三角函數(shù)函數(shù)的周期性教案_7995

1、三角函數(shù)·函數(shù)的周期性·教案教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解函數(shù)周期性的概念，并運(yùn)用它來判斷一些簡單、常見的三角函數(shù)的周期性2使學(xué)生掌握簡單三角函數(shù)的周期的求法3培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)定義進(jìn)行推理的邏輯思維能力，提高學(xué)生的判斷能力和論證能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)函數(shù)周期性的概念教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象今天我們將利用正弦函數(shù)圖象，研究三角函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)請同學(xué)們觀察y=sinx ， x R 的圖象：（老師把圖畫在黑板左上方）師：通過觀察，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？生：正弦函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，值域是-1， 1圖象有規(guī)律地不斷重復(fù)出現(xiàn)師：規(guī)律是什么？生：當(dāng)自變量每隔2

2、 時(shí)，函數(shù)值都相等師：正弦函數(shù)的這種性質(zhì)叫周期性我們將會發(fā)現(xiàn)，不但正弦函數(shù)具有這種性質(zhì)，其它的三角函數(shù)和不少的函數(shù)也都具有這樣的性質(zhì)，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數(shù)的周期性（老師在黑板左上方寫出課題）師：我們先看函數(shù)周期性的定義（老師板書）定義對于函數(shù)y=f （ x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T ，使得當(dāng)x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)， f（ x+T ） =f （ x）都成立，那么就把函數(shù)y=f （ x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期師：請同學(xué)們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點(diǎn)生：首先 T 是非零常數(shù)， 第二是自變量x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)都有f（ x+T ）=f（

3、x）師：找得準(zhǔn)！那么為什么要這樣規(guī)定呢？師：如果 T=0 ，那么 f （x+T ） =f （x）恒成立，函數(shù)值當(dāng)然不變，沒有研究價(jià)值；如果T 為變數(shù)，就失去了“周期”的意義了“每一個(gè)值”的含義是無一例外師：除這兩條外，定義中還有一個(gè)隱含的條件是什么？生：如果 x 屬于 y=f （ x）的定義域，則T+x 也應(yīng)屬于此定義域師：對否則f（ x+T ）就沒有意義師：函數(shù)周期性的定義有什么用途？生：它為我們提供判定函數(shù)是否具有周期性的理論依據(jù)師：下面我們看例題（老師板書）例 1證明 y=sinx 是周期函數(shù)生：因?yàn)橛烧T導(dǎo)公式有 sin（ x+2 ） =sinx 所以 2 是 y=sinx 是一個(gè)周期故

4、它就是周期函數(shù)例 2師：要想判斷 T 是不是函數(shù) y=f （ x）的周期有什么方法？我們現(xiàn)有的理論依據(jù)只有定義，如何使用定義？對于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有 f（ x+T ）=f （ x），而不是有（存在著）某一個(gè)x，使 f（x+T ）=f （x）成立要想證明T 不是周期，只要找到一個(gè)x0，使得 f（ x0+T ） f （x0 ）即可所以乙是正確的師：分析得好！ 同學(xué)對概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該做到真正能弄清每句話的含義，而不能只停留在字面的意思讀懂了這樣才可能透徹地理解概念，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)例 3 已知 f（ x+T ） =f （ x）（ T 0），求證 f（ x+2T ） =f （ x）師：

5、此題用文字如何敘述？誰能給予證明？生：若不等于零的常數(shù)T 是 f（ x）的一個(gè)周期，證明2T 仍是 f （x）的周期因?yàn)?T 是 f（ x）的周期，所以f（ x+T ）=f（ x），f（ x+T ）+T=f（ x+T ），即 f（ x+2T ）=f （ x）因此 2T 是 f （ x）的周期師：這個(gè)命題推廣可得到什么結(jié)論？生：如果 T 是 f （x）的周期，那么2T， 3T，, ，nT（ n Z）也都是f （ x）的周期師：這說明如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，所有的周期就構(gòu)成一個(gè)無窮集合這無數(shù)個(gè)周期中，我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期這是為什么？生甲：如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)存在最小正周期，就可

6、以確定這個(gè)函數(shù)的所有周期生乙：更具有實(shí)用性 如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個(gè)長度為最小正周期的范圍內(nèi)對函數(shù)進(jìn)行研究師：這位同學(xué)思考問題有一定的深刻性他不但弄清最小正周期的實(shí)質(zhì)，還進(jìn)一步想到我們研究函數(shù)周期性的目的，那就是要研究一個(gè)周期函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，只要研究它在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，然后經(jīng)過周期延拓即可如果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內(nèi)這無疑給我們研究周期函數(shù)的性質(zhì)帶來方便（老師在函數(shù)的周期性定義下板書）如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小正周期，就把它叫做最小正周期例 4證明 f（ x） =sinx （ x R）的最小正周期是2 師：例 1 證明了 y

7、=sinx 是周期函數(shù)，并且找到了一個(gè)周期T=2 例是 2要想證明這個(gè)命題，只要證明什么？生：只要證明任何比 2小的正數(shù)都不是它的周期師：如何證？能否逐一證明比2 小的正數(shù)都不行呢？當(dāng)然不行因?yàn)楸? 小的正數(shù)是無限的那這樣的命題應(yīng)如何證？生：反證法假設(shè)存在T （ 0，2 ）使得 y=sinx 對于任意的x R 都成立推出矛盾即可師：你能具體的給予證明嗎？生：假設(shè) T 是 y=sinx ，x R 的最小正周期，且0 T 2 ，那么根據(jù)周期函數(shù)的定義，當(dāng) x 為任意值時(shí)都有sin（ x+T ）=sinx 即cosT=1這與 T （ 0，2 ）時(shí)， cosT 1 矛盾這個(gè)矛盾證明了y=sinx ，x

8、 R 的最小正周期是2 師：請同學(xué)們在課堂練習(xí)本上證明y=cosx 的最小正周期是2 師：通過上面的例題和練習(xí)我們得出這樣的結(jié)論，正弦函數(shù)y=sinx （ x R）和余弦函數(shù) y=cosx（ x R）都是周期函數(shù)，2 k（ k Z 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是2 例 5 求 y=3cosx 的周期師：以后求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期生：因?yàn)?y=cosx 的周期是 2 ，所以 y=3cosx 的周期也是 2 師：好好在他能利用我們總結(jié)出的結(jié)論，也就是新知識歸結(jié)到舊知識上去你能再具體的證明嗎？生：可以從數(shù)和形兩個(gè)角度來證明解（一）因?yàn)閷σ磺衳 R， 3cos（ x+2 ）

9、=3cosx，所以 y=3cosx 的周期是2 解（二）因?yàn)?y=3cosx 圖象是把y=cosx 圖象上的每點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍得到的，當(dāng)自變量x（x R）增加到 x+2 且必須增加到x+2 時(shí)，函數(shù) cosx 的值才重復(fù)出現(xiàn)，因而函數(shù)3cosx 的值也才重復(fù)出現(xiàn)，因此y=3cosx 的周期是2 師：數(shù)和形是我們研究數(shù)學(xué)問題的兩個(gè)方面，他都想到了，并且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什么結(jié)論？生： y=Asinx ，y=Acosx （ A 0，是常數(shù)）的周期都是 2，也就是說函數(shù)周期的變化與系數(shù) A 無關(guān)例 6 求 y=sin2x 的周期（請不同解法的三位同學(xué)在黑板上板演）生

10、甲：解 因?yàn)?y=sin（ 2x2 ）=sin2x ，對于任意 x R 都成立 所以 y=sin2x 的周期是 2 生乙：解因?yàn)?y sin（ 2x 2 ） sin2（ x ） sin2x，所以 y sin2x 的周期是 生?。航庠O(shè) 2x u，因?yàn)?y sinu 的周期是 2，所以ysin （ u 2 ） =sinu ，即sin（ 2x+2 ） sin2（ x+ ） sin2x ，所以 y=sin2x 的周期是 師：我們一起來分析三個(gè)同學(xué)的解法解法一是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在對于周期函數(shù)定義中任意 x 都有 f（ xT ）=f （x）的本質(zhì)沒弄清楚，要證明y=sin2x 是周期函數(shù)，應(yīng)證明對于任意x R

11、，都有 y=sin2x=sin2（x+T ），而不是 y=sin2x=sin（ 2x+T ）解法（二），（三）是正確的 區(qū)別在于解法 （三）經(jīng)過換元，把要研究的新問題y sin2x 的周期轉(zhuǎn)化為已有的舊知識ysinu的周期這種轉(zhuǎn)換的意識、換元的思想是很重要的師：其實(shí)這個(gè)問題也可以從圖象的變換來考慮我們先看如何由y sinx 的圖象得到y(tǒng)sin2x 的圖象使y=sinx 的圖象上的每點(diǎn)的縱坐標(biāo)當(dāng)自變量每增加2 且必須增加2時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，現(xiàn)在就是當(dāng)sin2x 的周期是 師：通過這個(gè)例題我們看到，著這個(gè)問題同學(xué)們做下面的題目例 7誰對函數(shù)的周期有影響？是x 的系數(shù) 有怎樣的影響？帶y2sin（

12、 u 2 ） =2sinu，師：通過這個(gè)例題， 進(jìn)一步驗(yàn)證了我們的猜想，函數(shù)的周期的變化僅與自變量x 的系數(shù)有關(guān)我們把例7 寫成一般式例8求 y=Asin （ x+）的周期（其中A ， ，為常數(shù)，且A 0， 0，xR）解設(shè) u x因?yàn)閥 sinu 的周期是2 ，所以sin（ u 2 ）=sinu，師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數(shù)的周期僅與自變量的系數(shù)（老師板書）師：以后再求正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的周期，可由上面的結(jié)論直接寫出它的周期師：（總結(jié)）通過今天的課，同學(xué)們應(yīng)明確以下幾個(gè)問題（一）研究函數(shù)周期的意義是什么？周期函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中具有周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型如果能找到函數(shù)的最小正周期T，那么只

13、要在以T 為氏度的區(qū)間內(nèi)就可以研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，然后推斷出函數(shù)在整個(gè)定義域的圖象和性質(zhì)這給我們研究函數(shù)帶來了方便（二）對于函數(shù)周期的定義應(yīng)注意：1f （ xT ）=f （ x）是反映周期函數(shù)本質(zhì)屬性的條件對于任意常數(shù)T（ T 0），如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個(gè)x，使 f（ xT ） f （ x）不成立，我們就斷言y=f （x）不是周期函數(shù)對于某個(gè)確定的常救T 0如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個(gè)x，使 f（ xT ） f （x）不成立我們能斷言T 不是函數(shù)y=f （ x）的周期，但不能說明y f （ x）不是周期函數(shù)2定義中的“每一個(gè)值”是關(guān)鍵詞此函數(shù)對于任意確定的常數(shù)中幾乎所有 x 都

14、成立但僅僅由于T 0，盡管 x 的個(gè)別值f（ x T） =f （ x）對函數(shù)定義域（-， +）x=0 ，x=-T 時(shí)，等式不成立因此函數(shù)f（ x）不是周期函數(shù)（三）周期函數(shù)的周期與最小正周期的區(qū)別與聯(lián)系1周期函數(shù)的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一周期函數(shù)的周期有無數(shù)個(gè)如： f（ x） =c（常數(shù)），任意非零實(shí)數(shù)都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正實(shí)數(shù)，所以 f （ x） =c 沒有最小正周期這個(gè)例子也同時(shí)說明不是只有三角函數(shù)才具有周期性2周期函數(shù)的最小正周期一定是這個(gè)函數(shù)的周期，反之不然例如， 2 是 y=sinx 的最小正周期，也是函數(shù)的周期；4 是函數(shù)的周期，但不是最小正周期作業(yè)：課本P178 第 6 題， P132 第 4 題課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明此教學(xué)方案是按照“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主線 ”的原