大一高數(shù)課件第十一章114

1、一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)具有任意階導內(nèi)具有任意階導 數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開

2、成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導任意次逐項求導任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù) 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!

3、)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點00 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定. 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麥氏級數(shù)為的麥氏級數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級數(shù)在該級數(shù)在可見可見).()(,0 xfxfx于于的麥氏級數(shù)處處不收斂的麥氏級數(shù)處處不收斂外外除除 在在x=0

4、點任意可導點任意可導,定理定理 2 2 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xu 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)0)(lim xrnn. .證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(1xsxfxrnn ,)(能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù)設設xf)()(lim1xfxsnn )(limxrnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性充分性),()()(1xrxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數(shù)收斂于的泰

5、勒級數(shù)收斂于定理定理 3 3 設設)(xf在在)(0 xu上有定義上有定義, ,0 m, ,對對),(00rxrxx , ,恒有恒有 mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00rxrx 內(nèi)可展內(nèi)可展開成點開成點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù). .證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx ,),()!1(010收斂收斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)可展成點可展成點x),(00rxrxx 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪

6、級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收例例1解解.)(展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 m上上在在,mm xnexf )()(me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開

7、成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1lim nnn , 1 , 1 r若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1(

8、 nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛

9、頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為有有時時當當,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算

10、, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方等方法法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4.4)(45的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxxf 解解212)41(2)(xxxf nnnxnnxx4!)!2(!)!32()1(42112212141 x.!)!2

11、(4!)!32()1(241222132 nnnnxnnxx44 x 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx例例5.2cossin)(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxxf 解解xxxf2cossin)( sin3sin21xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn)!12()1(21)!12()3()1(21120120 nxnxnnnnnn xxnnnnn.)!12()13()1(2112120例例6.)1ln()(2的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxxf 解解111ln)(3 xxxxf)1ln()1ln(

12、3xx 11)1()1ln(11 xnxxnnnnxnxnnnnnn)()1()()1(11311 131.nnnnnxnx11 x例例7處展開成泰勒級數(shù)處展開成泰勒級數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 三、小結(jié)三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰

13、勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.思考題思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？什么叫冪級數(shù)的間接展開法？思考題解答思考題解答 從已知的展開式出發(fā)從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法算或逐項求導、逐項積分等辦法,求出給定函數(shù)求出給定函數(shù)展開式的方法稱之展開式的方法稱之.一一、 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數(shù)數(shù)3)(xxf 展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間 . .三三、 將將 函函 數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展 開開 成成)4( x的的 冪冪 級級數(shù)數(shù) . .四四、 將將級級數(shù)數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數(shù)數(shù)展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù) . .練練 習習 題題練習題答案練習題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnn