數(shù)值分析課件第07章非線性方程求根

1、numerical analysis7.1數(shù)值分析數(shù)數(shù) 值值 分分 析析numerical analysis機械與汽車工程學院機械與汽車工程學院主講人：孔勝利主講人：孔勝利2012-09-01numerical analysis7.2數(shù)值分析第7章 非線性方程求根求根的基本問題及分析方法求根的基本問題及分析方法 迭代法迭代法newton法法弦截法與拋物線法弦截法與拋物線法numerical analysis7.3數(shù)值分析7.1 求根的基本問題及分析方法 根的存在性 方程有沒有根？有的話，有幾個？根的隔離 求出幾個互不相交的區(qū)間，使每個區(qū)間中只有一個根。根的精確化 在求出精度不高的近似根的基礎上

2、，逐步將根精確化，直到滿足預先要求的精度為止。分析法搜索法二分法numerical analysis7.4數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法 1、分析法p利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)判定根的范圍。p特別是當 f(x) 連續(xù)，且 ，則a, b間至少有一個實根。這點在判定根的范圍中很重要。p對于n次多項式方程至多有n個實根。p有時可以輔以圖像來更直觀地觀察分析問題。( ) ( )0f a f b numerical analysis7.5數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法 例 對 之根進行隔離。解 顯然， ，由得駐點 。因 故 分別為 極大值和極小值。從而 內(nèi)各有一個實根。由 y=f(

3、x) 的草圖可以直觀地看到這點。又顯然有因而，三個根的更好的隔離區(qū)間為32( )6910f xxxx lim,limxxf xf x 231290fxxx121,3xx 160,360ff 130,310ff ,1 , 1,3 , 3, 010,430ff 0,1 , 1,3 , 3,4y = f (x) 的草圖numerical analysis7.6數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法 2、搜索法如果我們判定方程 f (x) =0 的某一個根的大致范圍，則可用搜索法加以縮小，使根進一步精確化。設 ，且 ，則可判定 。不妨設 ，且 。我們從左端開始，按預先選定的步長h，一步一步地向右邊走，每走一

4、步檢查一下終點的函數(shù)值是否取正號。如果 ，則表明根 。如果精度不夠，可將 看成 a, b再次進行搜索，并從左端點開始向右搜索，直到滿足精度為止。在具體實施中，步長的選擇是個關鍵，步長較小時精度高，但搜索次數(shù)增加。 ,f xc a b( ) ( )0f a f b ,xa b0 xa00f x 10,0iif xf x1,iixxx1,iixxnumerical analysis7.7數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法 例題 試求方程 的唯一正根，要求誤差不超過0.1。解 從 x = 0 開始，取步長 h = 1, 則有故根 。再去 h = 0.2，因 ，故根從而取近似根為2.1，即 即可滿足精度

5、要求。注意注意： 搜索法的實施是很靈活的，哪怕沒有給出根的存在范圍，也搜索法的實施是很靈活的，哪怕沒有給出根的存在范圍，也可進行搜索?？蛇M行搜索。(0)0,(1)0,(2)0,(3)0ffff 3250f xxx2,3x2.20f2, 2.2x2.1xnumerical analysis7.8數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法 3、二分法把搜索的步長取為含有根區(qū)間 a, b 的1/2，便得到二分法。例題 用二分法將 在（2, 3）內(nèi)的根精確到小數(shù)點后第二位。解 3250f xxxkakbkxkf(xk)的符號0232.5+122.52.25+222.252.215+322.1252.0625-4

6、2.06252.1252.09375-52.093752.1252.109375+62.093752.1093752.1015625+72.093752.10156252.09765625numerical analysis7.9數(shù)值分析求解方程 的問題，可將方程變形寫成 的形式。顯然，前者的根 必滿足后者，即 。反之亦然。這表明：求方程 的根，可轉(zhuǎn)化為求方程 的根。為此，可選定某個初值 ，按迭代格式進行迭代運算。 （*）稱為。在 中，稱 為函數(shù) 的一個不動點。從而，求方程之根，即求函數(shù) 的零點，又等價于求迭代函數(shù) 的不動點。7.2 迭代法 0f x xx*,0 xf x*xx 0f x xx

7、0 x 1,0,1,2,*nnxxn*xx*x x f x xnumerical analysis7.10數(shù)值分析例題1求方程 在0.4附近的有五位有效數(shù)字的近似根。解將方程變形為則迭代格式為取初始值為0.4，可算得各次近似根為29sin10 xx 11 sin3xx111 sin3nnxx0415360.40.3918480.39290.3918470.3918650.391847xxxxxxnumerical analysis7.11數(shù)值分析收斂迭代格式的建立例題 求方程 在1.5附近的近似值。解 將方程變?yōu)?，建立迭代格式前者是收斂的，后者是發(fā)散的。后者與前者的最大不同點在于后者的導數(shù)

8、，而前者的 。這表明：迭代格式的收斂性，與迭代函數(shù)的導數(shù) 的大小有關。 310f xxx 311,0,1, 2,nnxxn311,0,1, 2,nnxxn 1x xx 1x xnumerical analysis7.12數(shù)值分析定理設迭代函數(shù) ，且滿足（1）任給 ，總有（2）存在正數(shù)q 1，使則對于任意初值 ，當 時，迭代格式所得的數(shù)列 收斂于a, b內(nèi)唯一的實根 ，并有估計式注意：定理中在函數(shù)的整個定義區(qū)間上滿足 的條件是相當苛刻的，實際應用中局部收斂即可。1,0,1, 2,nnxxn 1,xca b ,xq xa b,xa b ,xa b0,xa bx nxx11nnnqxxxxq 1xq

9、numerical analysis7.13數(shù)值分析例題 求方程 的一個正根，精度為10-3。迭代格式的收斂速度迭代加速公式 3250f xxx2.095xnumerical analysis7.14數(shù)值分析7.3 newton法將曲線的問題轉(zhuǎn)化為直線來解決，即將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程來求解。由于它是基于切線方程而得到的，因而也叫。1nnnnf xxxfxnumerical analysis7.15數(shù)值分析例題 用newton法求方程 在0.5附近的根。解因為 ，故迭代格式為取初值 ，經(jīng)迭代演算，得到前四次的近似根為11nnxnnnxxexxe0 xxe ,1xxf xxefxe 00.5x

10、 12340.571020.567160.567140.56714xxxxnumerical analysis7.16數(shù)值分析newton法的應用對于給定的正數(shù)c，應用newton法解二次方程因為 故得求 的近似值的迭代格式例題 計算解 凡是迭代算法，初值的選取都會影響到收斂速度。取 ，利用上面的迭代格式計算4次的結果為20 xc 2fxxc21122nnnnnnxccxxxxx115011x 123410.7268;10.7237;10.7238xxxxnumerical analysis7.17數(shù)值分析習題 應用牛頓法于方程 ，導出求立方根 的迭代公式。30 xa3anumerical a

11、nalysis7.18數(shù)值分析簡化newton法迭代公式為newton下山法迭代公式為10kkkf xxxfx10,1,kkkkf xxxkfxnumerical analysis7.19數(shù)值分析7.4 弦割法與拋物線法newton法具有收斂快的優(yōu)點，但也有要計算導數(shù) 的缺點，這對求導比較麻煩的函數(shù)，牛頓迭代格式用起來是不方便的。為避開計算導數(shù)，取2個初值點 ，過作割線，則得到割線的斜率為一般地，用割線的斜率代替牛頓法中切線的斜率，即用 則得新的迭代格式用（*）式求近似根稱為雙點弦割法雙點弦割法。 fx01xx和 0011,xf xx f x和 1010f xf xxx11nnnnf xf x

12、xx 111nnnnnnnf xxxxxf xf xnumerical analysis7.20數(shù)值分析 在用雙點弦割法中計算 次近似值 時，要用到前面兩點 的信息，公式啟動時要提供兩個初值。凡是計算 次近似只用到前面一點 的信息的迭代法稱為，而要用到前面兩點或兩點以上的信息的迭代法則稱為有時為了簡化雙步迭代法， 可用固定的點 代替得迭代格式1n1nx1,nnx x1nnx00,xf x11,nnxf x100nnnnnf xxxxxf xf xnumerical analysis7.21數(shù)值分析 習題 用雙點弦割法計算 在 附近的根。根的精確值 要求計算結果有四位有效數(shù)字。計算時取 。 33

13、10f xxx 02x 1.87938524x012,1.9xxnumerical analysis7.22數(shù)值分析 拋物線法設已知方程 的三個近似根 ，我們以這三點為節(jié)點構造二次插值多項式 ，并適當選取 的一個零點 作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法?；舅枷胧怯脪佄锞€ 與x軸的交點 作為所求根的近似值。 0f x 2px12,kkkxxx 2px1kx 2ypx1kxnumerical analysis7.23數(shù)值分析 插值多項式有兩個零點：式中注意：根式前正負號的取舍是根式前的符號與 的符號相同即可。 21121,kkkkkkkkkpxf xf xxxxf xxxxxxx12

14、1224,kkkkkkkf xxxf xf xxx1121,kkkkkkkf xxf xxxxxnumerical analysis7.24數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.25數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.26數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.27數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.28數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.29數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.30數(shù)值分析 習題習題 numerical analysis7.31數(shù)值分析 習題習題 nu