平面向量三角形四心(有詳解)

1、平面向量與三角形“四心”的應(yīng)用問題三角形的外心，內(nèi)心，重心及垂心，在高考中的考查是比較棘手的問題，先課程教材中 所加的內(nèi)容，更加引起我們的重視，尤其與平面向量結(jié)合在一起，那就更加難于掌握了。本 文擬對(duì)與三角形的“四心”相關(guān)的平面向量問題加以歸納，供學(xué)習(xí)時(shí)參考.1課本原題iIi 1 I 4I J例1、已知向量 OR,OP2,OP3滿足條件 OR+OP2+OP=0, |OR |=| OP2 |=|OP31=1，求證: RP2P3是正三角形.分析對(duì)于本題中的條件iOPlhiOP>,iOP3i，容易想到，點(diǎn)o> PP2P3的外心，而另一個(gè)條件op'+OF2+0R =0表明，點(diǎn)o是厶

2、PP2B的重心.故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角 形.在1951年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，貝吐匕三角 形為何種三角形？與本題實(shí)質(zhì)是相同的.顯然，本題中的條件|OR|斗O£|=|OP |=1可改為|OR|=|OP冃OP3|.2高考原題例2、O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OP- OA (AC)0：,：則.P的軌跡一定通過厶ABC的( ).|AB| |AC|A .外心B.內(nèi)心C.重心D .垂心7AC，AF 誌，顯然AE，AF都是單分析 已知等式即APAC)，設(shè)AE| AB|

3、| AC| AB|位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故AP為.ABC的平分線，選B .例3、厶ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H ， OH =m(OA OB OC)，則實(shí)數(shù)m =.分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識(shí)推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要 的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀.解法如下，由已知，有向量等式ah|_bc=0，將其中的向量分解,向已知等式形式靠攏，有（OH_OA）l（OCOB）=o ,將已知代入，有m（0A OB OC）-OAOC-0B） =0 ,即 mcOC'OB） .（m i）0AjBC=O ,由 o是外心，得 （m -1）0L_Bc =

4、0，由于 ABC是任意三角形，則OA.BC不恒為0,故只有m =1恒成立.1 -或者，過點(diǎn)O作OM _BC與M，則M是BC的中點(diǎn)，有OM =（OB OC） ; H是垂心，2貝U AH _ BC ,故 AH 與OM共線，設(shè)=kOM，貝u OH=OA+AH=OA+），又2OHm(OA OB OC)，故可得(m1)OA (mk)OB(m_k)OC=o,有 m'm上 o,2 2 2根據(jù)已知式子 0H.m（0A Ob OC） 中的OA+OB+OC部分，很容易想到三角形的重心 坐標(biāo)公式，設(shè)三角形的重心為 G , O是平面內(nèi)任一點(diǎn)，均OA亠OB亠OC有og=oa ob oc，由題意，題目顯然敘述的是

5、般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖1,由圖上觀察, 很容易猜想到HG=2G0，至少有兩個(gè)產(chǎn)生猜想的誘因,是,其一是，BF,OT均與三角形的邊AC垂直，則BF/OT ;其二，點(diǎn)G是三角形的中線BT的三等分點(diǎn).此時(shí)，會(huì)先猜想 BHGTOG,但現(xiàn)在缺少一個(gè)關(guān)鍵的條件，即圖1BH =2OT，這樣由兩個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，同 時(shí)，夾角對(duì)應(yīng)相等可得相似.當(dāng)然，在考試時(shí)，只需大膽 使用，也可利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行證明.本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè) O G H分別是 ABC的外心、重心和垂心，則O G H三點(diǎn)共線，且OG： G* 1 : 2,利用向量表示就是 OH = 3OG .T例4、點(diǎn)O是三角

6、形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 OALOB = OB_OC = OC_OA，則點(diǎn)0A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B .三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)是ABC的（）.C.三條中線的交點(diǎn) 條高的交點(diǎn)移項(xiàng)后不難得出點(diǎn)0是ABC的垂心，選D .3推廣應(yīng)用題例5 在厶ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使AP2 BP2 CP2最小.分析 如圖2,構(gòu)造向量解決.取cA=a,cB二b為基向量，設(shè)cP二,有T 斗 T 彳屮AP二 x，a B P x. b4 4*4*44 2 #2 1 * 22_222'I2I2于是，AP2 BP2 CP2 =(x - a)2 (x -b)2 x =3x- (a b)2 a b -(a b)2

7、.331 2 2 2 1當(dāng) x = (a b)時(shí)，AP2 BP2 CP2 最小，此時(shí)，即 OP (OA - OB - OC)，則點(diǎn) P ABC 33的重心.例 6|Oa|2 - |B?|2=|OB|2 |CA|2=|分析將iBCi2=(oC_點(diǎn)，滿足已知 O 為 ABC所在平面內(nèi)-OC |2 - |AB|2，則 OABC的心.OB)2=Oc2 Ob2 -2O5b，|Ca|2,|AB|2也類似展開代入，已知等式與例4的條件一樣.也可移項(xiàng)后，分解因式合并化簡(jiǎn)，0為垂心.已知0ABC的外心，求證:OAsin BOC OBsin AOC Oc sin AOB =分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明.如圖3，以A為坐標(biāo)原占八、)B在x軸的正半軸，C在X軸的上卜爐小)A方1Sa aob = X2y°，直線BC的方程是/T2/賈0)y32-3x -y 2x 3,由于點(diǎn)A與點(diǎn)0必在直AB(X2,y2)X線BC的同側(cè)，且-X2y3 <0 ， 因此有圖3X。七X3 yoX2-y° 0x2得'BOCQx3y0x2%).直線AC的方程是y3X -X3y = 0 ，由于點(diǎn)(1, 0與點(diǎn)O必在直線AC的同側(cè)，且y 1 -X300，于 是 ，因此有x°y3丸丫。0，容易驗(yàn)證，得 Sa aocOA Sa boc O