第六章常微分方程與差分方程

1、一、考試內(nèi)容一、考試內(nèi)容二、考試要求二、考試要求三、真題選講三、真題選講四、課外習(xí)題四、課外習(xí)題 1、常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程、常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程.一、考試內(nèi)容一、考試內(nèi)容4、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡(jiǎn)單的非齊次線、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡(jiǎn)單的非齊次線 性微分方程性微分方程. 3、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.5、差分與差分方程的概念，差分方程的通解與特解、差分與差分方程的概念，差分方程的通解與特解. 2、齊次微分方程，一階線性微分方程、齊次微分方程，一階線性微分方程. 7、微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用、微分方

2、程的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 6、一階常系數(shù)線性差分方程、一階常系數(shù)線性差分方程. 1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解 等概念等概念.2、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階階 線性微分方程的求解方法線性微分方程的求解方法.二、考試要求二、考試要求4、了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解、了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解 某些簡(jiǎn)單的非齊次線性微分方程某些簡(jiǎn)單的非齊次線性微分方程.3、會(huì)解二階常系數(shù)齊次線性微分方程、會(huì)解二階常系數(shù)齊次線性微分方程.5、了解差分與差分方程的概念及其

3、通解與特解等概念、了解差分與差分方程的概念及其通解與特解等概念.7、會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題、會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題.6、了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法、了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法.三、真題選講三、真題選講例例1：已知：已知 是微分方程是微分方程 的解，則的解，則 的表達(dá)式為（的表達(dá)式為（ ）.xxyln)(yxxyy(a) (b) (c) (d)(yx22xy22xy22yx22yx例例2：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 在在 上可導(dǎo)，上可導(dǎo)， ，且其反函，且其反函數(shù)為數(shù)為 .若若 求求 )(xf), 00) 0(f)(xg.)(2)(0 xxfexdttg).(xf例

4、例3:設(shè)位于第一象限的曲線設(shè)位于第一象限的曲線 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) , 其其上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) 處的法線與處的法線與 軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為 ，且線段，且線段 被被 軸平分軸平分.（1）求曲線）求曲線 的方程；的方程；（2） 已知曲線已知曲線 在在 上的弧長(zhǎng)為上的弧長(zhǎng)為 ，試用，試用 表示曲線表示曲線 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng). )(xfy )21,22(),(yxpyqpqx)(xfy xysin, 0ll)(xfy 例例4：在：在 坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) ，其，其上任意點(diǎn)上任意點(diǎn) 處的切線斜率與直線處的切線斜率與直線 的斜率之的斜率之差等于差等于 （常數(shù)（常數(shù) ）.（1）求）求 的方程的

5、方程; （2）當(dāng)）當(dāng) 與直線與直線 所圍成平面圖形的面積為所圍成平面圖形的面積為 時(shí)，時(shí)， 確定確定 的值的值.l)0(),(xyxp)0 , 1 (mxoyopax0allaxy 38a例例5：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù).若由曲線若由曲線 ，直線直線 與與 軸所圍成的平面圖形繞軸所圍成的平面圖形繞 軸軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，試求試求 所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件條件 的解的解.)(xf), 1 )(xfy ) 1(, 1ttxxx)1 ()(3)(2ftfttvx)(xfy922xyly例例6：設(shè)：設(shè)

6、是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn) 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在 軸上的截軸上的截距，且距，且 經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， （1）試求曲線）試求曲線 的方程的方程; （2）求）求 位于第一象限部分的一條切線，使該切線與位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小.l)0(),(xyxpl)0,21(ll例例7：設(shè)：設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求求 所滿足的一階微分方程，并求其通解所滿足的一階微分方程，并求其通解.),( vuf.),(),(uvvufvufvu)

7、,()(2xxfexyx例例8：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，且滿足方程上連續(xù)，且滿足方程求求 .)(tf), 0)(tf.)21()(22224224dxdyyxfetftyxt例例9：設(shè)：設(shè) （ 是任意常數(shù)）為某是任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為.)cossin(21xcxceyx21,cc例例10：設(shè)：設(shè) 是二階常系數(shù)微分方程是二階常系數(shù)微分方程滿足初始條件滿足初始條件 的特解，則當(dāng)?shù)奶亟猓瑒t當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 的極限（的極限（ ）.（a）不存在）不存在 （b）等于）等于1 （c）等于）等于2 （d）等于）等于3)(

8、xyyxeqyypy3 0) 0() 0( yy0 x)()1ln(2xyx例例11：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足方程滿足方程 ，求，求)(uf)sin(yefzxzeyzxzx22222).(uf例例12（1）驗(yàn)證函數(shù)）驗(yàn)證函數(shù) 滿足微分方程滿足微分方程 ；（2）利用（）利用（1）的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)）的結(jié)果求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) .xeyyy )()!3(! 9! 6! 31)(3963xnxxxxxyn03)!3(nnnx例例13：差分方程：差分方程 的通解為的通解為.051021tyyttk例例14：已知某商品的需求量：已知某商品的需求量 和供給量和供給量

9、 都是價(jià)格都是價(jià)格 的的函數(shù)：函數(shù)： 其中其中 和和 為常為常數(shù)；價(jià)格數(shù)；價(jià)格 是時(shí)間是時(shí)間 的函數(shù)且滿足方程的函數(shù)且滿足方程 （ 為正的常數(shù)）為正的常數(shù)）假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 時(shí)價(jià)格為時(shí)價(jià)格為1，試求，試求（1）需求量等于供給量時(shí)的均衡價(jià)格）需求量等于供給量時(shí)的均衡價(jià)格 ；（2）價(jià)格函數(shù)）價(jià)格函數(shù) ；（；（3）極限）極限p0a.)(,)(2bppsspapddds0bpt)()(pspdkdtdp0tep)(tp).(limtpt四、課外習(xí)題四、課外習(xí)題習(xí)習(xí)1：差分方程：差分方程 的通解為的通解為.ttttyy21習(xí)習(xí)2：已知某商品的需求量：已知某商品的需求量 對(duì)價(jià)格對(duì)價(jià)格 的彈性的彈性 ,而市場(chǎng)對(duì)

10、該商品的最大需求量為而市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1（萬(wàn)件）（萬(wàn)件）.求需求函數(shù)求需求函數(shù).px33p習(xí)習(xí)3：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足 ，求，求 的表達(dá)式的表達(dá)式.2022)()()(xdttftxxfx)(xf)(xf習(xí)習(xí)4：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 滿足條件滿足條件 求廣義求廣義積分積分 . , 4) 0(, 2) 0(, 044yyyyydxxy0)()(xyy 習(xí)習(xí)6：設(shè)：設(shè) 是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn) 的一的一段連續(xù)曲線，段連續(xù)曲線， 為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn) 為為 在在 軸上的投影，軸上的投影， 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).若梯形若梯形 的面積與的面積與曲邊三角形曲邊三角形 的面積之和為的面積之和為 求求 的表達(dá)式的表達(dá)式.)(xfy ocmao),(yxm)0 , 1 (),1 , 0(bacmxcbm)(xf316