[精品]淺談反證法在數(shù)學(xué)分析

1、淺談反證法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用作 者 張曉 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2003級(jí)專升木指導(dǎo)教師陳懷堂數(shù)學(xué)系教授摘要：數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，不可能用一種或兒種方法全部解決！在眾多的數(shù)學(xué)方法中， 反證法是數(shù)學(xué)證明中的-種重要工具反證法是一種間接的證明方法，它的基本思想是“否 定-推理-矛盾-肯定” 反證法丿力史悠久，曾被用來解決數(shù)學(xué)小許多重要結(jié)論要能熟練掌握 一種解題方法，僅僅滿足于會(huì)用這種方法解個(gè)別題hl是不夠的，還要在解題的證明中注意積 累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)規(guī)律，解決何時(shí)可以用這種方法來解決的問題，這冇利于進(jìn)一步加深對(duì)這種解 題的方法實(shí)質(zhì)的理解.!詞：反證法；有界性：否定詞分類號(hào)：017abstract : the

2、 mathematical problem is changeable 1( is impossible to solve all problems by one or several kinds of methods! in numerous mathematical methods, reduction to absurdity is a sort of important tool in mathematics. reduction to absurdity is a sort of indirect method for proving propositions. its basic

3、principle is mdenial-consequence-contradiction-affirmation n. reduction to absurdity has a long history, which is ever used for solving a lot of important problems in mathematics. in order to master a method for solving a kind of problem, it is insufficient to learn such a method for solving one or

4、two problems you should pay special attention to accumulating experiences, summing up rules, and knowing when you can use this method to solve the problem. it is useful for you to deepen the understanding of the essential of the method keywords: reduction to absurdity; bound; denialcategory number:

5、0171反證法的基本思想反證法是一種間接的證明方法，它的基木思想是“否定-推理-孑盾-肯定”, 這種證明方法之所以令學(xué)生難以理解，是因?yàn)樵谧C明過程屮，每一步的結(jié)論到下 一步完全符合邏輯，但毎一步的結(jié)論卻其實(shí)不能發(fā)生，從邏輯的觀點(diǎn)來看，反證 法實(shí)際上是通過證明與命題ab邏輯等價(jià)的命題為真，從而間接證明了命題 ab，顯然這個(gè)等價(jià)命題的條件屮含有命題atb的結(jié)論的否定萬，反證法歷 史悠久，曾被用來解決數(shù)學(xué)中許多重要結(jié)論.2怎樣正確否定數(shù)學(xué)分析中的一些命題在運(yùn)用反證法論證命題時(shí)，首先耍求能很正確的否定命題的結(jié)論，這是正確 證明命題的基礎(chǔ)，在有些情況下，一個(gè)結(jié)論的否定往往很容易得到例如命題 “ lima

6、” < wmbn ”的否定就是“ lima“ > mbn ”，但對(duì)命題“于在d上有界”,/ixo"ts/?->00盡管其否定很顯然就是“于在d上無界”，若耍用它做進(jìn)一步推理時(shí)，還需耍對(duì) 函數(shù)有界與無界的定義深刻的認(rèn)識(shí)，所謂“/在d上有界”是指“存在某個(gè)正數(shù) m ,對(duì)所有的xed,使得|.f(x)| 成立”，這類命題中出現(xiàn)了量詞“對(duì)所有 的”和“存在”，要寫岀它們的否定形式相對(duì)就比較困難了一般地，命題中若出 現(xiàn)量詞“對(duì)所有的”或“存在”吋，其否定形式必須將“對(duì)所冇的”變成“存 在”，“存在”變成“對(duì)所有的”，并否定“這件事情發(fā)生”.于是，要將命題 “/在q上有界”否定

7、，其形式應(yīng)為“對(duì)所有的正數(shù)m,存在xed,使得 fm<m成立” 在數(shù)學(xué)分析中，運(yùn)用這種方法來否定一個(gè)命題是屢見不鮮的.曲于在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用符號(hào)“v”作為“對(duì)所有的”這些詞的簡(jiǎn)寫，用符號(hào)“盯 作為“存在” 一詞的簡(jiǎn)寫，所以下面我們將用符號(hào)來說明：命題 “ lim.f(x) = a ” ,xt"即“ v£0,»0,使得v滿足：o<|x-xo|<»,有|/(兀),其否定形式為北0 >o,vj>0,m滿足0<|x-x0|<別勺兀<|/(x)一恥 ”命題“/在/上一致連續(xù)”， 即“比> 0,” > 0,使得

8、0坷,x2 g /,只要一兀21 v 5,有|.f (山)-f(x2)| v £ ” ,其否定 形式為“五°0,x/50,北,勺w人盡管滿足1“ 一勺| v &但|/(殲)一 /也)|»勺3數(shù)學(xué)分析中幾類常用反證法的證明要能熟練掌握一種解題方法，僅僅滿足于會(huì)用這種方法解個(gè)別題口是不夠 的，還要在解題的證明屮注意積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)規(guī)律，解決何吋可以用這種方法來 解決的問題，這有利于進(jìn)-步加深對(duì)這種解題的方法實(shí)質(zhì)的理解.下面就數(shù)學(xué)分 析屮幾類常見的運(yùn)用反證法證明的命題類型，舉例說明反證法的應(yīng)用.3.1當(dāng)題目中含有否定詞“無”或者“非”時(shí)，一般用反證法.例1試證明：

9、若函數(shù)于(兀)在有限區(qū)間(恥)內(nèi)口j微，但無界，則其導(dǎo)函數(shù) /v)也無界.證明 設(shè) 廣在(d,b)內(nèi)有界，即>o,/"(d,b),有|廣(x)5m|,取定 xo g(6z,/?),xvx («,/?),由拉格kib'i1值定理知，在兀。與天之間存在&，使得 |/(兀)-心)| = |廣帥-x.<m(b-a 而|/(x)|-|/(x0)|<|/u)-f(xq)<m(b-a)9 故f(x)<f(x) + m(b-a),此與已知于(兀)無界相矛盾,故廣(兀)無界.例2若函數(shù)于在區(qū)間/內(nèi)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)不可能冇第一類間斷點(diǎn).證明 設(shè)兀。

10、為廣(兀)在區(qū)間i內(nèi)的第一類間斷點(diǎn)，則廣在勺處的左、右極 限都存在，由lim fx)存在可推知：x->x 0fx ) = /；(x0) = lim /(x)/(xo)= lim = lim /) = lim fx),同理xt對(duì)x - xqxt琉gt對(duì)xt坊由lim廣o)存在可推得f r(x0) = /j(x0)= lim廣，于是得xtx6f,(x()= lim fx)= lim廣，因而廣(兀)在處連續(xù)，此與假設(shè)矛盾從而證明 x>xqx»兀0t廣不町能有第一類間斷點(diǎn).3. 2當(dāng)結(jié)論以“至多”或“至少”形式出現(xiàn)時(shí)用反證法可以收到良好的效果. 例 3 設(shè) y(x)ec0,，且

11、f(x)sinxdx= /(x)cosx<7x = 0 ,證明：于(兀)在 (0,蘭)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).2證明(1)若/在(0, 內(nèi)沒有零點(diǎn)，則/在(0, 內(nèi)恒正或恒負(fù)，不 nn妨設(shè)于(x)恒證，即 /(%) >0,則 £ /(x)sin xdx>),這與 f f(x)sinxdx =()矛盾, 所以門朗在(0,-)內(nèi)至少冇一個(gè)零點(diǎn)，下而證明零點(diǎn)不唯一.(1)若/在(0, 內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)兀0 (除必外無零點(diǎn))，則/在2(0,兀。)與(尤0,蘭)內(nèi)分別保持不變號(hào).21/在(0,兀0)與(兀0，竺)若符號(hào)相/(x)sin(x-x0)恒正或恒負(fù),即 i2 /wsin(x

12、- x0)dx > 0 ,這與jinf /(x) sin xdx = cos x() f /(x) sin xdx 一 sin x() f /(x) cos xdx = 0 矛盾2' /(x)在(0,兀。)與(兀o,蘭)若符號(hào)相同，則同樣可以推出矛盾則由1， 22'知：/(兀)在(0, -) ±可能只有一個(gè)零點(diǎn)，又由(1)知肯定存在一個(gè)零點(diǎn)，則 2至少存在兩個(gè)零點(diǎn).3.3當(dāng)結(jié)論中出現(xiàn)“唯一”或量詞“只有一個(gè)”時(shí)，運(yùn)用反證法也比較適宜.例4若極限lim f(p)存在，則它只冇一個(gè)極限.證明假若不然，設(shè)數(shù)都是?！?在pip。時(shí)的極限(不妨設(shè)a<b),則

13、63; = ¥>0,為0, v 滿足不等式 0 <p(p,po)vj 時(shí)的 p,有f(p)-a f(p)-b<s同吋成立，即冇/(»<,且/()凹，這是兩個(gè)自相 2 2pt%<£對(duì)與 矛盾的結(jié)論，從而證得只能有一個(gè)極限.這類命題往往也可用統(tǒng)一法進(jìn)行證明，但用反證法證明則顯得更加清楚，而 且使用范圍也更加廣泛.3.4當(dāng)結(jié)論涉及到量詞“對(duì)所有的”時(shí),運(yùn)用反證法可以變無限為有限或變 有限為無限，從而容易探求到一條證明結(jié)論成立的有效途徑.這種類型的問題在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常遇到，具體的運(yùn)用反證法對(duì)證明函數(shù)具冇 下述性質(zhì)具有一定幫助.3. 4. 1證

14、明函數(shù)在某集合內(nèi)恒為定值.例5設(shè)/滿足/ j) +廣g(x)-/(朗=0,其中g(shù)(兀)為任意函數(shù),證明:若 f(xo) = f(xl) = o(x() <x),則/在lx。,兀上恒等于 0.證明假設(shè)存在一點(diǎn)5w(x°,xj，使得f(5)h0,不妨設(shè)/(岳)0,則/必 在"),"的某一內(nèi)點(diǎn)g處取得最大值(同時(shí)也是極大值)，/()>0，因此 有f z()=0,從而由題設(shè)條件廠(§)*©> 0，于是/為嚴(yán)格極小值，這與7)為極大值孑盾，則得證.例6設(shè)/在(0,對(duì)上滿足函數(shù)方程f(2x) = /(x),并lilim/(q = a，證x

15、->co明 /(x)= af xg(0,oo)證明假設(shè)存在x0e(0,oo),使得f(x() = ba，則由己知的函數(shù)方程推得:fi = /uo)= /(2xo) = /(22xo) = - = /(2nxo)a n = l,2，另一方 面由于lim/(x) = a，則對(duì)于 =a-b>q9 x>0,當(dāng) x>x 吋，有 /(x)-a<0,x->00取足夠大的3可設(shè)2”兀°>x,此時(shí)應(yīng)滿足f(2x)-a<eq=a-b ,導(dǎo)致出現(xiàn) 矛盾的關(guān)系式b - a<a- b,于是證明了 f(x) = a , xg(0,oo)3.4.2證明函數(shù)在其

16、集合內(nèi)有界例 7 設(shè) f(x) e c0,lf(x)dx = 0, xf(x)dx = 0 ,貝>j 3x0 e 0,1,使|/(x0)| >4證明 假設(shè) |/(x0)|< 4 即 vxgfojl 有 |/(x()|v4, vr g (0,1), 1= (x - r) f(x)dx = xf(x)dx _ f f(x)clx 5 卜 _ tf(x)dx v 4 f 卜一 tjx = 4 j (r - x) + |(x- t)dx- 2(2r2 2r +1)令 ©(t) = 2t2 2t + 1,則0(t) = 4t 2,穩(wěn)定點(diǎn)t = *,又©”(t) =

17、40, "ith代入(1惰1<2冷=1,矛盾,環(huán)。)丘|0,1使|f(x°)»4 /.axg0,ljt|/(xo)|>4例8設(shè)函數(shù)于在%上連續(xù)，則/在a,b上有界證明 假若于在a,b上沒有上界，則v，必有xnea,hf使得fg>n , 依次取斤=1.2.，便得一列含于a,b的數(shù)列占,因而它含有一個(gè)收斂了列 xnk,設(shè)limxnk= 貝ljgwa",則/在a,b上連續(xù),可知lim f(xlik) = f© <+oo ,而由 £ 的選取方法有 f (xnk) > nk >k +co伙 too),從 而產(chǎn)

18、生矛盾，于是證得/在q,b上有界類似可證有下界，故的/在q,b上有 界.3.4.3證明函數(shù)的單調(diào)性例9設(shè)函數(shù)/在a,b上連續(xù)，對(duì)a,b上任意兩個(gè)有理數(shù)rhr2(r <r2), w/(n)</(r2),則于在a,b上為遞增函數(shù).證明 假設(shè)存在x19x2 ga,b,xj <x2 ,但/(xl)> f(x2)(即若于(兀)不是單 調(diào)遞增函數(shù))，由于/的連續(xù)性，對(duì)于數(shù)2心)；心),心)(兀2),必 定存在 使得 f(x)>c,xelxl,x1 + ),/(%) <c,xe(x2- 8,x2 j,因?yàn)閮永?數(shù)具冇稠密性，故必存在有理數(shù)f e 兀1，坷+ »)

19、與廠2 w (兀2 - 5,兀2 m <廣2)，ji f(x1)>c> /(x2),這與假設(shè)f(rj)<f(r2)相矛盾,所以于在a,b±為遞增函 數(shù)(冃必為嚴(yán)格地增)3.4.4證明極限為某一數(shù)值例10設(shè)函數(shù)/在10,+oo)上遞增，對(duì)任何t>(),在0,門上可積，冃l(wèi)im t f (t)dt = c(c為常數(shù))證明：lim f(x) = cx>co 兀 j)xt+8'證明假若不然，設(shè)lim /hc,貝ij存在 勺>0,也，都冇£>斤，使得 jtt+oo/(xj-c|>0，設(shè)對(duì)某一個(gè)自然數(shù) n,有*/()-(?、

20、£(),即 f(xn) > c + s(, 由于/(兀)是遞增的，所以當(dāng)兀心時(shí)，便有-fwt = -p .f(m + - > - f+ 2 + 恥"g)xxx n兀由此知:lim f(t)dt>cx-»oc 兀 j) + 打(m5c £：+ £o ,此與題設(shè)矛盾若上述f(x) <c-£q ,從而：(),亦與題設(shè)矛盾因此必有：lim f(x) = c .x->+8x例11函數(shù)子(x)在區(qū)間/上一致連續(xù)的充要條件是:vxj,xzig / ,當(dāng)lim(xw -兒)=0 時(shí),有l(wèi)im/(xzi)-/(k) = 0

21、 .n>00">8證明 必要性 因?yàn)?一致連續(xù)，故0£>0,羽>0,當(dāng)兒w/時(shí)，有?！?-兒 |<=>|/(xw)-/(兒)|vg 在已知 lim(x“ -兒)=0 時(shí)，對(duì)于0, 3n e 自“too然數(shù)，>n必有(百-兒)<5,因而|/(£)-/(兒)|"充分性設(shè)f(兀)在/上不一致連續(xù),則冇£°>0m>0,3xu，由 x - xn< s |/(x') - /(xz/)| > (),耳乂/ =丄o wn)由n?！?兒|<|/()-/(兒壯勺這顯然恵卜“-兒1 = 0時(shí)，有 lim|/(xj- f(yn) = 0矛盾,所以/(%)在i上必然一致連續(xù).htooi13. 4. 5證明函數(shù)一致連以及函數(shù)列或函