統(tǒng)計的難點分析及解決策略

1、二、統(tǒng)計的難點分析及解決策略 真實的數(shù)據(jù)能提供科學(xué)信息，幫助我們了解世界，許多科學(xué)結(jié)論都是通過分析數(shù)據(jù)而得到的，借助數(shù)據(jù)提供的信息作出的判斷才比較可信。因此， “運用數(shù)據(jù)進行推斷 ”的思考方法已成為現(xiàn)代社會普遍應(yīng)用而且高效的思維模式，而 “用樣本推斷總體 ”又是統(tǒng)計最核心的思想方法。 統(tǒng)計學(xué)已有 2000 多年的歷史，按其發(fā)展的歷史階段和統(tǒng)計方法的構(gòu)成看，統(tǒng)計學(xué)包括描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計。描述統(tǒng)計的內(nèi)容包括統(tǒng)計數(shù)據(jù)收集的方法、數(shù)據(jù)的加工和整理方法、用圖表表示數(shù)據(jù)的方法、數(shù)據(jù)分布特征的概括與分析方法等。推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的數(shù)量特征的方法，它以樣本數(shù)據(jù)信息為依據(jù)，以概率論為理論基礎(chǔ)，

2、對總體未知的數(shù)量特征作出以概率形式表述的推斷。 那么統(tǒng)計內(nèi)容學(xué)習(xí)的難點在哪里呢？ （一） 形成“統(tǒng)計觀念” 1. 難點 “觀念”，不同于計算、畫圖等簡單技能，是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的感覺。有些人將統(tǒng)計觀念稱為“數(shù)據(jù)感”或“信息觀念”，無論用什么詞匯，它反映的都是由一組數(shù)據(jù)所引發(fā)的想法、所推測到的所有可能的結(jié)果、自覺的聯(lián)想到運用統(tǒng)計的方法解決有關(guān)的問題等。具體地說，統(tǒng)計觀念可以在以下幾個方面得到體現(xiàn)：認(rèn)識到統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題；能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，作出合理的決策；能對數(shù)據(jù)的來源、收集和描述數(shù)據(jù)的方法、由數(shù)據(jù)得到的結(jié)論進行合理的質(zhì)

3、疑。 學(xué)習(xí)統(tǒng)計的核心目標(biāo)就是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念。而在學(xué)生對統(tǒng)計有怎樣的印象的調(diào)查中，獲得的信息大致有以下幾類： （ 1 ）統(tǒng)計就是分類（ 2 ）統(tǒng)計是計算（ 3 ）統(tǒng)計就是做加法（ 4 ）統(tǒng)計就是填統(tǒng)計表（ 5 ）統(tǒng)計就是畫統(tǒng)計圖，或者是根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題 說明什么？說明對統(tǒng)計知識的教學(xué)出現(xiàn)了偏差。我們的教學(xué)重視知識點的傳授，對統(tǒng)計知識的考核也局限在知識點的考核。因此在教學(xué)過程中，重點放在有關(guān)數(shù)據(jù)的計算上，學(xué)生沒有經(jīng)歷統(tǒng)計過程，難以形成正確的統(tǒng)計觀念。 2 . 解決策略 學(xué)生的生活經(jīng)驗中，潛在地存在統(tǒng)計意識。比如每年的聯(lián)歡會在采購前，生活委員一定會調(diào)查同學(xué)的喜好，然后結(jié)合大多數(shù)同學(xué)的愛好進行采

4、購。我們教學(xué)的重點是幫助學(xué)生挖掘這種潛意識，注重培養(yǎng)學(xué)生有意識的從統(tǒng)計的角度思考有關(guān)問題，也就是當(dāng)遇到有關(guān)問題時能想到去收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。應(yīng)該做好以下幾點 （ 1 ）使學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程    觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷。要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入到統(tǒng)計活動的全過程中去：提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進行交流、評價與改進。 在參與活動中學(xué)會 統(tǒng)計方法，滲透統(tǒng)計思想。 從另一個角度看，數(shù)學(xué)的發(fā)展往往也經(jīng)歷了這樣一個過程，首先是問題的提出，然后是收集與這個問題相關(guān)的信息并進行整理，再根據(jù)這些信息做出一些判斷以解釋或解決開

5、始提出的問題。提出問題這點特別重要，沒有目的的問題，比如老師讓學(xué)生來數(shù)一數(shù)有幾朵花、有幾個人等，這樣的統(tǒng)計活動在學(xué)生心里會留下什么？問題的提出，要考慮學(xué)生的興趣，使他樂于參與，而且應(yīng)該有利于教師的學(xué)科寓教。 例如，我們可以開展豐富多彩的問題調(diào)查活動，如調(diào)查初中生的最喜愛的課外活動、最愛看的書、最喜歡的人物、最喜歡的科目等等，也可以調(diào)查現(xiàn)階段學(xué)生的理想等。此外，調(diào)查的問題還可以從報刊雜志、電視廣播、網(wǎng)絡(luò)等多方面尋找素材，但是要引導(dǎo)學(xué)生注意以上渠道提供的數(shù)據(jù)，其來源是否可靠、合理？利用合理的調(diào)查素材，使學(xué)生在運用統(tǒng)計知識的同時，將統(tǒng)計作為了解社會的一個重要手段，提高他們分析問題解決問題的能力，更好

6、的認(rèn)識現(xiàn)實社會，同時能理智的看待新聞媒介、廣告等公布的數(shù)據(jù)，對現(xiàn)實世界中的許多事情形成自己的看法。 愛因斯坦說過：“純邏輯的思維不可能告訴我們?nèi)魏谓?jīng)驗世界的知識，現(xiàn)實世界的一切知識是始于經(jīng)驗并終于經(jīng)驗的?！苯?jīng)驗性的觀察積累了數(shù)據(jù)，然后從數(shù)據(jù)做出某種判斷，這種活動將有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神。 總之，一定要注意讓學(xué)生經(jīng)歷活動的全過程。不僅要收集數(shù)據(jù)、填寫統(tǒng)計表，繪制統(tǒng)計圖、計算數(shù)據(jù)，而且感受統(tǒng)計圖表的作用，并從中得出相關(guān)的結(jié)論。 （ 2 ）使學(xué)生在現(xiàn)實情境中體會統(tǒng)計對決策的影響要培養(yǎng)學(xué)生從統(tǒng)計的角度思考問題的意識，重要的途徑就是要在教學(xué)中結(jié)合生活實例展示統(tǒng)計的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生在親身經(jīng)歷解

7、決實際問題的過程中體會統(tǒng)計對決策的作用。 例如：統(tǒng)計商店一個月內(nèi)幾種商品的銷售情況，并對這個商店的進貨提出你的建議；全球水資源的匱乏的事實眾所周知，請學(xué)生對自家或?qū)W校的用水情況進行統(tǒng)計，并提出節(jié)水的合理化建議等等，讓學(xué)生對身邊他們感興趣的事情展開調(diào)查，并能夠結(jié)合所得數(shù)據(jù)解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果進行簡單的判斷與預(yù)測，清晰的表達自己的觀點，能夠和同伴交流，在解決問題的過程中，認(rèn)識統(tǒng)計的作用，逐步樹立從統(tǒng)計的角度思考問題。 （二） 抽樣的合理性1 難點統(tǒng)計是以樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過對數(shù)據(jù)的整理、描述和分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征或規(guī)律，從而對總體的特征作出推斷。所以樣本的抽取是否具有代表性，在統(tǒng)計中至關(guān)重要。

8、不同的抽樣將產(chǎn)生不同的結(jié)論。那么如何抽樣更合理，對此學(xué)生還存在很多困惑。 2 解決策略 學(xué)生通過學(xué)習(xí)，了解了普查與抽查的區(qū)別，明確了抽查的必要性。但是由于 我們希望得到的數(shù)據(jù)能正確反映實際的狀況， 所以抽出的樣本要能代表這個全體。樣本抽得好還是不好，這是非常重要的問題。比如我想了解這個區(qū)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，找了 100 個學(xué)生，但他們都是實驗班的學(xué)生，我想了解北京市學(xué)生的每天的學(xué)習(xí)時間，找的都是重點校的學(xué)生，這樣的樣本就代表性差。 有沒有代表性的問題，是樣本的一個核心問題。那么， 怎么能做到有代表性呢？ 就是隨機抽取。 為什么隨機抽樣具有代表性呢？比如說，要了解北京市初中生的視力情況。如果要隨機抽

9、取的話，假設(shè)視力為 5 . 2 的學(xué)生占百分之三，那么，抽到視力為 5 . 2 的可能性也就是百分之三。如果 5 . 0 的占 40 % ，那么，抽到 5 . 0 的可能性也是 40 % ，這樣的隨機抽樣，就保證抽到的樣本里，各個視力值的百分比與總體的百分比是一樣的。另外，由于抽簽與順序無關(guān)，若抽取第一個學(xué)生，視力為 5 . 2 的概率是百分之三，那么抽取第二個學(xué)生、第三個學(xué)生等，其視力為 5 . 2 的概率也是百分之三。隨機抽樣能使得樣本中不同視力的百分比和總體中的百分比近似相同。 換句話說，隨機抽樣的樣本能很好地反映總體的狀況。隨機取樣為什么具有代表性。這正好是我們前面所說的，概率統(tǒng)計學(xué)研

10、究的對象，就是這個隨機性，就是不確定性現(xiàn)象，所以從最開始接觸總體和樣本這兩個基本概念的時候，我們老師就要意識到這個隨機性，在抽樣方法的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該講到隨機取樣，隨機性的作用，保證這個樣本具有代表性，這樣的話才能正確的理解這個概念，以及它和以往不同概念之間的差別，否則的話，我們方法介紹了，學(xué)生會操作方法，但不知道這方法為什么如此去用，也就談不到在生活中靈活使用了。 那么如何隨機取樣呢 ?隨機取樣不是很容易做到的。比如說你隨機拋一枚一元硬幣，某個面向上的次數(shù)有可能多于二分之一。說是隨機拋，但是由于出手的角度、高度等因素，其實拋出來的結(jié)果也是很不隨機的，所以隨機性這一點呢，問題看似簡單，但做到也

11、還是很困難的一件事，這一點是我們老師要注意的。像這樣的問題，要讓學(xué)生了解，在初中也沒必要去深究。但是應(yīng)該讓學(xué)生在具體情境中了解由于所取的樣本不同，將會導(dǎo)致統(tǒng)計結(jié)論的差異。 例如：某校要了解初中學(xué)生課余體育鍛煉的時間，以便改進集中體育活動的時間，請學(xué)生做調(diào)查。首先要根據(jù)學(xué)校的學(xué)生總數(shù)，確定樣本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，費時費力；其次，要選擇調(diào)查的地點，應(yīng)盡可能涉及到各類學(xué)生，比如圖書館、運動場等，僅在一個地方調(diào)查，很容易缺乏代表性，比如只選擇運動場，一定會得出結(jié)論，學(xué)生的每天運動時間過長，反之，只在圖書館做調(diào)查，一定會得到鍛煉時間嚴(yán)重不足的結(jié)論。此外，還要考慮到各年級的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)不同

12、而導(dǎo)致業(yè)余時間不同，因此應(yīng)分年級調(diào)查等，可見，在抽樣的過程中，要考慮的因素非常多，也比較復(fù)雜。初中階段讓學(xué)生明確取樣時要結(jié)合調(diào)查的目的，確定調(diào)查對象以及調(diào)查方法，使之盡可能的具有代表性即可。 （三）統(tǒng)計量含義的理解 1 難點 初中生對統(tǒng)計量的計算不覺得困難，但是如果有較長的時間不使用，大部分學(xué)生就會出現(xiàn)遺忘的現(xiàn)象，更甭提靈活運用了，究其原因是對統(tǒng)計量的含義的理解不夠到位。這其中表現(xiàn)最突出的就是方差了。例如，今年北京市中考題第 7題： 10 名同學(xué)分成甲、乙兩隊進行籃球比賽，它們的身高 ( 單位： cm) 如下表所示：   隊員 1 隊員 2 隊員 3 隊員 4 隊員 5 甲隊 177

13、 176 175 172 175 乙隊 170 175 173 174 183 題目要求比較二人的平均數(shù)及方差。對于平均數(shù)，由于學(xué)生小學(xué)就非常熟悉，而且這是一個生活中常用的概念，所以學(xué)生采用估值法或是直接計算等方法都很容易得到相等的結(jié)論，而對于方差的比較，有的學(xué)生想用方差公式計算，但忘了公式或代入公式后計算有誤。實質(zhì)上，只要明確方差的作用是刻畫數(shù)據(jù)的波動狀態(tài)，認(rèn)真分析兩組數(shù)據(jù)，就很容易得到乙隊的數(shù)據(jù)波動較大，所以選 B選項，根本不需要計算，省時、省力、還不容易出錯。 2 解決策略 在統(tǒng)計的教學(xué)中，重點不是要求學(xué)生背公式，熟練計算，而是要 淡化統(tǒng)計量的計算技巧，突出統(tǒng)計量的特征和作用。避免將這部

14、分內(nèi)容的學(xué)習(xí)變成單純的統(tǒng)計量的計算。注意讓學(xué)生弄清每個統(tǒng)計量的含義及作用。 作為概念課的教學(xué)，“概念產(chǎn)生背景的合理性和應(yīng)用性”是激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)新概念的突破口。 所以要設(shè)置合理的問題情境，使每一個概念來源于生活，反之應(yīng)用于生活，學(xué)生才能有比較深刻的體會。例如對于方差概念的教學(xué)，我是這樣設(shè)計的： 首先，我出示了一組 2008 年我國奧運冠軍在領(lǐng)獎臺上的組圖，用以吸引學(xué)生的注意力，同時由于本屆奧運會我國成績輝煌，這一引入也有利于激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。在此基礎(chǔ)上指出：冠軍的背后還有杰出的教練，從而引入射擊冠軍杜麗及隊友的預(yù)賽射擊成績： 順序環(huán) 數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杜麗 8.

15、5 10.0 10.8 9.9 10.0 10.0 10.0 10.3 10.2 10.3 武柳希 9.0 10.7 9.2 10.0 10.6 9.4 10.5 10.8 10.0 9.8 讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)分析兩人誰更具優(yōu)勢。 將 教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問題。 由于學(xué)生已學(xué)過用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分析數(shù)據(jù)，并且平均數(shù)在生活中較為常用，所以學(xué)生能夠很快地想到利用平均數(shù)來比較兩人成績 。在此安排學(xué)生用計算器進行計算，可以提高課堂效率 。通過計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩人的平均數(shù)相同，繼而考察眾數(shù)與中位數(shù)，結(jié)果仍然相同 。怎么辦？ 讓學(xué)生站到問題的前沿，使他們產(chǎn)生探索的欲望 。 由于利用學(xué)過的統(tǒng)計量無法解

16、決問題，所以引導(dǎo)學(xué)生借助圖象直觀的觀察分析 。 學(xué)生已學(xué)過統(tǒng)計圖，明確折線圖反映數(shù)據(jù)波動情況，所以能夠主動地畫出折線統(tǒng)計圖， 借助圖形觀察數(shù)據(jù)的波動情況，可以看到波動有大有小 。那么如何刻畫波動大小呢？以什么量為參照進行分析更合理呢？ 引導(dǎo)學(xué)生分析此時關(guān)注的是所有數(shù)據(jù)的波動情況，而平均數(shù)是與所有數(shù)據(jù)有關(guān)的量，表示所有數(shù)據(jù)的平均水平，所以學(xué)生想到選取平均數(shù)為參照不會太困難 。要求學(xué)生在折線圖上畫出一條表示平均數(shù)的水平直線，再觀察，你是否有新的發(fā)現(xiàn)？借助圖象可以直觀的感受每個數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動，與平均數(shù)的偏差有大有小 。那么如何從數(shù)量上得到兩組數(shù)據(jù)的差異 ?在此充分注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想 。

17、 這一問有一定的難度，所以在此，我安排了學(xué)生獨立思考后的小組討論，使學(xué)生在交流中相互激發(fā)靈感，有利于對知識的理解 。學(xué)生交流后，請大家發(fā)表觀點?？赡苡腥颂岢?:算出他們每個人的成績偏離平均數(shù)的差的平均數(shù)。教師不急于否定，讓學(xué)生動筆計算，得到 0 ，為什么會這樣呢？學(xué)生思考后闡述原因，這一點結(jié)合圖象很容易理解 。 那么，有什么辦法克服正負(fù)抵消呢？根據(jù)已有知識思考，學(xué)生由數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離，能夠聯(lián)想到絕對值，他們借助計算器計算，得到 學(xué)生利用數(shù)據(jù)比較分析得出：杜麗的成績偏離平均數(shù)的平均距離較小，也就是波動小，成績相對穩(wěn)定 。 我進一步引導(dǎo)學(xué)生，為什么要取距離的平均數(shù)，只求和行不行？學(xué)生思考后，請

18、他們舉例說明。（當(dāng)比較的兩組數(shù)據(jù)個數(shù)不同時利用總和進行比較就不合理了 。）在此基礎(chǔ)上得到數(shù)據(jù)距離平均數(shù)的平均距離：即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)。我讓學(xué)生嘗試借助例題寫出計算公式后分析它的作用：反映數(shù)據(jù)波動的大小 。 此時教師指出：在后續(xù)學(xué)習(xí)中，要用到公式變形，而平均距離要取絕對值，不便于公式變形，所以統(tǒng)計中很少用。 那么，還有什么辦法可以避免正負(fù)抵消呢？ 聯(lián)想已學(xué)的兩個非負(fù)數(shù)，除絕對值外還有平方數(shù)，請學(xué)生嘗試用平方替代絕對值計算： 通過比較數(shù)據(jù)，你能得到什么結(jié)論？讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)分析的同時感受這種方式可以從數(shù)量角度說明數(shù)據(jù)的波動大小，然后讓學(xué)生觀察式子運算特征并歸納出計算方法： （ 1

19、 ）先求平均數(shù)； （ 2 ）再求數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方； （ 3 ）求平方和的平均數(shù) 。 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生從特殊到一般推出方差公式。（你能結(jié)合這個例子，完成下面的問題嗎？） 設(shè) 是 n 個數(shù)據(jù) x 1， x n的平均數(shù)，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，叫做這 n 個數(shù)據(jù)的方差 (variance)，用“ s 2 ”表示。你能寫出“ s 2 ” 的計算公式嗎？ 由于有前面具體問題的分析，對于學(xué)生來講，得到方差公式并不困難。 ，得到公式后，引導(dǎo)學(xué)生分析公式中各量的含義及運算特征并請學(xué)生說出方差的作用：描述一組數(shù)據(jù)波動大?。x散程度）。即：方差的值越小，數(shù)據(jù)波動越小；方差的值越大，數(shù)據(jù)波動越大

20、。也用他來描述數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況，即刻畫離散程度。 為了培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力，我要求學(xué)生將方差與已學(xué)平均數(shù)等統(tǒng)計量進行比較，得到：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差表示數(shù)據(jù)的波動大小。 注：這里應(yīng)強調(diào)，比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小時，一般以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近為前提。 我想補充一點：京教版教材中關(guān)于方差的概念引例為射擊比賽的環(huán)數(shù)，先介紹的是極差，然后才是方差，在此，一般都會采用描點法分析，而當(dāng)所有的環(huán)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖中的點時，學(xué)生的第一感覺就是點的位置有高有低，像波浪起伏，此時借機讓學(xué)生想辦法描述點的波動狀態(tài)，從而逐步引入方差，學(xué)生體會深刻，對方差的作用印象深刻，再加上后面的鞏固

21、應(yīng)用，能達到比較好的理解效果。而對于極差，可以放到后面，借助熟悉的溫度差引入。這樣對教材順序的調(diào)整，不僅順應(yīng)學(xué)生的思維，而且有利于突出重點，突破難點。 統(tǒng)計與概率作為新增內(nèi)容，教材的編寫也不是盡善盡美的，教師要開動腦筋，結(jié)合學(xué)生的具體情況，順應(yīng)學(xué)生的思維，對教材進行合理的整合，使學(xué)生充分體驗概念的生成過程，加深對概念的理解。 三、概率的難點分析及解決策略 （一）建立“隨機觀念” 1 難點 隨機現(xiàn)象是概率與統(tǒng)計部分重要的研究對象，從隨機現(xiàn)象中去尋找規(guī)律，這對學(xué)生來說是一個全新的觀念。特別是如果學(xué)生缺乏隨機現(xiàn)象的豐富體驗，往往很難建立這一觀念。造成概率學(xué)習(xí)中的困難。 2 解決策略 對初中生而言，理

22、解不確定的現(xiàn)象、不確定的事件，我們強調(diào)實際事件，強調(diào)是在相同條件下做重復(fù)實驗，但是實驗的結(jié)果卻不確定。在實驗之前，你是無法預(yù)料結(jié)果是哪一個，這樣的結(jié)果，我們叫做隨機；這樣的實驗，我們一般叫做隨機實驗。關(guān)于結(jié)果，我們還要作進一步的區(qū)分： （ 1 ）就是我們到現(xiàn)在為止，不知道這個結(jié)果是什么。這屬于未知的事件，比如說數(shù)學(xué)上“哥德巴赫猜想”對還是不對，到現(xiàn)在來說，我們也不知道這個哥德巴赫猜想是成立還是不成立，但是它要么就成立，要么就不成立，所以說沒有隨機性。 （ 2 ）你說火星上到底有沒有人。這也沒有任何隨機性。要么就是有，要么就是沒有。無非是我不知道。 （ 3 ）一個硬幣扔完了以后，我拿手蓋上，我問

23、你這是正面向上，還是反面向上。 由于這個實驗已經(jīng)做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。但是現(xiàn)在它沒有任何隨機性，只是我拿手蓋了以后你看不見。如果你的眼睛像 X光一樣，你就立刻能知道結(jié)果。 所以，像這樣的事情，客觀已經(jīng)定下來了，只是我還不知道，這樣的事情不能叫做隨機事件。所以說，不知道的結(jié)果和隨機的結(jié)果是有區(qū)別的兩個概念。 還有些東西，也是不知道的。比如說，本拉登還活著嗎？如果塔利班說，本拉登活的可能性是 10 % ，死的是 90 % ，像這樣一些事件也是不確定現(xiàn)象。但是，本拉登是否活著，這種不確定現(xiàn)象，它沒有重復(fù)實驗的意義，所以也不是概率研究的領(lǐng)域。 什么叫做隨機現(xiàn)象，大千世界，不確定

24、性的現(xiàn)象是非常多的。中學(xué)統(tǒng)計和概率所研究的不確定現(xiàn)象，只是其中最簡單的一種。它強調(diào)的是條件確定，可以重復(fù)的這樣的實驗。對其他的一些不確定性的現(xiàn)象，也是在自然界頻繁發(fā)生的，現(xiàn)在由于知識儲備，或者是能力水平還沒有達到，還不能加以研究。 隨機事件是研究獨特的或者是特殊的一類不確定性現(xiàn)象。它強調(diào)的是這類隨機事件是可以重復(fù)實驗的，重復(fù)出現(xiàn)的；強調(diào)的是結(jié)果是可以隨機發(fā)生的。就象投硬幣，或者是擲骰子都是這樣的事件。 所以使學(xué)生對隨機現(xiàn)象有初步的理解，必須在大量的實驗過程中，才能豐富學(xué)生對概率意義的理解，形成隨機觀念。 （二）概率的抽象性 1 難點 跟過去的精確數(shù)學(xué)相比較，概率比較抽象，不像前面學(xué)的統(tǒng)計量那樣

25、，比如說算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，方差，有對應(yīng)的公式，代入計算即可。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的度量。像長度和面積這些度量都比較直觀，對溫度的高低在一定范圍我們可以感知。而事件發(fā)生的可能性大小的度量，直觀看不見，也無法感知。雖然學(xué)生具有一些生活經(jīng)驗，這些經(jīng)驗是學(xué)生學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，但其中往往有一些是錯誤的。逐步消除錯誤的經(jīng)驗，建立正確的概率直覺是概率教學(xué)的一個重要目標(biāo)。 例如有這么一個案例，美國的一個電視游戲節(jié)目 有三扇門，其中一扇門后面是一輛轎車，另兩扇門后面各有一只羊。給你一次猜的機會。猜中羊可以牽走羊，猜中車可以開走車。當(dāng)然大家都希望能開走汽車?，F(xiàn)在假如你猜 1 號門后面是車，然后主持人把無車的

26、一扇門（比如 2 號門）打開。現(xiàn)在再給你一次機會，請問你是否要換 3 號門？ 觀點一  這三扇門后面有車的可能性是一樣的，都是 1/3，所以不必?fù)Q。 觀點二假定主持人打開的是 2 號門，既然 2 號門后面沒有車，那么車要么在 1 號門后面，要么在 3 號門后面，概率各是 1/2，所以不必?fù)Q。 觀點三車在 1 號門后面的概率是 1/3，于是在 2 號門或 3 號門后面的概率就是 2/3 ，現(xiàn)在既然 2 號門后面沒有車，所以車在 3 號門后面的概率為 2/3，因此應(yīng)該換。 學(xué)生利用已有經(jīng)驗，往往與觀點一或二一致。這是一個概率決策問題，結(jié)論只有換與不換兩個。在當(dāng)時引起了人們極大的興趣，眾說

27、紛紜，各種各樣的觀點都有。足以看出概率問題是有一定難度的。 哈佛大學(xué)概率教授（ Diaconis ）應(yīng)電視臺邀請，進行了表演。以一張紅桃撲克牌表示車，兩張黑桃撲克牌表示羊。按照規(guī)則要求，演示了 8 次，結(jié)果是有 6 次顯示應(yīng)當(dāng)換。      Diaconis 教授說：概率的判斷是依靠大量實驗才獲得的。如果這個游戲允許多次重復(fù)，那一定是 “換 ”為好。如果只給你一次機會，那是很難說的。     分析 :由于隨機性，如果 1 號門后面確實是車，你猜對了，此時要換反而得不到車。如果 1 號門后面沒有車，此時換就得到車。那么換與不換應(yīng)該依據(jù)什

28、么為準(zhǔn)則？在此問題中，以得到車的概率最大為準(zhǔn)則。三種觀點在應(yīng)用概率思想方面都是正確的，造成不同結(jié)果的原因在于對概率大小的判斷上。 首先注意的一點是，主持人是知道汽車在哪扇門后的。換的結(jié)果是將汽車換成羊，或?qū)⒀驌Q成汽車。選擇 1 號門，得到汽車的概率為 1/3，得到羊的概率為 2/3。如果換 3 號門，得到羊的概率為 1/3，得到汽車的概率為 2/3。從概率決策的角度應(yīng)該換，觀點三是正確的。 Diaconis 教授的觀點是正確的。既然在概率大小的判斷上有分歧，通過重復(fù)模擬實驗，借助頻率的大小來判斷最有說服力。 2 解決策略 對于概率的研究，在教學(xué)中多結(jié)合實例，讓學(xué)生親自經(jīng)歷隨機現(xiàn)象的探索過程，親

29、自動手進行實驗，收集實驗數(shù)據(jù)，分析實驗結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測進行比較。例如可以討論下面擲幣游戲的公平性：小紅、小明在做擲硬幣的游戲。任意擲一枚硬幣兩次，若兩次朝上的面相同，則小明獲勝；反之，小紅獲勝。這個游戲公平嗎？ 教學(xué)時，可以讓學(xué)生先猜測這個游戲的公平性，并說明自己的想法。學(xué)生在猜測時，可能會存在一個誤解，認(rèn)為小明獲勝的機會比小紅多。澄清誤解的一個重要方法使學(xué)生親身經(jīng)歷實驗，通過實驗結(jié)果修正自己的想法。同時學(xué)生在實驗中發(fā)現(xiàn)，每次實驗的結(jié)果事先都是無法預(yù)料的，每個小組收集的數(shù)據(jù)帶有不確定性，但大量實驗后，四種情況出現(xiàn)的頻率卻都穩(wěn)定在同一個數(shù)值上。 所以，教師要注重創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在解

30、決實際問題的過程中逐步理解概率。 （三） 概率的統(tǒng)計定義的理解 1 難點 概率在初中階段有三種定義：一種是古典概率，一種是幾何概率，另一種是概率的統(tǒng)計定義。對于前兩種定義，由于有小學(xué)知識的鋪墊，學(xué)生很容易理解，但恰恰是教材中多為古典概型或幾何概型的問題，所以容易造成學(xué)生解決概率問題時，默認(rèn)他是等可能的。所以對于概率的統(tǒng)計定義，學(xué)生的理解比較困難。 2 解決策略 對于概率的統(tǒng)計定義的價值以及它和前兩種定義的關(guān)系可以從以下幾個方面來理解。 在相同的條件下做大量重復(fù)實驗，一個事件 A 出現(xiàn)的次數(shù) m 和總的實驗次數(shù) n 之比，稱為事件 A 在這 n 次實驗中出現(xiàn)的頻率。當(dāng)實驗次數(shù) n 很大時，頻率將

31、穩(wěn)定在一個常數(shù)附近。 n 越大，頻率偏離這個常數(shù)較大的可能性越小，這個常數(shù)稱為這個事件的概率。 這個定義與統(tǒng)計有密切的關(guān)系，它建立在頻率穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，所以稱為概率的統(tǒng)計定義。這種對概率討論的對象不再限于隨機實驗所有可能的結(jié)果為等可能的情形，因而更具有一般性。例如，擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，硬幣正、反兩面向上的可能性會不相等，不能用古典概率而只能用統(tǒng)計方法分析這個問題，如果經(jīng)過大量重復(fù)實驗，發(fā)現(xiàn)隨著實驗次數(shù)不斷增加，硬幣正面向上的頻率越來越穩(wěn)定在常數(shù) 2/3附近，則可以推斷事件 A （硬幣正面向上）發(fā)生的概率為 P ( A ) = 2/3 。隨著人們觀察對象的廣泛化 ,人們越來越認(rèn)識到 , 對一

32、個隨機事件來說 , 它發(fā)生可能性大小的度量是由它自身決定的 , 并且是客觀存在的 , 就好比一根木棒有長度 ,一塊土地有面積一樣。它就是頻率穩(wěn)定的中心值。 概率的統(tǒng)計定義提供了概率的一個可供想象的具體值 , 并且在實驗重復(fù)次數(shù) n 較大時 , 可用頻率給出概率的一個近似值 , 這一點是概率統(tǒng)計定義最有價值的地方。 概率的統(tǒng)計定義突破了古典概率、幾何概率中隨機實驗要滿足“結(jié)果等可能”的限制，因而具有一般性，其適用范圍也更寬泛。從理論上說，古典概率、幾何概率的概率也能夠通過大量重復(fù)實驗由頻率的穩(wěn)定性得出，即概率的統(tǒng)計定義的適用范圍包括“結(jié)果等可能”的隨機實驗。 對于初中學(xué)生，只要知道大量重復(fù)實驗時

33、頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值即可。為了使高中的學(xué)習(xí)更輕松，可以設(shè)計一些實驗，如拋擲瓶蓋、硬幣、摸球等，使學(xué)生從動手實驗的過程中體會概率的統(tǒng)計定義。 （四） 概率與頻率的關(guān)系1 難點 教學(xué)中，經(jīng)常聽到學(xué)生 這樣敘述： “實驗次數(shù)越多，用頻率估計概率越準(zhǔn)確 ”。 這樣的敘述嚴(yán)密嗎？概率與頻率之間到底是什么樣的關(guān)系？學(xué)生理解起來很困難。 2 解決策略 頻率和概率是兩個不同概念，頻率與實驗的次數(shù)有關(guān) ,而頻率的穩(wěn)定性又說明了概率是一個客觀存在的數(shù) ,是隨機事件自身的一個屬性 , 它與實驗次數(shù)無關(guān)。 雖然在概率計算中 ,我們一般用事件發(fā)生的頻率去代替概率 , 這與實際并不矛盾 ,就象測定一根木棒的長度

34、一樣 ,人人皆知木棒有其客觀存在的“真實長度” ,但用量具去測量 ,總會有誤差 ,測得的數(shù)值總是穩(wěn)定在木棒“真實長度”的附近 ,而得不到木棒的“真實長度”值。事實上 ,人們一般就用測量所得的近似值去代替“真實長度”。只不過根據(jù)實際要求選擇精度不同的量具罷了。這里木棒的“真實長度”與測得數(shù)值之間的關(guān)系完全同概率與頻率之間的關(guān)系一樣。   因此，頻率既有隨機性（每人每次實驗都是變化的），又有規(guī)律性（也就是穩(wěn)定性），即隨機事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率，人們也就把頻率穩(wěn)定的中心值作為事件發(fā)生的概率。于是我們可以說“頻率是概率的估計”、“頻率的穩(wěn)定值就是概率”，但不能說“頻率的穩(wěn)定值是概率估

35、計值”。 頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎(chǔ)。 對概率與頻率的關(guān)系的認(rèn)識可以分三個層次進行教學(xué)。 直觀認(rèn)識：概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是事件本身唯一確定的一個常數(shù)；頻率反映在 n次實驗中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地，如果一個事件的概率較大，頻率也較大，概率較小，頻率也較小。反之也對。 具體實驗：通過大量重復(fù)實驗，借助圖形表示頻率的穩(wěn)定性規(guī)律：隨著實驗次數(shù)的增多，頻率的波動越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個常數(shù)附近。但應(yīng)該認(rèn)識到頻率的不確定性，即當(dāng)實驗次數(shù)較少時，頻率的波動可能比較大。 精確刻畫：以擲硬幣為例，已知 “正面向上 ”的概率為 0 . 5 ，擲兩次硬幣，可能頻率是 0 . 5 ，用頻率估計概

36、率的誤差為 0 ；而擲 100 次硬幣，也可能頻率為 0 . 2 ，誤差為 0 . 3 。顯然上面的敘述不嚴(yán)密，太絕對了。比較嚴(yán)格的敘述為： “當(dāng)實驗次數(shù)較少時，用頻率估計概率誤差較小的可能性較小，實驗次數(shù)越多，用頻率估計概率誤差較小的可能性越大 ”。建議參看教材閱讀材料： 歷史上科學(xué)家擲幣實驗的記錄 實驗者 擲幣次數(shù) 出現(xiàn)正面向上的次數(shù) 頻率 徳 . 摩根 2048 1061 0 5181 蒲豐 4040 2048 0 5069 徳 . 摩根 4092 2048 0 5005 費勒 10000 4979 0 4979 皮爾遜 12000 6019 0 5016 皮爾遜 24000 12012 0 5005 羅曼諾夫斯基 80640 39699 0 4923 ( 五 )對等可能的理解 1 難點 “等可能”是古典概率非常重要的一個特征，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提。正是因為“等可能”，所以才會有了“比率”。因此，“等可能