02函數的求導法則

1、第二節(jié)二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 函數的求導法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構造性定義 )求導法則求導法則其它基本初等其它基本初等函數求導公式函數求導公式0 xcosx1 )(c )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數求導問題初等函數求導問題本節(jié)內容一、和、差、積、商的求導法則定理定理).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( ) 1 (2

2、xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數如果函數,)(,)(),(xxxvxu證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()

3、()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf推論推論 )() 1uc )()2wvuuc wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( c為常數 )例例1 1.tan的導數的導數求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的導數的導數求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2

4、cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理2. 如果函數如果函數( )xf yyi在區(qū)間在區(qū)間內單調、可導，且內單調、可導，且( )0fy，則它的反函數，則它的反函數1( )yfx在區(qū)間在區(qū)間 |( ),xyix xf yyi內也可導，且內也可導，且11( ),( )fxfy 或或1dydxdxdy證證: 在在 x 處給增量處給增量由反函數的單調性知由反函數的單調性知且由反函數的連續(xù)性知且由反函數的連續(xù)性知 因此因此,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有10(

5、)limxyfxx lim0yyx 1( )fy11例例3 3.arcsin的導數的導數求函數求函數xy 解解,)2,2(sin內單調、可導內單調、可導在在 yiyx, 0cos)(sin yy且且內有內有在在)1 , 1( xi)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例4. 求指數函數的導數求指數函數的導數.設, )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )a

6、rcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結小結:在點在點 x 可導可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點在點)(xgu 可導可導復合函數復合函數 fy )(xg且且)()(ddxgufxy在點在點 x 可導可導,證證:)(ufy 在點在點 u 可導可導, 故故)(lim0ufuyuuuufy)(（當（當 時時 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy即即

7、 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對等于因變量對中間變量求導中間變量求導, ,乘以中間變量對自變量求乘以中間變量對自變量求導導.(.(鏈式法則鏈式法則) )推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd關鍵關鍵: 搞清復合函數結構搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導由外向內逐層求導.例例5 5 求導數：求導數：解解ln(0)yxx10lnxyxyx，110ln()( 1)xyxyxx ，1ln xx 例例6 6.)1(102的導數的導數求函數求函數

8、 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例7 7.arcsin22222的導數的導數求函數求函數axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例8 8.)2(21ln32的導數的導數求函數求函數 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的導數的導數求函數求函數xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 抽象復合

9、函數求導舉例抽象復合函數求導舉例例例9 9 求下列函數的導數求下列函數的導數)2(sin. 1xfy 解解:)(sin(sinxxfy22xxf222cos)(sin)(arctan)(arcsin. 22xgxfy 解解:4221212)(arctan21)()(11xxxgxxfxfy )()(ln. 3xfxgxy 解解:)()()(ln)()(ln2xfxfxgxxfxgxy )()()(ln)(1)(ln)(ln212xfxfxgxxfxxgxxgx )()()(ln)()(ln)(ln212xfxxfxxgxfxgxg 例例1010.)(sin的導數的導數求函數求函數nnnxfy

10、解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 四、小結任何初等函數的導數都可以按常數和基本初任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述求導法則求出等函數的求導公式和上述求導法則求出.關鍵關鍵: 正確分解初等函數的復合結構正確分解初等函數的復合結構.必須記住必須記住: p94全部導數公式全部導數公式.作業(yè)作業(yè)p 967 (7) , (8), (9), (10) ; p 967 (7) , (8), (9), (10) ; 8 (6), (7), (8), (9), (10) ; 8 (6), (7), (8), (9), (10) ; 9; 10; 9;