(1，3)所以yx的最大值為 3.答案3(1)本題在求yx的取值范圍時，利用數(shù)形結(jié)合思想，把yx轉(zhuǎn)化為動點(x，y)與定點(0，0)連線的斜率解決這類問題時，需充分把握目標(biāo)函數(shù)的幾何含義，在幾何含義的基礎(chǔ)上加以處理(2)常見代數(shù)式的幾何意義： x2y2表示點(x，y)與原點(0，0)的距離； （xa）2（yb）2表示點(x，y)與點(a，b)的距離；yx表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率值；ybxa表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率值1.(2016高考山東卷)若變量 x，y 滿足xy2，2x3y9，x0，則 x2y2的最大值是()A4B9C10D12解析：選

16、C.作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè) P(x，y)為平面區(qū)域內(nèi)任意一點， 則 x2y2表示|OP|2.顯然， 當(dāng)點 P 與點 A 重合時， |OP|2即 x2y2取得最大值 由xy2，2x3y9，解得x3，y1，故 A(3，1)所以 x2y2的最大值為 32(1)210.故選 C.2(2016洛陽統(tǒng)考)已知不等式組xy2，x0，ym表示的平面區(qū)域的面積為 2，則xy2x1的最小值為()A.32B.43C2D4解析：選 B.畫出不等式組所表示的區(qū)域， 由區(qū)域面積為 2， 可得 m0.而xy2x11y1x1，y1x1表示可行域內(nèi)任意一點與點(1，1)連線的斜率，所以y1x1的最小

17、值為0（1）2（1）13，所以xy2x1的最小值為43.1(2016長春模擬)不等式組x3y60，xy20表示的平面區(qū)域是()解析：選 B.x3y60 表示直線 x3y60 以及該直線下方的區(qū)域，xy20，b0)的最大值為 4，則 ab 的值為()A.14B2C4D0解析：選 C.作出不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，由圖可知，zaxby(a0，b0)過點 A(1，1)時取最大值，所以 ab4.6(2016河南省六市第一次聯(lián)考)已知實數(shù) x、y 滿足y1，y2x1，xym，如果目標(biāo)函數(shù) zxy的最小值為1，則實數(shù) m()A6B5C4D3解析：選 B.畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所

18、示，作直線 l：yx，平移l 可知，當(dāng)直線 l 經(jīng)過 A(2，3)時符合題意，又 A(2，3)在直線 xym 上，所以 m5，故選B.7滿足不等式組xy30，xy10，2y3的點(x，y)構(gòu)成的區(qū)域的面積為_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(包括邊界)易知 A 點的坐標(biāo)為(2，3)，B 點的坐標(biāo)為(1，2)，從而可知圖中陰影部分的面積為12211.答案：18若 x，y 滿足約束條件x0，x2y3，2xy3，則 zxy 的最大值是_解析：作出約束條件x0，x2y3，2xy3表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，當(dāng)直線 zxy 過點A(1，1)時，目標(biāo)函數(shù) zxy 取得最大值 0.答

19、案：09若實數(shù) x，y 滿足xy10，xy0，x0，則 z3x2y的值域是_解析：令 tx2y，則 y12xt2，作出可行域，平移直線 y12x，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過 O 點時，t 最小，當(dāng)經(jīng)過點 D(0，1)時，t 最大，所以 0t2，所以 1z9，即 z3x2y的值域是1，9答案：1，910(2016鄭州質(zhì)檢)若 x，y 滿足條件3x5y60，2x3y150，y0，當(dāng)且僅當(dāng) xy3 時，zaxy取得最小值，則實數(shù) a 的取值范圍是_解析：畫出可行域，如圖，直線 3x5y60 與 2x3y150 交于點 M(3，3)，由目標(biāo)函數(shù) zaxy，得 yaxz，縱截距為z，當(dāng) z 最小時，z 最大欲使

20、縱截距z 最大，則23a35.答案：23，3511.已知 D 是以點 A(4， 1)， B(1， 6)， C(3， 2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部) 如圖所示(1)寫出表示區(qū)域 D 的不等式組；(2)設(shè)點 B(1，6)，C(3，2)在直線 4x3ya0 的異側(cè)，求 a 的取值范圍解：(1)直線 AB、AC、BC 的方程分別為 7x5y230，x7y110，4xy100.原點(0，0)在區(qū)域 D 內(nèi)，故表示區(qū)域 D 的不等式組為7x5y230，x7y110，4xy100.(2)根據(jù)題意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，得 a 的取值范圍是18a14.12(2

21、014高考陜西卷)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在ABC 三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)設(shè)OPmABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值解：(1)法一：因為PAPBPC0，又PAPBPC(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，所以63x0，63y0，解得x2，y2，即OP(2，2)，故|OP|2 2.法二：因為PAPBPC0，則(OAOP)(OBOP)(OCOP)0，所以O(shè)P13(OAOBOC)(2，2)，所以|OP|2 2.(2)因為OPmABn

22、AC，所以(x，y)(m2n，2mn)，所以xm2n，y2mn，兩式相減得，mnyx.令 yxt，由圖知，當(dāng)直線 yxt 過點 B(2，3)時，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值為 1.1(2016東北三校聯(lián)合模擬)變量 x，y 滿足約束條件y1，xy2，3xy14，若使 zaxy 取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù) a 的取值集合是()A3，0B3，1C0，1D3，0，1解析：選 B.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示易知直線 zaxy 與 xy2 或 3xy14 平行時取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個， 即a1 或a3，所以 a1 或 a3.2(2015高考浙江卷)已知實數(shù) x，y 滿足 x2y21，則|2xy4|6x3y|的最大值是_解析：因為 x2y21，所以 2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令 z103x4y，如圖，設(shè) OA 與直線3x4y0 垂直，所以直線 OA 的方程為 y43x.聯(lián)立y43x，x2y21，得 A(35，45)，所以當(dāng) z103x4y 過點 A 時，z 取最大值，zmax103(35)4(45)