第六節(jié)一致收斂

1、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性* *第六節(jié)第六節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十一章 一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項式,但一般函數(shù)項級數(shù)則不一定有這么好的特點. 例如例如, 級數(shù))()()(1232nnxxxxxxx每項在 0,1 上都連續(xù), 其前 n 項之和為,)(nnxxs和函數(shù))(lim)(xsxsnn10 x, 01x, 1該和函數(shù)在 x1 間斷.機動 目錄

2、上頁 下頁 返回 結束 因為對任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收斂域為 (, +) ,但逐項求導后的級數(shù) xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般項不趨于0, 所以對任意 x 都發(fā)散 .又如又如, 函數(shù)項級數(shù)問題問題: 對什么樣的函數(shù)項級數(shù)才有:逐項連續(xù) 和函數(shù)連續(xù); 逐項求導 = 和函數(shù)求導; 逐項積分 = 和函數(shù)積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義. 設 s(x) 為 )(1xunn若對 都有一個只依賴于 的自然數(shù) n , 使 當n n 時, 對區(qū)間 i 上的一切 x 都有)()()(xsxsxrnn則

3、稱該級數(shù)在區(qū)間 i 上一致收斂于和函數(shù)s(x) .在區(qū)間 i 上的和函數(shù),任意給定的 0,顯然, 在區(qū)間 i 上 )(1xunn一致收斂于和函數(shù)s(x)部分和序列)(xsn一致收斂于s(x) 余項 )(xrn一致收斂于 0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 幾何解釋幾何解釋 : (如圖) )(xsy)(xsyix)(xsy , 0,zn當n n 時,表示)()(xsxsn曲線 )()(xsyxsy與總位于曲線)(xsyn)(xsyn之間.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 研究級數(shù) ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在區(qū)間 0, +) 上的收斂性.解解: 11

4、1) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxsn)111(nxnx1111nxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(lim)(xsxsnn)1111(limnxxn11x)0( x余項的絕對值:)()()(xsxsxrnn11nx11n)0( x因此, 任給 0, 取自然數(shù) ,11n則當n n 時有)0()(xxrn這說明級數(shù)在 0, +) 上一致收斂于 .11)(xxs機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 證明級數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收斂 . 證證: nnnnxxxxxxxs)()()(12)(x

5、s10 x, 01x, 1)()()(xsxsxrnn10 x,nx1x, 0取正數(shù) ,21對無論多么大的正數(shù) n ,)(11210nx取, 1, 00 x,)(2101xrn而因此級數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yox說明說明:11nnnxxs)()(xs10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xs對任意正數(shù) r 0, 欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrn只要,nn ,)(nnrxr必有即級數(shù)在 0, r 上一致收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(weierstrass) 判別法判

6、別法 用一致收斂定義判別級數(shù)的一致收斂性時, 需求出 ),()(xsxsn及這往往比較困難. 下面介紹一個較方便的判別法.若函數(shù)項級數(shù))(1xunn在區(qū)間 i 上滿足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收斂正項級數(shù)nna則函數(shù)項級數(shù) )(1xunn在區(qū)間 i 上一致收斂 .簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證:由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理, ,0n當 n n 時, 對任意正整數(shù) p , 都有 221pnnnaaa由條件1), 對 x i , 有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa則由上式得令,p2)(xrn故函數(shù)項級數(shù)

7、 )(1xunn在區(qū)間 i 上一致收斂 . 證畢機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxrrab推論推論.若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑 r 0 , 則此級 數(shù)在 (r, r ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 .證證: ,maxbar 設則對 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0rr 而由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級數(shù) nnnra0絕對收斂 , 由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立. 說明說明: 若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點收斂, 則一致收斂 區(qū)間可包含此端點. 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.證明級數(shù)22222sin22sin1s

8、innxnxx在(, +) 上 一致收斂 .證證: ),(x因對任意),2, 1 ,0(1sin222nnnxn而級數(shù)021nn收斂, 由維爾斯特拉斯判別法知所給級數(shù)在 (, +) 上 一致收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數(shù)的一致收 斂性, 而且能判別其絕對收斂性. 當不易觀察到不等式時，nnaxu)(可利用導數(shù)求)(maxxuanixn例如例如, 級數(shù),1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求導法可得已知2311nn收斂, 因此原級數(shù)在0, +) 上一致收斂 . ,1)(25xnxnxun

9、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)定理定理1. 若級數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xsbaxunn上一致收斂于在區(qū)間.,)(上連續(xù)在則baxs證證: 只需證明, ,0bax . )()(lim00 xsxsxx由于)()(0 xsxs)()()()(00 xrxsxrxsnnnn)()()()(00 xrxrxsxsnnnn;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項baxun機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因為級數(shù))(1xunn一致收斂于s (x) , n, 0故),(n使當 n n 時, 有3)(,3)(0 xrxrnn對這樣選定的

10、 n , ,)(0連續(xù)在xxsn從而必存在 0 ,有時當,0 xx3)()(0 xsxsnn從而得)()(0 xsxs,)(0連續(xù)在故xxs).()(lim00 xsxsxx即證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:(1) 定理1 表明, 對一致收斂的級數(shù), 極限運算與無限 求和運算可交換, 即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函數(shù)項級數(shù)不一致收斂時, 定理結論不一定成立. 例如例如, 級數(shù) ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂, 而其和函數(shù))(xs10 x, 01x, 1在 x = 1 處不連續(xù) .機動 目錄 上

11、頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 若級數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xsbaxunn上一致收斂于在區(qū)間則該級數(shù)在 a, b 上可逐項積分, xxuxxsnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即對且上式右端級數(shù)在 a, b 上也一致收斂 . 證證: 因為 xxukxxnkd)(01xxsxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項baxun機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 所以只需證明對任意 ),(,00 xxbaxx一致有xxsxxsxxnxxnd)(d)(lim00 根據(jù)級數(shù)的一致收斂性, ),(, 0nn 使當 n n 時, 有abxsxsn

12、)()(于是, 當 n n 時, 對一切 ),(,00 xxbaxx有xxsxxsxxnxxd)(d)(00 xxsxsnxxd)()(0 xxsxsnbad)()(因此定理結論正確. 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 若級數(shù)不一致收斂時, 定理結論不一定成立. 例如例如, 級數(shù) 2222) 1(221) 1(22xnxnnexnexn它的部分和 ,2)(222xnnexnxs因此級數(shù)在 0 , 1 上收斂于 s (x) = 0 , 所以.0d)(10 xxs但是xexnexnxnxnnd) 1(222222) 1(2211022) 1(1nnnee110)(dxxs為什么

13、對級數(shù)定理結論不成立? 分析它是否滿足 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理2 條件. 級數(shù)的余項 2222)(xnnexnxr,10時當nx )2(12)(0nenxrn可見級數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 , 此即定理2 結論 對級數(shù)不成立的原因. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. 若級數(shù) 滿足：)(1xunn,)()31上一致收斂在級數(shù)baxunn)()(1xuxsnn且可逐項求導, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上連續(xù)在,)(1上一致收斂在區(qū)間則baxunn; )(,) 1xsba上收斂于在區(qū)間證證: 先證可逐項求導. ),()(1xxunn設根據(jù)定理2

14、, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 有對, ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(asxs上式兩邊對 x 求導, 得 ).()(xxs再證.,)(1上一致收斂在baxunn根據(jù)定理 2 , ,d)(1上一致收斂在級數(shù)baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.,上一致收斂在ba級數(shù)一致收斂并不保證可以逐項求導. 例如, 例3中的級數(shù)22222sin22sin1sinnxnxx說明說明:在任意區(qū)間上都一致收斂,

15、 但求導后的級數(shù) xnxx22cos2coscos其一般項不趨于 0, 所以對任意 x 都發(fā)散 . 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 證明函數(shù) 31sin)(nnxxfn對任意 x 有連續(xù)導數(shù).解解: 顯然所給級數(shù)對任意 x 都收斂 , 且每項都有連續(xù)導數(shù), 而逐項求導后的級數(shù) 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收斂nn故級數(shù)在 (,+) 上一致收斂, 故由定理3可知.cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上連續(xù)在 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理4 . 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0r)(xs數(shù)nnnxa

16、xs0)(,11nnnxan),(rrxxxaxxsnxnnxdd)(000,110nnnxna),(rrx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導與逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同,即證證: 關于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項可積的結論由維爾斯 特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得 . 下面證明逐項可導的結論:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證:.),(10內(nèi)收斂在先證級數(shù)rrxannnn),(rrx任取,11rxxx使再取定, 11xxq記則1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值審斂法知級數(shù) ,10收斂nnqn故, 0lim1nnqn,1有界

17、因此nqn故存在 m 0 , 使得 ),2, 1(111nmqnxn,01rx 又,10收斂級數(shù)nnnxa由比較審斂法可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .11收斂級數(shù)nnnxan),(11rrxannnn在因為冪級數(shù),ba上一致收斂, 故原級數(shù),0baxannn在內(nèi)任一閉區(qū)間上滿足定理3條件, 從而可逐項求導, ,的任意性再由ba即知 ),(,110rrxxanxannnnnn再證級數(shù) 11nnnxan的收斂半徑 .rr 由前面的證明可知 .rr 若將冪級數(shù) 在11nnnxan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)(, 0上逐項積分rxx,1nnnxa得級數(shù)的收斂半徑不會縮小, .rr 因逐項積分所得 .rr 于是冪級數(shù) nnnxa0(r, r ) 內(nèi)有任意階導數(shù), 且有 knnknkxaknnnxs) 1() 1()()(),2, 1(k其收斂半徑都為 r .