人教版高中數(shù)學(xué)選修11課后提升作業(yè) 十四 2.2.2.2 Word版含解析

1、起課后提升作業(yè) 十四雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.若ab0,則ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲線只可能是下圖中的()【解析】選c.方程可化為y=ax+b和x2a+y2b=1.從b,d中的兩橢圓看a,b(0,+),但b中直線有a<0,b<0矛盾,應(yīng)排除;d中直線有a<0,b>0矛盾,應(yīng)排除;再看a中雙曲線的a<0,b>0,但直線有a>0,b>0,也矛盾,應(yīng)排除;c中雙曲線的a>0,b<0和直線中a,b一致.2.(2016·德化高二檢測(cè))直線y=k(x+2)與雙曲線

2、x24-y2=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的不同取值有()a.1個(gè)b.2個(gè)c.3個(gè)d.4個(gè)【解析】選d.由已知可得,雙曲線的漸近線方程為y=±12x,頂點(diǎn)(±2,0),而直線恒過(guò)(-2,0),故有兩條與漸近線平行,有兩條切線,共4條直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·天水高二檢測(cè))已知雙曲線方程為x2-y24=1,過(guò)p(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則共有l(wèi)()a.4條b.3條c.2條d.1條【解析】選b.因?yàn)殡p曲線方程為x2-y24=1,所以p(1,0)是雙曲線的右頂點(diǎn),所以過(guò)p(1,0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線,與雙曲線只有一

3、個(gè)公共點(diǎn),另外還有兩條就是過(guò)p(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線,所以符合要求的共有3條.【拓展延伸】數(shù)形結(jié)合思想在研究直線與雙曲線問(wèn)題中的應(yīng)用直線過(guò)定點(diǎn)時(shí),根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.直線斜率一定時(shí),通過(guò)平行移動(dòng)直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來(lái)確定其位置關(guān)系.3.過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)f作一條漸近線的垂線,若垂足恰在線段of(o為原點(diǎn))的垂直平分線上,則雙曲線的離心率為()a.3b.2c.5+12d.3+12【解析】選b.如圖,不妨設(shè)f為右焦點(diǎn),向漸近線y=bax所作垂線的垂足為p,則由題意

4、知|po|=|pf|,所以pof=45°,即ba=1,所以雙曲線的離心率e=1+b2a2=2.4.(2016·唐山高二檢測(cè))已知雙曲線x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,其中一條漸近線方程為y=x,點(diǎn)p(3,y0)在該雙曲線上,則pf1·pf2=()a.-12b.-2c.0d.4【解析】選c.由已知得,b2=2,c=2,點(diǎn)p為(3,±1),左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),結(jié)合向量的乘法,易知選c.5.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與函數(shù)y=x2+1的圖象相切,則該雙曲線的離

5、心率等于()a.3b.2c.5d.6【解析】選c.由雙曲線x2a2-y2b2=1,得雙曲線的漸近線方程為y=±bax,與y=x2+1聯(lián)立,得x2±bax+1=0.所以=±ba2-4=0,則b2=4a2.又c2=a2+b2,所以c2=5a2,則e=ca=5.6.已知曲線x2a-y2b=1與直線x+y-1=0相交于p,q兩點(diǎn),且op·oq=0(o為原點(diǎn)),則1a-1b的值為()a.1b.2c.3d.32【解析】選b.將y=1-x代入x2a-y2b=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),則x1+x2=2aa-b,

6、x1x2=a+aba-b.因?yàn)閛p·oq=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以2a+2aba-b-2aa-b+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以1a-1b=2.7.(2015·天津高考)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f(2,0),且雙曲線的漸近線與圓x-22+y2=3相切,則雙曲線的方程為()a.x29-y213=1b.x213-y29=1c.x23-y2=1d.x2-y23=1【解析】選d.由雙曲線的漸近線bx-ay=0與圓(x-2)2+y2=

7、3相切可知2ba2+b2=3,又因?yàn)閏=a2+b2=2,所以有a=1,b=3,故雙曲線的方程為x2-y23=1.8.斜率為2的直線l與雙曲線x23-y22=1交于a,b兩點(diǎn),且|ab|=4,則直線l為()a.y=2x+2103b.y=2x-2103c.y=2x±2103d.以上都不對(duì)【解析】選c.設(shè)直線l的方程為y=2x+m,代入雙曲線方程中得:10x2+12mx+3m2+6=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-6m5,x1x2=3m2+610.因?yàn)閨ab|=5·(x1+x2)2-4x1x2=4,所以5·-6m52-4×3m2+61

8、0=4,解得m=±2103,所以直線l的方程為y=2x±2103.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·廣州高二檢測(cè))過(guò)點(diǎn)p(-3,0)的直線l與雙曲線x216-y29=1交于點(diǎn)a,b,設(shè)直線l的斜率為k1(k10),弦ab的中點(diǎn)為m,om的斜率為k2(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),則k1·k2=_.【解析】顯然直線l的斜率存在.設(shè)a,b的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),所以x1216-y129=1,x2216-y229=1.兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)16-(y1+y2)(y1-y2)9=0,即k1=y1-y2x1-x2=9(x1+x

9、2)16(y1+y2).因?yàn)閙x1+x22,y1+y22,所以k2=y1+y2x1+x2,所以k1·k2=916.答案:91610. (2016·北京高考)雙曲線=1(a0,b0) 的漸近線為正方形oabc的邊oa，oc所在的直線，點(diǎn)b為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形oabc的邊長(zhǎng)為2，則a= .【解析】因?yàn)檎叫蝟abc的邊長(zhǎng)為2，所以b(2,0)，漸近線為y=±x.所以c=2,a=b.又因?yàn)閍2+b2=c2，所以a=b=2.答案：2【補(bǔ)償訓(xùn)練】過(guò)雙曲線x220-y25=1的右焦點(diǎn)的直線被雙曲線所截得的弦長(zhǎng)為5,這樣的直線的條數(shù)為()a.4b.3c.2d.1【解析】選

10、d.依題意可得右焦點(diǎn)f(5,0),所以垂直x軸,過(guò)f的直線是x=5.代入x220-y25=1,求得y=±52,所以此時(shí)弦長(zhǎng)=52+52=5.不是垂直x軸的,如果直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),則弦長(zhǎng)一定比它長(zhǎng),所以這里只有一條,因?yàn)閮蓚€(gè)頂點(diǎn)距離=45,即左右兩支上的點(diǎn)最短是45,所以如果是交于兩支的話,弦長(zhǎng)不可能為5,所以只有1條.三、解答題(每小題10分,共20分)11.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線過(guò)點(diǎn)p(42,-3),且點(diǎn)q(0,5)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),f1(-

11、c,0),f2(c,0).因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)p(42,-3),所以32a2-9b2=1.又因?yàn)辄c(diǎn)q(0,5)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直,所以qf1·qf2=0,即-c2+25=0.所以c2=25.又c2=a2+b2,所以可得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216-y29=1.12.(2016·黃石高二檢測(cè))已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過(guò)右焦點(diǎn)f2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于a,b兩點(diǎn),試問(wèn)a,b兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上?并求弦ab的長(zhǎng).【解題指南】聯(lián)立方程后根據(jù)兩根的符號(hào)確定兩個(gè)交點(diǎn)的位置.【解析】因?yàn)閍=1,b=

12、3,c=2,又直線l過(guò)點(diǎn)f2(2,0),且斜率k=tan 45°=1,所以l的方程為y=x-2,由y=x-2,3x2-y2=3,消去y并整理得2x2+4x-7=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),因?yàn)閤1·x2=-72<0,所以a,b兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上.因?yàn)閤1+x2=-2,x1·x2=-72,所以|ab|=1+12|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4-72=6.【能力挑戰(zhàn)題】設(shè)雙曲線c:x2a2-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)a,b.(1)求雙曲線c的離心率e的取值范圍.(2)若設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為p,且pa=512pb,求a的值.【解析】(1)由雙曲線c與直線l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得x2a2-y2=1,x+y=1有兩個(gè)不同的解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,所以1-a20,=4a4+8a2(1-a2)>0解得-2<a<2且a0且a±1.又因?yàn)閍>0,所以0<a<2且a1.因?yàn)殡p曲線的離心率e=1+a2a=1a2+1,又因?yàn)?<a<2,且a1,所以e>62且e2.所以雙曲線c的離心率e的取值范圍是62,2(2,+).(2)設(shè)a(x1,