大學(xué)物理第2章質(zhì)點動力學(xué)習(xí)題解答

1、第2章質(zhì)點動力學(xué)習(xí)題解答2-17質(zhì)量為2kg的質(zhì)點的運動學(xué)方程為r =(6t2 -1)i? (3t2 3t 1)?(單位：米，秒)，求證質(zhì)點受恒力而運動，并求力的方 向大小。解：t a =d2r/dt2 =12? 6?, F = ma =24? 12?為一與時間無關(guān)的恒矢量， 質(zhì)點受恒力而運動。F=(242+122)1/2=12、.5N，力與 x 軸之間夾角為：> -arctgFy / Fx 二 arctg0.5 二 26 34'2-18 質(zhì)量為m的質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動，質(zhì)點的運動學(xué)方程為: r = acos t i? bsin t ?，a,b,3為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點的合

2、力總指向原點。證明：T a 二 d2r /dt2 - - 2 (acosB t?+ bsij) = -o 2rF = ma = -m 2r ,作用于質(zhì)點的合力總指向原點2-19在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為 m1,m2，物體之間及物 體與桌面間的摩擦系數(shù)都為卩，求在力F的作用下兩物體的加速度Tf1及繩內(nèi)張力，不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦，繩不可伸長。解：以地為參考系，隔離 m1,m2,受力及運動情況 如圖示，其中：h=卩N1=卩m1g，f2=卩N2=卩(N1+m2g)=卩(m1+m2)g.在水平方向?qū)?兩個質(zhì)點應(yīng)用牛二定律：1 N1 * f1“ m1gaN2” N1a42gF - 1 m1 l

3、(m1 m2)g _T 二 m2a +可求得：a二F -2Fg十 m mt將a代入中，可求得：T = m1(F 一2" m1g)mm22-20天平左端掛一定滑輪，一輕繩跨過定滑輪，繩的兩端分別系上質(zhì)量為mi,m2的物體（miM m2），天平右端的托盤上放有砝碼問天平托盤和 砝碼共重若干，天平才能保持平衡？不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸 承摩擦，繩不伸長。解：隔離mi,m2及定滑輪，受力及運動情況如圖示，應(yīng)用 牛頓第二定律：T'I.T' -gg 二 mha m?gT'二 m?a T = 2T'由可求得:2mmgmi m24m,m2gmigTT' T

4、9;mim2m2g所以，天平右端的總重量應(yīng)該等于 T,天平才能保持平衡2-21 一個機(jī)械裝置如圖所示，人的質(zhì)量為mi=60kg，人所站的底 板的質(zhì)量為m2=30kg。設(shè)繩子和滑輪的質(zhì)量以及滑輪軸承的摩擦力 都可略去不計，若想使所站著的底板在空中靜止不動，此人應(yīng)以多解：裝置的各部分和人的受力如圖所示，據(jù)題意有:大的力量拉繩子？此時人對升降機(jī)的壓力是多大？N = N T< = 2T3 Ti =T2Tif-N '-m2g =0J3"+N -qg =0I iT3 =-(m +m2)g解方程組得：4iN(3m -m2)gL 4代入數(shù)據(jù)得：黑囂5N，即人應(yīng)以22°。5N的

5、力量拉繩子？此時人對升降機(jī)的壓 力是367.5N2-22桌面上有一質(zhì)量 mi=1kg的木板，板上放一個質(zhì)量為m2=2kg的物體。已知物體和板之間的滑動摩擦系數(shù)卩2=0.4,靜摩擦系數(shù)為咕0.5,J!豢箋箋迭農(nóng).板和桌面間的滑動摩擦系數(shù)5=0.3。一2,22題圖（1）今以水平力拉板，物體和板一起以加速度a=1m/s運動，計算物體和板以及板和桌面間的相互作用力；（2）若使板從物體下抽出，至少需用多大的力？解：以地為參考系，隔離 mi、m2，其受力與運動情況如圖所示,（1）物體和板之間的最大靜摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/£，所以它們之間無相對運動。二 mi a*i11 1f 1N

6、f 2N2解方程組并代入數(shù)據(jù)得：1f 2=2.94NN2_m2g =0所以物體和板以及板和桌面間的相互作用力分別為1N和2.94N。（2）其中，N1'=N1，f1'=f1=卩0N1，f2=卩2N2，選圖示坐標(biāo)系o-xy，對m1，m2分別應(yīng) 用牛頓二定律，有i0Nm1a1N1 -mp =0F -叫弘 _A2N2 =m2a2（N2 _2 _m2g =0解方程組，得 a J 0ga2 二 F - 0m-i 1 zgg - 2m2g /mt要把木板從下面抽出來，必須滿足 a2 a1，即F - ' °mi1g -2gg -2m2g m2°gFg m2 g h0

7、.5 0.31 29.8-2.352N即要把木板從下面抽出來，沿水平方向必須用大于2.352N的力。2.23沿鉛直向上發(fā)射玩具火箭的推力隨時間變化如圖所示，火箭質(zhì)量為2kg，t=0時處于靜止，求火箭發(fā)射后的最大速率和最大高度(注意，推力大于重力時才啟動)F(N)t(s)20 ' 題圖解：根據(jù)推力 F-t 圖像，可知 F=4.9t (t<20)，令 F=mg,98 - 即4.9t=2X 9.8，t=4s，因此，火箭發(fā)射可分為三個階段：t=04s為第一階段，由于推力小于重力，火箭靜止，v=0,y=0; t=420s2.23為第二階段，火箭作變加速直線運動，設(shè) t=20s時，y = y

8、1，V = Vmax ;t > 20S為第三階段，火箭只受重力作用，作豎直上拋運動，設(shè)達(dá)最大高度時的坐標(biāo)y=y2.第二階段的動力學(xué)方程為：F- mg = m dv/dtdv = F /mdt -gdt =4.9/ 2tdt9.8dtVtt0dv=4.9/2tdt9.8J4dt (t 蘭20)v =4.9/4 t2 -9.8t 4 4.9 仁 20vmax 二 v(20) =314m/s2dy 二 vdt =(4.9/4t -9.8t4 4.9)dty20 22020dy =4.9/4t dt 9.8 tdt 4 4.9 dt0 JJ4J4J4y-i = 1672m第三階段運動學(xué)方程v=3

9、149.8(t20)(1),y-力=314(t 20)4.9(t -20)2 (2)令v=0,由(1)求得達(dá)最大高度y2時所用時間(t-20) =32,代入(2)中，得y2-y1=5030y2=ymax=5030+1672=6702(m)2.24汽車質(zhì)量為1.2Xl0kN，在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛，公路內(nèi)外側(cè)傾 斜15°,沿公路取自然坐標(biāo)，汽車運動學(xué)方程為 s=0.5t3+20t (m)，自t=5s開始勻速運 動，試求公路面作用于汽車與前進(jìn)方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)直向內(nèi)側(cè)？解：以地為參考系，把汽車視為質(zhì)點，受力及運動情況如圖示：2 2

10、2 2o-xy，應(yīng)用牛頓第aNaanymga =15 °v=ds/dt=1.5t+20，v| t=5 =1.5 X 5 +20=57.5m/s, an=v /R=57.5 /100=33設(shè)摩擦力f方向指向外側(cè)，取圖示坐標(biāo)律：N cos ：亠 f sin ： = mgN cos： - mg - f sin ：N sin : - f cos： = manN sin ： = man f cos：_ m(gtg： -a.)cost 'sin： tg:/得：tg： = (man f cos： )/(mg - f sin：)mgtg：- - f sin ： tg ： = manf cos

11、 ,gtg> -a. =9.8tg15 -33 =-30.43 ： 0,. f ： 0，說明摩擦力方向與我們事先假設(shè)方 向相反，指向內(nèi)側(cè)。2.25 一輛卡車能夠沿著斜坡以15km/h的速率向上行駛，斜坡與水平面夾角的正切 tga =0.02,所受阻力等于卡車重量的0.04,如果卡車以同樣的功率勻速下坡，卡車的 速率是多少？解：設(shè)卡車勻速上坡時，速率為v,牽引力為F,功率為N,由質(zhì)點平衡方程有，F(xiàn)=(0.04+sin a )mg，二 N = Fv = (0.04+sin a )mgv設(shè)卡車勻速下坡時，速率為 v',牽引力為F',功率為N',由質(zhì)點平衡方程有F'

12、;+mg sina = 0.04mg,F'=(0.04-sina )mg, N'= (0.04-sin a )mgv'.令 N'= N,即(0.04+sina ) mgv = (0.04-sina )mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin a )/(0.04-sin a ).利用三角函數(shù)關(guān)系式，可求得：sin a tg a =0.02 , v'=3v =3X 15X 103/602 m/s = 12.5m/s.2.26如圖所示，質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動， 木塊與一不可伸長 的輕繩相連，繩跨過一固定的光滑小環(huán)

13、，繩端作用著大小不變的力 T=50N，木塊在A點時具有向右的速率vo=6m/s,求力T將木塊從A拉至B點時的速度。 20 . m8s /2.26題圖解：以A為原點建立圖示坐標(biāo)o-x，木塊由A到B，只有拉力題圖做功:AFxdx=.Tcosdx=T.；：2dx320 0 04-冷(4 x)2 9"2d(4 x)2 9=0= 50,(4 -x)29|4=50 (5-3)=100J4m ABx設(shè)木塊到達(dá)B時的速度為v，由動能定理：A= ；mv2 - ；mv。2v = 2A/m v02 = . 2 100/0.5 62 : 20.88m/s，方向向右2.27如圖所示，質(zhì)量為1.2kg的木塊套在

14、光滑鉛直桿上，不可伸長的輕繩跨過固定的 光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F,F=60N,木塊在A處有向上的速度V0=2m/s,求木塊被拉至B時的速度。3.86 m/s.W解：以地為參考系，建立 圖示坐標(biāo)A-xy，木塊在由 A 到B的運動過程中受三個力 的作用，各力做功分別是：An = 0 ； Aw = -mg(yB-yA)=-1.2 X 9.8 X 0.5= -5.88J; F 大小雖 然不變，但方向在運動過程中 不斷變化，因此是變力做功。0.50.50.50 5 vAfFydy 珂 FcosTdy = F00.5qq *i / oo一2 0 0.5(0.5 - y) d(

15、0.5-y)。壬2(0.5-y)2"2d0.52(0.5-y)2一F 20.52 (0.5 y)21/2 I；5-0.5FC 2 -1) -0.5 60(、2 -1) = 12.43J由動能定理：丿1 2 1 2an Aw Af =1 mvB - 2 mvA代入數(shù)據(jù)，求得vb =3.86 m/s.2.28質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初 m處于使彈簧既未壓縮也未伸長的位置,并以速度V0向右運動，彈簧的勁度系數(shù)為k,物體與支撐面間的滑動摩擦系數(shù)為 卩求 證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離I為I =寧,；1 +器-1)tuuhtTrv證明：質(zhì)點m由彈簧原長位2.28題圖置運動到最遠(yuǎn)位置I，彈力F和滑

16、動摩擦力f對質(zhì)點做負(fù)功，導(dǎo)致質(zhì)點動能由mvo2/2變?yōu)?。根據(jù)動能定理：2AF+Af=0 - mvo /2 i2其中，A= = 一k | Idl = -4kl , Af 二 _mgl ,代入中，并整理，有：kI2+2卩mgl-m vo2=O.這是一個關(guān)于I的一元二次方程，其根為：I-2mg (2、mg)2 4kmv02l =2k，負(fù)根顯然不合題意，舍去，所以， | 2l 一于 +1 J(Fg)2 +kmv。2 =卯(/+島 -1)2.29滑雪運動員自A自由下落，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺C時，其速度vc2 29題圖剛好在水平方向，已知A、B兩點的垂直距 離為25m.坡道在B點的切線方向與水平

17、面 成30o角，不計摩擦，求：運動員離開 B 處的速率vb :B、C的垂直高度差h及溝 寬d;運動員到達(dá)平臺時的速率 vc.解：運動員在整個運動過程中，只有重力 做功,故機(jī)械能守恒，取B點為勢能零點/ mgH = mvB2/2 vB 二 2gH =、2 9.8 25 二 22.1m/s運動員由B到C作斜拋運動，據(jù)題意，C點即為最高點。由斜拋運動規(guī)律可知，vc = vb cos30o = 19.1m/sT mvB /2 = m vc /2+mgh二h = (vb -vc )/2g = 6.3m ;由豎直方向的速度公式可求跨 越時間： 0 = vBsin30o-gt t = v b /2g =1.

18、13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距 離 d = vb cos30ot = 21.6m.2 30題圖2.30裝置如圖所示，球的質(zhì)量為 5kg，桿AB長1m, AC長 0.1m, A點距O點0.5m,彈簧的勁度系數(shù)為800N/m,桿AB 在水平位置時恰為彈簧自由狀態(tài)，此時釋放小球，小球由靜 止開始運動，求小球到鉛垂位置時的速度，不計彈簧質(zhì)量及 桿的質(zhì)量，不計摩擦。解：取小球在水平位置時，勢能為零，小球運動到豎直位置時的速度為V,彈簧原長：I。一. 0.52 7.12 =0.51，在小球從水平位置運動到豎直位置的過程中，只有保 守內(nèi)力做功，因而機(jī)械能守恒：0 =12mv2 -mgAB 2k(O

19、A AC -10)2，可求得:v p;2gAB -k(OA AC -l0)2/m=£2 9.8 1 -800(0.5 0.1 - 0.51)2/5 =4.28m/s2.31盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)a粒子和氫原子相碰時，可使之迅速運動起來.按正碰考慮很容易證明，氫原子速度可達(dá)a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射a粒子能量的64%。試證明此結(jié)論(碰撞是完全彈性的，且a粒子質(zhì)量接近氫原 子質(zhì)量的四倍)。證明：設(shè)氫原子質(zhì)量為m,碰前速度為零，碰后速度vh', a粒子質(zhì)量為4m,碰前速度為Va,碰后速度為Va '.根據(jù)完全彈性碰撞基本公式:4m=4mVtmvH

20、9;即 4 = 4Vh ' (1)志=5'-%， vg=vh'-%(1) + X 4,得 8 Va = 5VH', /. VH'= 8 Va /5 = 1.6 VaEh _ mVH'2/2(1.6 V-.)2e220.64J. 4mV-. /2 4v-.2. 32 m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為 M的機(jī)車在 水平軌道上自右方以速率v滑行并與m碰撞掛鉤.掛鉤 后前進(jìn)了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。解：整個過程可分為兩個階段：第一階段，機(jī)車與車廂發(fā)生完全非彈性碰撞而獲得共同速度v'由于軌道阻力遠(yuǎn)小于沖力，可認(rèn)為質(zhì)點系動量守恒，Mv=(M+

21、m)v ；v'=Mv/(M+m)S,速度由v'變第二階段，機(jī)車與車廂掛鉤后，在摩擦阻力的作用下向前移動了 為零，由動能定理，有2-fs = 0 - (M+m) v ' /2,將v'代入，可求得2v2s(M ：2.33如圖所示，質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg，用I =1m長的繩子懸掛著的擺，子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度，問擺沿鉛直方向升起若干？解：用v0,v分別表示子彈穿過擺前后 的速度，u表示子彈穿過擺后擺的速度， 設(shè)擺升起的最大高度為h由動量守恒：mv0 = mv MV，可得V 二栄儀。-v) =0.002(500 -100)-0

22、.8/由能量守恒：舟MV2 = Mghh 二 V2 /2g 二 0.82 /(2 9.8) = 0.033m2.34如圖所示一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸 長10cm，今有一質(zhì)量為200g的鉛快在高30cm處從靜止開始落進(jìn)框 架，求此框架向下移動的最大距離，彈簧質(zhì)量不計，空氣阻力不計。解:框架靜止時，彈簧伸長 l=0.1m，由平衡條件mg=k I,求得:k=mg/ l=0.2X 9.8/0.1=19.6N/m鉛塊落下h=30cm后的速度v。，可由能量守恒方程求出：mgh嗚mv02-v0 二 2gh 2 9.8 0.3 = 2.42m/s設(shè)鉛快與框架碰后的共同速度為 v，由動

23、量守恒:mv0 = 2mv, v 二舟 v0 = 2.42/2 = 1.21m/s設(shè)框架下落的最大距離為x，由機(jī)械能守恒：；(m m)v2 2 k I2 = ；k(計-x)2 -2mgx，進(jìn)行整理并代入數(shù)據(jù)，可得 x的一元二次方程：x2 -0.2x-0.03 = 0, x=0.3m2.35 如圖所示，質(zhì)量為 m1=0.790kg 和 m2=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連，置于光2.35題圖滑水平桌面上，最初彈簧自由伸張。質(zhì)量為mo=O.O1kg的子彈以速率vo=1OOm/s沿水平方向射于mi內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？解：整個過程可分為兩個階段處理。第一階段：子彈射入mi

24、內(nèi)，發(fā)生完全非彈性碰撞，動量守恒，設(shè)子彈質(zhì)量為 mo，子彈與mi獲得的共同速度為v,則有movo = (mi+mo) v 二 v = vomo / (mi+mo)(1)第二階段：子彈與 mi以共同速度v開始壓縮彈簧至mi與m2有相同的速度V,壓縮結(jié)束；在此過程中，由mo,mi,m2組成的質(zhì)點系，其動量、能量均守恒，設(shè)彈簧最大壓縮量為I.由動量守恒，有:(葉 mo)v =(葉 m2 mo)Vx/葉+mom°v°Vv =g m2 momi m2 mo由能量守恒：2 (mi mo)v2 = 2 (mi m2 mo) V2 ； kl2 (3)將、代入中，可求得：fiiiI = mo

25、vo J(-) o.25m k ith +mo mi +m2 +mo2.36 一 iog的子彈沿水平方向以速率iiom/s擊中并嵌入質(zhì)量為ioog的小鳥體內(nèi)，小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落地處與樹枝的水平距離。解：設(shè)鳥被子彈擊中后與子彈共有的速度為量守恒:mivo = (m, m2)vv，由動2"題圖mivomi 亠m2O.Oi iiOo.oi o.i二 iom/s由平拋運動公式h =占gt2，可求得子彈落地時間:t；2h/g 2 4.9/9.8 =is，所以，水平距離 S=vt=iox 仁iom2.37棒球質(zhì)量為o.i4kg，用棒擊棒球的力隨時間的變化如圖所示，設(shè)棒

26、球被擊前后速度增量大小為7om/s，求力的最大值，打擊時，不計重力。2.37題圖解：由Ft圖可知:當(dāng) 0 機(jī)乞 0.05時，F(xiàn) sFmax當(dāng)0.05汀乞0.08時，F(xiàn) -需Fmax斜截式方程y=kx+b，兩點式方程(y-yi)/(x-x i)=(y2-yi)/(x2-xi)0.080.050.08由動量定理：mAv = JFdt = J：m05tdt+ J忠(0.08-t)dt000.05可求得 Fmax = 245N2.38地球質(zhì)量為6.0X 1024kg，地球與太陽相距149X 106km，視地球為質(zhì)點，它繞太 陽做圓周運動，求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動量。2.65 1040kgm2/s解:

27、L = mvr = m r2= 6.0 10242 二(149 109)2365 24 60 6021042402= 2.65 10 kgm /s6.0 2 二 149365 24 60 602.39 一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動，其位置矢量為r = acos ' ti? bsin 't ?， 其中a、b和®是正常數(shù)，試以運動學(xué)和動力學(xué)觀點證明該質(zhì)點對于坐標(biāo)原點角動量 守恒。證明：v = dr /dt = -a - sin t? b，cos t?a = dv/dt = -a，cos t?-b sin t? r運動學(xué)觀點：L = r mv = (acos t? bsin j) m(-a sin ti? b cos 色? i?二？ ？ 0,? ?<? (-i?) I?L = mab cos2 t? mab sin2 tl? = mab I?顯然與時間t無關(guān)，是個守恒量。動力學(xué)觀點：I 二 r F =r ma 二 r m(f ： 2r)二-m2r r =0,二該質(zhì)點角動量守恒。2.40質(zhì)量為200g的小球B以彈性繩在光滑水平2M題團(tuán)面上與固定點A相連。彈性繩的勁度系數(shù)為8 N/m，其自由伸展長度為600mm.最初 小球的位置及速度vo如圖所示。當(dāng)小球的速率變?yōu)?v時，它與A點的