41對稱性、守恒律和簡并性

1、第4章 量子力學(xué)中的對稱性 4.1 對稱性、守恒律和簡并性一、經(jīng)典物理中的對稱性n對拉格朗日函數(shù)：n若 ,即廣義動量為運(yùn)動常數(shù).n類似地，若用哈密頓函數(shù) 的正則方程來討論：ltvl(q ,q )dpldl0, ()0qdtqdt則hlp q hh q, ppqh0pq .若，則是運(yùn)動常量二、量子力學(xué)中的對稱性n量子力學(xué)中的操作如平移、轉(zhuǎn)動等是與一個幺正算符t相聯(lián)系的，習(xí)慣上t常被稱作對稱算符。n若t作用下系統(tǒng)不變,則稱系統(tǒng)具有與t相關(guān)的對稱性.n對無窮小變化的操作，t可寫為， 其中g(shù)是對稱操作的厄米生成元。n若h在t作用下不變， 則根據(jù)海森堡運(yùn)動方程，有 ，即g是運(yùn)動常量。git1, g,h0

2、, t hth即 0dgdtn例如動量是平移的生成元，若h在平移操作下不變，則動量是運(yùn)動常量（即守恒）。類似的，若h在轉(zhuǎn)動下不變，則轉(zhuǎn)動的生成元角動量守恒。n從態(tài)矢變化的角度看，若g與h對易，則 保持是g的本征態(tài)，且g的本征值不變：00g ,t ;tu(t,t ) g 0g g ,t ;tgu gug gg u g物理規(guī)律的平移不變性特征三、簡并 態(tài)n若h,t=0，t為某對稱算符，|n為本征值為en的能量本征態(tài)，則t|n也是相同能量的能量本征態(tài)。如果t|n與|n是不同的態(tài)，則稱它們是能量簡并態(tài)，體系有簡并。有時t由連續(xù)參量表征t=t(),此時所有的t()|n態(tài)都簡并（但簡并度只是獨(dú)立的t()|

3、n態(tài)數(shù)）。n如對轉(zhuǎn)動， 可構(gòu)造h,j2,jz的共同本征態(tài)|n;j,m。由上所知，所有d(r) |n;j,m態(tài)能量簡并。n由于 , 改變表征d(r)的連續(xù)參量,可得不同|njm組合,故不同m的|njm是簡并的。因m有2j+1個，簡并度為2j+1。n從h,j=0和j作用于|njm也可知其有2j+1簡并度2( ),0, ,0, ,0,d r hj hjh則 mjmmrdmnjnjmrd)()()(n作為應(yīng)用，考慮原子中電子的狀態(tài)，其所受勢為 。由于勢v(r)在轉(zhuǎn)動下不變，故原子能級有2j+1重簡并。若外加z方向的電磁場，則電子所受的勢不再在轉(zhuǎn)動下不變，簡并被消除。( )( )lsv rvr l s4

4、.2 分離對稱性，宇稱或空間反演 n上面討論的是連續(xù)性對稱操作，即對稱操作可由相繼無窮小對稱算符所得。量子力學(xué)中有用的對稱操作并不限于此種形式，可有分立而非連續(xù)的對稱操作，如宇稱，晶格平移和時間反演。n宇稱或空間反演操作將r變?yōu)?r，右手坐標(biāo)系變?yōu)樽笫肿鴺?biāo)系。量子力學(xué)中我們討論的常是作用于態(tài)矢而不是坐標(biāo)系的變換。對稱操作的兩種等價方式：主動與被動一、宇稱算符的基本性質(zhì)n對|,用幺正算符表示宇稱算符，| |。n 要求位置算符的期待值變號，即n則有n位置本征態(tài)|x在宇稱作用下變?yōu)楸菊髦禐?x的態(tài)：n故n由于用作用兩次體系必恢復(fù)原狀，故2=1n=-1=+，是厄米的。n對的本征態(tài)|,因|=2|，知=1

5、xx 0 xxxxx 或 ，即 與 反對易xxx xx (x ) iixe-xe1. ,通常取二、算符在宇稱操作下的變換n由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：n有n或p,=0. 該關(guān)系與p=dx/dt的預(yù)期相同。n對軌道角動量l=xxp，可預(yù)期l,=0.n對一般角動量，考慮到r(宇稱)=-i,宇稱和轉(zhuǎn)動操作對易，故量子力學(xué)中的相應(yīng)幺正算符也對易: d(r)=d(r) ,j=0.,)xd(t)xd(tip dxip dx(1)1, pp 三、矢量和贗矢量n在轉(zhuǎn)動下x和j以相同方式變換，兩者都是矢量，或一階球張量，但x和p與反對易，而j與對易。n與宇稱反對易的矢量稱為極性矢量，而與宇稱對

6、易的矢量叫做軸矢量或贗矢量。n類似的有標(biāo)量算符（與宇稱算符對易）和贗標(biāo)量算符（與宇稱算符反對易） 。nls、xp是標(biāo)量： + ls= lsn贗標(biāo)量的例子包括sx、lx等：等：xl)x(lxlxl四、波函數(shù)在宇稱操作下的變換n若|為宇稱本征態(tài)，|= |,則= , 故有n“+”對應(yīng)偶宇稱，“-”對應(yīng)奇宇稱。當(dāng)然，只有與對易的算符之本征態(tài)才可能有確定的宇稱。如動量算符不與對易，其本征態(tài)即平面波并非的本征態(tài)，而軌道角動量的本征態(tài)則可為的本征態(tài)：(x )x, x-x(-x) 的波函數(shù)為)x()x(21)()!x,( )( , )( )( )(cos )4 ()!mmmimllllmlmrrrrpelm

7、,( ),llmlm 五、能量本征態(tài)與宇稱n若h,=0,而|n是h的本征值為en的非簡并本征態(tài)，則|n是宇稱本征態(tài)。n證：h|n=en|n,由非簡并性得|n=ei|n.n作為應(yīng)用，考慮簡諧振子本征態(tài)。 由于基態(tài)為高斯函數(shù)，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 類似可推得|n=(-)n|nn注意:非簡并性對得出|n是的本征態(tài)是非常重要的。若有簡并，如氫原子體系，cp|2p+cs|2s是h本征態(tài)，但并非的本征態(tài)。又如動量本征態(tài)也是h本征態(tài)，但|p 和 |-p簡并, |p并非的本征態(tài).n當(dāng)然，我們可以通過組合h的簡并本征態(tài)而得到的本征態(tài)，如|=|p|-p便是和h的共同本征態(tài)六、對稱雙勢阱 nh與

8、對易，nh的最低兩本征態(tài)為n對稱的|s和反對稱的|a,neaes,且ea-es隨勢壘增高而減少。n取|r|s+|a，|l|s-|a,在作用下|r和|l對調(diào). |r和|l不是的本征態(tài)，也不是h的本征態(tài)，但有相同能量期待值. |r和|l是非定態(tài),若t0=0處于|r，則t時狀態(tài)為n該態(tài)在|r和|l間震蕩，震蕩角頻率為n該震蕩可看成量子力學(xué)的隧道貫穿，粒子在經(jīng)典物理禁止的區(qū)域隧穿而震蕩于兩態(tài)間。如勢壘無窮高，則ea=es，從而=0，不再震蕩。n注：對無窮高勢壘， |r和|l均是h的本征態(tài)，但|r和|l均非的本征態(tài)。即h所具有的宇稱不一定反映在其本征態(tài)上，這是簡并與對稱破缺的一個簡單例子。這種現(xiàn)象在自然界相當(dāng)普遍，如鐵磁現(xiàn)象，糖與氨基酸的手性等。 七、宇稱選擇定則 n若 將相反宇稱的態(tài)相聯(lián)系。n該討論可推廣到其他算符。如算符為奇宇稱，則其只有在不同宇稱的狀態(tài)間有不為零的矩陣元。偶宇稱算符則在同宇稱態(tài)間矩陣元才可能不為零。 n如果h,=0,能量非簡并態(tài)