高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何?？碱}型：平面與平面垂直的判定正式版

1、平面與平面垂直的判定【知識(shí)梳理】(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角(如圖).直線AB叫做二面角的棱,半平面a和6叫做二面角的面.記法：o-AB-3,在 "3內(nèi)，分別取點(diǎn) P、Q時(shí)，可記作 PAB Q;當(dāng)棱記為l時(shí)，可記作 al B或P lQ.(2)二面角的平面角:定義：在二面角a- l- 3的棱l上任取一點(diǎn)O,如圖所示，以點(diǎn)。為垂足，在半平面a和3內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB 構(gòu)成的/ AOB叫做二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角.2.面面垂直的定義(1)定義：如果兩個(gè)平面相交,(2)畫法：且它們所成的二面角是直二面角，就

2、說這兩個(gè)平面互相垂直.記作：al 33.兩平面垂直的判定(1)文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.(2)圖形語(yǔ)言：如圖.(3)符號(hào)語(yǔ)言：ABX 3, ABA 3= B, AB? a? a! 0【?？碱}型】題型一、面面垂直的判定【例 1】如圖所示，已知/ BSC=90°, / BSA= /CSA = 60°,又 SA= SB= SC.求證：平面 ABC，平面SBC.證明法一：(利用定義證明) zBSA= ZCSA= 60°, SA= SB= SC,zASB和 "SC是等邊三角形，貝u有 SA= SB= SC= AB = AC,令其彳1為

3、a,則ABC和ASBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點(diǎn)D,如圖所示，連接 AD, SD,則 AD1BC, SDJBC,/方SCADS為二面角 ABCS的平面角.在 RtABSC 中，-. SB=SC=a,f 也BC 2 SD= a, BD =-2-= 2 a.在 RtMBD 中，AD = a,在AADS 中，1. SD2+ AD2= SA2,jADS=90°,即二面角 ABC S為直二面角，故平面 ABC,平面SBC.法二：(利用判定定理) .SA= SB=SC,且/BSA=/CSA=60°,.SA= AB = AC,.點(diǎn)A在平面SBC上的射影為 SBC的外心.6BC

4、為直角三角形， 點(diǎn)A在4SBC上的射影 D為斜邊BC的中點(diǎn)，. AD，平面 SBC.又AD?平面ABC, 平面ABC,平面SBC.【類題通法】證明面面垂直的方法(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角;“線(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi中，側(cè)棱垂直底面，/ ACB=90°, AC=2.1BC = 2AAi，D是梭AAi的中點(diǎn).“'(1)證明：平面BDCi,平面BDC;八卜1(2)平面BDCi分

5、此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.解：(i)證明：由題設(shè)知 BCJCCi, BC1AC, CCnAC=C,所以 BCL平'面 ACCiAi.又 DCi?平面 ACCiAi,所以 DCilBC.由題設(shè)知/ AiDCi = /ADC = 45°,所以/CDCi=90°,即 DCidDC .又 DCABC = C,所以 DCi，平面BDC.又DCi?平面BDCi,故平面BDC平面BDC.(2)設(shè)棱錐BDACCi的體積為Vi, AC = i,由題意得i x ix i2.又三棱柱 ABC AiBiCi的體積V=i,所以(V-Vi) Vi = i i.故平面BDCi分此棱柱所

6、得兩部分體積的比為i ：i.題型二、二面角【例2】 已知D, E分別是正三棱柱 ABCAiBiCi的側(cè)棱AAi和BBi上的點(diǎn)，且 AiD =2BiE= BiCi.求過D, E, Ci的平面與棱柱的下底面 Ai BiCi所成的二面角的大小.解如圖所示，在平面 AAiBiB內(nèi)延長(zhǎng)DE和AiBi交于點(diǎn)F,則F是平面DECi與平面AiBiCi的公共點(diǎn).于是 CiF為這兩個(gè)平面的交線.因而，所求二面角即為二面角DCiFAi.AiD /BiE,且 AiD = 2BiE,. E, Bi分別為DF和AiF的中點(diǎn).，AiBi = BiCi = AiCi = BiF.FC1IA1C1.又.CC平面A1B1C1,

7、FCi?平面 A1B1C1,. CCilFCi.又.AiCi, CCi為平面AA1C1C內(nèi)的兩條相交直線, . FC平面 AAiCiC. DCi?平面 AAiCiC,. FC1IDC1./DCiAi是二面角D CiF Ai的平面角.由已知 AiD=AiCi,則/DCiAi = 45°.故所求二面角的大小為 45°.【類題通法】解決二面角問題的策略清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面 角的頂點(diǎn).求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面角的平面角；二證，即說明所作角 是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角

8、函數(shù)值，其中關(guān) 鍵是“作” .【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2.如圖所示，在 ABC中，ABXBC, SAL平面 ABC, DE垂 s 直平分SC,且分別交 AC, SC于點(diǎn)D, E,又SA= AB, SB= BC,求二面角 EBD C 的大小.14 f 解：王為SC中點(diǎn)，且SB= BC,. BEISCH DE JSC,BEADE=E,SC，平面 BDE. BD6C.又 SAL平面ABC可得 SA_LBD, SCnSA= S,. BD,平面SAC,從而 BD1AC, BD JDE ,£DC為二面角E-BD-C的平面角.設(shè) SA= AB=1.必BC 中，. ABIBC, . SB= BC = y(2,A

9、C：#, . SC=2.在 RtASAC 中，/DCS =30°,.,.zEDC=60°,即二面角 E BDC 為 60°.題型三、線面、面面垂直的綜合問題【例3】 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 a的正方形, 側(cè)棱 PD=a, PA= PC=#a,求證：PDL平面ABCD;(2)平面PACL平面PBD;(3)二面角PBCD是45°的二面角.證明(1) .PD=a, DC = a, PC = 2a,. PC2=PD2+ DC2.則 PDJDC.同理可證 PD1AD.又.AD A DC = D,且 AD, DC?平面 ABCD , . PD,

10、平面 ABCD.(2)由(1)知 PD,平面 ABCD,又AC?平面 ABCD, . PD JAC.四邊形ABCD是正方形，.ACJBD.又.BDnPD= D，且 PD, BD?平面 PBD , . AC,平面 PBD.又AC?平面FAC,平面PAC，平面PBD.(3)由(1)知 PD1BC,又BCJDC,且PD, DC為平面PDC內(nèi)兩條相交直線, . BC，平面 PDC. PC?平面 PDC , . BC JPC.則/PCD為二面角 P- BC-D的平面角.在 RtAPDC 中，. PD = DC=a,.zPCD=45°,即二面角P BCD是45°的二面角.【類題通法】本

11、題是涉及線面垂直、面面垂直、二面角的求法等諸多知識(shí)點(diǎn)的一道綜合題，解決這類問 題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化：線線垂直 ？線面垂直？面面垂直.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】BD / CE,且CE=CA=2BD3.4ABC為正三角形，EC,平面 ABC, 是EA的中點(diǎn).求證：(1)DE= DA;(2)平面BDM，平面 ECA;(3)平面DEAL平面ECA.證明：(1)設(shè)BD=a,作DF /BC交CE于F,則 CF=DB = a.因?yàn)?CEXWABC,所以 BCJCF, DF1EC,所以 DE=qEF2TDF2 = V5a.1.在二面角 蒲-3的棱l上任選一點(diǎn)O,若/AOB是二面角 知-3的平面角，則必須具有的和這個(gè)面密合就可以了

12、，其原理是 又因?yàn)镈B，面ABC,所以 DA= dbOaB2 =yf5a,所以DE= DA.（2）取CA的中點(diǎn)N,連接MN, BN,貝U MN/1CE/DB. =2=所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以 MD /BN.又因?yàn)?EC，面ABC,所以 ECJBN, ECJMD.又DE = DA , M為EA中點(diǎn)，所以 DM !AE.所以DM,平面AEC,所以面 BDM，面ECA.(3)由(2)知 DM,平面 AEC,而 DM?面 DEA,所以平面DEAL平面ECA.【練習(xí)反饋】條件是（）A. AO ± BO, AO? a, BO? 3B. AO±l, BO±lC. A

13、B±l, AO? a, BO? 3D. AO1l, BO±l,且 AO? a, BO? 3答案：D2 .對(duì)于直線m, n和平面% 3,能得出注3的一組條件是（）A.m，n,m"a, n”3B . m±n, aA 3= m, n? 3C. m"n, n± m? aD. m"n, m± a, n± 3解析：選C A與D中a也可與3平行，B中不一定故選C.3 .如圖所示，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否解析：如圖：因?yàn)?OAJOB,

14、 OAJOC, OB?& OC? 3且 OBAOC = O,根據(jù)線面垂直的判定定理，可得OA，8又OA? %根據(jù)面面垂直的判定定理，可得0a3.答案：面面垂直的判定定理4 .若P是 ABC所在平面外一點(diǎn)，而 PBC和 ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=® 那么二面角P-BC-A的大小為.解析：取BC的中點(diǎn)O,連接OA, OP,則/POA為二面角PBC A的平面角，OP= OA= 木,PA=® 所以POA為直角三角形，/ POA=90°.答案：90°5 .在四面體 ABCD 中，BD = *a, AB= AD = CB = CD = AC= a,

15、求證：平面 ABD，平面BCD.證明：如圖所示，.ABD與ABCD是全等的等腰三角形,取BD 的中點(diǎn) E,連接 AE, CE,貝UAEdBD, BDJCE.AEC為二面角 ABDC的平面角.在那BD中,AB=a,12BE = 2BD= 2 a，AE= 7AB2BE2 =22a.2同理CE= a.在那EC 中，AE=CE = 2a, AC=a,由于 ac2=ae2+ce2,. AE1CE,即/AEC = 90°,平面ABD,平面BCD.學(xué)習(xí)不是一朝一夕的事情，需要平時(shí)積累，需要平時(shí)的勤學(xué)苦練。有個(gè)故事：古希臘大哲學(xué)家蘇格拉底在開學(xué)第一天對(duì)他的學(xué)生們說：“今天你們只學(xué)一件最簡(jiǎn)單也是最容易

16、的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩?！闭f著，蘇格拉底示范做了一遍，從從今天開始，每天做 300下，大家能做到嗎？”學(xué)生們都笑了，這么簡(jiǎn)單的事，有什么做不到的？過了一個(gè)月，蘇格拉底問學(xué)生：每 甩手運(yùn)動(dòng)。還有哪幾個(gè)同學(xué)堅(jiān)持了？”這時(shí)，整個(gè)教室里，只有一個(gè)人舉起了手，這個(gè)學(xué)生就是后來成為古希臘另一位大哲學(xué)家的柏拉圖。同學(xué)們，柏拉圖之所以能成為大哲學(xué)家，其中一個(gè)重要原 因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優(yōu)秀品質(zhì)。要想成就一番事業(yè)，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動(dòng)天帝，移走太行、王屋二山。正是因?yàn)樗哂绣浂惶焖κ?00下，哪個(gè)同學(xué)堅(jiān)持了，有 90%的學(xué)生驕傲

17、的舉起了手，又過了一個(gè)月，蘇格拉底又問，這回，堅(jiān)持下來的學(xué)生只剩下了80%。一年過后，蘇格拉底再一次問大家:'請(qǐng)告訴我，最簡(jiǎn)單的舍的精神。戎馬一生，他前十次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時(shí)候，推翻了清王朝的統(tǒng)治，建立了中華民國(guó)。這些故事，情節(jié)不同，但意義都是一樣的，它告訴無(wú)們，做事要有恒心。旬子講： “鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤。 ”這句話充分說明了一個(gè)人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒有恒心，再簡(jiǎn)單的事也做不成。學(xué)習(xí)是一條慢長(zhǎng)而艱苦的道路，不能靠一時(shí)激情，也不是熬幾天幾夜就能學(xué)好的，必須養(yǎng)成平時(shí)努力學(xué)習(xí)的習(xí)慣。所以我說：學(xué)習(xí)貴在堅(jiān)持！ 當(dāng)下市面上

18、關(guān)于教授學(xué)習(xí)方法的書籍不少，其所載內(nèi)容也的確很有道理，然而當(dāng)讀者實(shí)際應(yīng)用時(shí)，很多看似實(shí)用的方法用來效果卻并不明顯，之后的結(jié)果無(wú)非是兩種：要么認(rèn)為自己沒有掌握其精髓要領(lǐng)，要么抱怨那本書的華而不實(shí)，但最終肯定還是會(huì)回歸到當(dāng)初的原點(diǎn)。這本學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)在一開始并沒有急于兜售自己的方法，而是通過測(cè)試讓讀者真正了解自己，從而找到適合自己思維方式的學(xué)習(xí)方法，書的第一部分就是左腦還是右腦思維測(cè)試和視覺、聽覺和動(dòng)覺學(xué)習(xí)模式測(cè)試，經(jīng)過有效分類后，針對(duì)不同讀者對(duì)不同思考和接收接受學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，有針對(duì)性的分別給出建議，從而不斷強(qiáng)化自己的優(yōu)勢(shì)。在其后書中的所有介紹具體學(xué)習(xí)方法章節(jié)的最開始，都是按照不同學(xué)習(xí)模式給出各種學(xué)習(xí)方法

19、不同的建議，這是此書區(qū)別于其他學(xué)習(xí)方法類書籍的最大特點(diǎn)，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開朗的感覺，除了能夠得到最適合自己的有效的學(xué)習(xí)方法也能更深入的認(rèn)識(shí)客觀的自己，不論對(duì)學(xué)習(xí)還是生活都有幫助。除了 “針對(duì)性”強(qiáng)外，本書第二大特點(diǎn)就是“全面”，全書都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者PPT課件合集，每個(gè)學(xué)習(xí)方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節(jié)內(nèi)容安排的比較混亂，所幸每一章節(jié)關(guān)聯(lián)性并不太強(qiáng)，每個(gè)章節(jié)都適合獨(dú)立檢索來閱讀學(xué)習(xí)。其內(nèi)容從“時(shí)間規(guī)劃” 、 “筆記” “閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學(xué)習(xí)中的常遇問題，文中文字精煉沒有過分的渲染，完全是純純的“干貨” ，可以設(shè)

20、身處地的想象：當(dāng)自己面對(duì)學(xué)海之中手足無(wú)措之時(shí)，長(zhǎng)篇大論的方法肯定會(huì)無(wú)心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時(shí)間讓讀者得到最有用的信息，是一部值得學(xué)習(xí)的人們不斷自我提高的有力武器。曾經(jīng)看到一個(gè)有意思的心理測(cè)試 :用“正確的方法” 、 “錯(cuò)誤的方法”和“積極的行為” 、 “消極的行為” ，來自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結(jié)果， “正確方法”配合“積極的行為”無(wú)疑是最好的結(jié)果，然而我們會(huì)很“慣性”想當(dāng)然的認(rèn)為， “錯(cuò)誤的方法”和“消極的行為”搭配是最壞的結(jié)果，其實(shí)“錯(cuò)誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的結(jié)果，這會(huì)讓人在錯(cuò)誤的路上越走越遠(yuǎn)，學(xué)習(xí)也是

21、同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會(huì)離成功越來越遠(yuǎn)，而好的學(xué)習(xí)方法加上積極的學(xué)習(xí)態(tài)度無(wú)疑會(huì)讓你如虎添翼。這是每個(gè)人都需要的，起碼在學(xué)生的時(shí)候如果遇到，或者人生會(huì)少一些遺憾，我只恨我遇見的晚了點(diǎn)，可是現(xiàn)在已是終身學(xué)習(xí)的年代，錯(cuò)過了最恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，但只要有心又怎會(huì)嫌晚呢？本書歸類為學(xué)習(xí)方法 -青年讀物，是本工具書，學(xué)習(xí)手冊(cè)，但不能阻止她成為經(jīng)典。這本書的副標(biāo)題為“增加學(xué)習(xí)技能與腦力” ，正是本書的宗旨，本書系統(tǒng)化地闡述了學(xué)習(xí)技能提升的各個(gè)方面，可謂事無(wú)巨細(xì)的令人發(fā)指啊。整體來講主要包括 7 個(gè)方面，分別是學(xué)習(xí)模式，時(shí)間管理和學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃，筆記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應(yīng)試技

22、巧，拾遺。全書的結(jié)構(gòu)采取的是總分的形式，前三個(gè)方面是總的部分，算是增加學(xué)習(xí)技能的準(zhǔn)備，從認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)模式開始，然后采取任何事都需要的時(shí)間管理技巧，再總體地講一下學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃的事項(xiàng)。然后底下是分的部分，將學(xué)習(xí)的包含的各個(gè)方面的技巧進(jìn)行分開闡述，分別有筆記記錄，閱讀，記憶，應(yīng)試以及最后的拾遺。系統(tǒng)地講述了學(xué)習(xí)的幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實(shí)踐的話不僅能在學(xué)習(xí)上得到提高，在腦力上或者說理解力上肯定會(huì)受益匪淺。在此，說句題外話，我一直覺得日本人寫書在細(xì)節(jié)上做的是無(wú)與倫比的，但是這本書讓我對(duì)這個(gè)看法有了一定的動(dòng)搖，因?yàn)樗锩娴闹v述部分讓我覺得美國(guó)是個(gè)應(yīng)試教育的國(guó)家嗎，簡(jiǎn)直比我們中國(guó)還要應(yīng)試。那個(gè)考試

23、應(yīng)對(duì)細(xì)節(jié)的部分放在中國(guó)，一點(diǎn)也沒有違和感的，好嗎？所以他們能出現(xiàn)這樣的情況，從沒到過日本的人能夠?qū)懗雒鑼懭毡救说臅?，然后讓日本人都覺得是經(jīng)典的，沒有在企業(yè)里做過實(shí)務(wù)管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全世界不得不說，美國(guó)的教育真不是蓋的。細(xì)節(jié)上，我印象比較深的是，作者開篇開始傳授如何應(yīng)該認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)模式，運(yùn)用了一些測(cè)試題目，然后根據(jù)結(jié)果找出與自己最近似的學(xué)習(xí)模式，她把學(xué)習(xí)模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺的，聽覺的，動(dòng)作的。我看了一下，確實(shí)有跟自己近的類型，我就是視覺的，對(duì)號(hào)入座后就可以比較直接的去揚(yáng)長(zhǎng)避短了。然后，作者說了，做任何事情，時(shí)間管理技巧都是不可缺少的，她不僅教導(dǎo)的是學(xué)習(xí)的技能，還有很多其他的道理，對(duì)我們?nèi)松际怯幸娴模蚁嘈?，如果我們的孩子從小就學(xué)習(xí)這些，將會(huì)受用終生。還有，作者提到了學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃里的家庭檔案系統(tǒng)，將我們現(xiàn)在工作中的管理引進(jìn)了學(xué)習(xí)中，這是一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如果孩子持續(xù)的做，嚴(yán)格地做，獲得的收益將無(wú)法估量，因?yàn)椋@在我們現(xiàn)在工作中都必須要用的管理信息的技能，實(shí)在是太