無窮小與無窮大和極限的關系

1、二二 無窮小與無窮大和極限的關系無窮小與無窮大和極限的關系三三 無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大一一 無窮小與無窮大的概念無窮小與無窮大的概念一、無窮小與無窮大的概念定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù) x),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xx) )的一切的一切x, ,對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 )(xf, , 那末那末 稱函數(shù)稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小

2、時為無窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.1.1.無窮小無窮小例如例如, , 0sinlim0 xx時時的的無無窮窮小小. .是是當當函函數(shù)數(shù)0sinxx, 01lim xx時的無窮小.時的無窮小.是當是當函數(shù)函數(shù) xx1, 0)1(lim nnn時的無窮小.時的無窮小.是當是當數(shù)列數(shù)列 nnn)1(注意1. .無窮小是變量無窮小是變量, ,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆; ;2.2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù). .2.2.無窮大無窮大定義 2 如果對于任意給定的正數(shù)m(

3、不論它多么小),總存在正數(shù) (或正數(shù)x),使得對于適合不等式 00 xx(或 xx)的一切x,所對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式 mxf )(, 則稱函數(shù))(xf當0 xx(或x)時為無窮小,記作 ).)()( xfxf或或 絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大. . 0 xxlim xlim 特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.認為極限存在.2.切勿將)(lim0 xfxxxxy1s

4、in1 但不是無窮大.但不是無窮大.是一個無界變量,是一個無界變量,當當例如,例如,xxyx1sin10 時,), 3 , 2 , 1 , 0(221kl kkxp pp p取取(1),22)(kp pp p kxy.)(,kmxy 充分大時充分大時當當k), 3 , 2 , 1 , 0(21kl kkxp p取取(2), kxk充分大時,充分大時,當p pp pkkxyk2sin2)( 但但.0m 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證明證明例證. 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取時,mx110 當當.11mx 就有就有.11lim1 xx的圖形的鉛

5、直漸近線.是函數(shù)則直線,如果:定義)()(lim00 xfyxxxfxx 11 xy1.無窮小與函數(shù)極限的關系:證 必要性必要性,)(lim0axfxx 設設,)()(axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 設設,)(0時的無窮小時的無窮小是當是當其中其中xxx )(lim)(lim00 xaxfxxxx 則則)(lim0 xaxx .a 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfxx 其中其中)(x 是當是當0 xx 時的無窮小時的無窮小. 二、無窮小與無窮大和極限的關系 x 0 xx 是時無窮小.2. 2. 無窮小與

6、無窮大的關系無窮小與無窮大的關系. 0)(1lim ,)(lim .)(1lim ),0)( , 0)(limxfxfxfxfxfxxxx則(2)若 則(1)若 定理2即：即： 無窮大的倒數(shù)為無窮小，非零無窮無窮大的倒數(shù)為無窮小，非零無窮小的倒數(shù)是無窮大小的倒數(shù)是無窮大. .)(1 xf即即證 (2),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時時使得當使得當.)(lim0 xfxx設設.為無窮小為無窮小時時當當)(1,0 xfxx 注注 關于無窮大的討論關于無窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關于無窮都可歸結(jié)為關于無窮 小的討論小的討論. .,1)(0, 0, 0 0mxfxxm 恒有恒有時時使得當使

7、得當 為無窮大.為無窮大.時,時,當當)(10 xfxx , 0)( xf由于由于.)(1mxf 從而從而. 0)(, 0)( )1( xfxf且且設設 0 xxlim意義意義 1.1.將一般的極限問題轉(zhuǎn)化為特殊的極限問將一般的極限問題轉(zhuǎn)化為特殊的極限問 題題( (無窮小）；無窮小）； 2.2.給出了函數(shù)給出了函數(shù) 在在 附近的近似表達附近的近似表達 式式 )(xfox).()(xaxf 誤差為誤差為, 三、 無窮小的運算性質(zhì)定理3同一過程中，有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證：時的兩個無窮小,時的兩個無窮小,是當是當及及設設 x 使使得得, 0, 0, 021 xx 注意：無限個無窮小量的和

8、不一定是無窮小注意：無限個無窮小量的和不一定是無窮小. .例如例如，不是無窮小.不是無窮小.個之和為1,個之和為1,但但是無窮小.是無窮小.時時nnn1， ;22 時時恒恒有有當當xx 22 , ,max21xxx 取取恒有恒有時時當當,xx . 0)lim( ;21 時時恒恒有有當當xx定理4 有界函數(shù)與無窮小量的積仍是無窮小.證 內(nèi)有界,內(nèi)有界,在在設函數(shù)設函數(shù)),(10 oxuu使得當使得當則則, 0, 01 m時時10|0 xx,|mu 恒有恒有恒有恒有又設又設 是當是當 時的無窮小，時的無窮小， 0 xx , 0, 02 使得當使得當20|0 xx.|m 取取,min21 則當則當 |00 xx 時恒有時恒有時,| mmuu為無