2．4正態(tài)分布

1、24正態(tài)分布教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用 。過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。情感、態(tài)度與價值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 。教學(xué)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0，1) 。教學(xué)難點(diǎn)：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。教具準(zhǔn)備：多媒體、實物投影儀 。教學(xué)設(shè)想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布。內(nèi)容分析： 1在實際遇到的很多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布 在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度

2、曲線較科學(xué)地反映了總體分布 但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，所以在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口 正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布 2正態(tài)分布是能夠用函數(shù)形式來表述的 其密度函數(shù)可寫成：， （0）由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的 常把它記為 3從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=，并在x=時取最大值 從x=點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，持續(xù)逼近x軸，但永不與x軸相交，所以說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的 4通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征 5因為正態(tài)

3、分布是由其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的，所以從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難 但我們也發(fā)現(xiàn)，很多正態(tài)分布中，重點(diǎn)研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都能夠通過轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，x（-，+），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化 6結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時能夠借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì) 教學(xué)過程：學(xué)生探究過程：復(fù)習(xí)引入： 總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相對應(yīng)各組取值

4、的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線講解新課：一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機(jī)變量X滿足,則稱 X 的分布為正態(tài)分布（normal distribution

5、) 正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，所以正態(tài)分布常記作如果隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X. 經(jīng)驗表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下落，所以小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo) X 是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布在現(xiàn)實生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺

6、寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布所以，正態(tài)分布廣泛存有于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位說明：1參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，能夠用樣本均值去佑計；是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，能夠用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計2.早在 1733 年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，所以，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布 2正態(tài)分布）是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于

7、正態(tài)曲線的影響 3通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱 正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上 講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì) 4正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交 （2）曲線關(guān)于直線x=對稱 （3）當(dāng)x=時，曲線位于最高點(diǎn) （4）當(dāng)x時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x時，曲線下降（減函數(shù)） 并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近 （5）一定時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦

8、高”總體分布越集中：五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué) 5標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)=0、=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-x+）其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 講解范例：例1給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差 （）（）（）答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 例2求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率解：利用等式有=0.97720.84131=0.81511.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體

9、的概率問題: 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率，即 ，其中，圖中陰影部分的面積表示為概率 只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時，；而當(dāng)時，（0）=0.5 2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，若，則利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積 3非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可 在這里重點(diǎn)掌握如何轉(zhuǎn)化 首先要掌握正態(tài)總體的均值和

10、標(biāo)準(zhǔn)差，然后進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化 4.小概率事件的含義 發(fā)生概率一般不超過5的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 假設(shè)檢驗方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進(jìn)行分析 假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出統(tǒng)計假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗中的a值是否落入(-3，+3)；三是作出判斷 講解范例：例1. 若xN(0,1),求(l)P(-2.32<x<1.2)；(2)P(x>2).解：(1)P(-2.32<x<1.2)=F(1.2)-F(-2.32) =F(1

11、.2)-1-F(2.32)=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228. 例2利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：(1)在N(1,4)下，求 （2）在N（，2）下，求（，）；（1.84，1.84）；（2，2）；（3，3）解：（）（1）0.8413（）（）（1）0.8413（）（1）（1）0.84130.1587（，）（）（）0.84130.15870.6826（1.84，1.84）（1.84）（1.84）0.9342（2，2）（2）（2）0.954（3，3）（3）（3）0

12、.997對于正態(tài)總體取值的概率：在區(qū)間（-，+）、（-2，+2）、（-3，+3）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7% 因此我們時常只在區(qū)間（-3，+3）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分 例3某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（1.2，0.2）之間的概率 解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是，它是偶函數(shù)，說明0，的最大值為，所以1，這個正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 鞏固練習(xí)：書本第74頁 1,2,3課后作業(yè)： 書本第75頁 習(xí)題2. 4 A組 1 , 2 B組1 , 2教學(xué)反思：1在實際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布 在上一節(jié)

13、課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布 但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口 正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布 2正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的 其密度函數(shù)可寫成：， （0）由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的 常把它記為 3從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=，并在x=時取最大值 從x=點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的 4通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分