2016屆高三數(shù)學(xué)北師大版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測(cè)：第9章 第6節(jié)拋物線

1、.第九章第六節(jié)一、選擇題1若點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案D解析把直線x1向左平移一個(gè)單位，兩個(gè)距離就相等了，符合拋物線的定義2已知拋物線x2ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2x22的焦點(diǎn)，則a()A1B4C8D16答案C解析根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，雙曲線的焦點(diǎn)為(0,2)，依題意則有2，解得a8.3拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()Ax24yBx24yCy212xDx2±12y答案D解析由題意得c3，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0，3)該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2、為x212y或x212y.4(文)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為()A18B24C36D48答案C解析本題考查拋物線的相關(guān)概念、焦點(diǎn)弦、通徑等設(shè)拋物線為y22px，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線x，由|AB|2p12，知p6，所以F到準(zhǔn)線距離為6，所以三角形面積為S×12×636.(理)設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()Ay2±4xBy2±8xCy24xDy28x答案B解析本小題考查拋物線的有關(guān)

3、概念以及直線與拋物線關(guān)系由已知得拋物線焦點(diǎn)為F，AF所在直線方程為y2.A，SOAF×·4，a264，a±8，拋物線的方程為y2±8x.5(2014·遼寧高考)已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()AB1CD答案C解析考查了直線與拋物線的有關(guān)知識(shí)把A(2,3)代入y22px的準(zhǔn)線方程，得p4.F為(2,0)kAF.正確求出焦點(diǎn)F是關(guān)鍵6設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y22px(p>0)上的兩點(diǎn)，并且滿足OAOB，則y1y2等于()A4p2B3p2C2p2Dp2答案A解析OAO

4、B，·0.x1x2y1y20.A、B都在拋物線上，代入得·y1y20，解得y1y24p2.二、填空題7(文)(2013·北京高考)若拋物線y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p_，準(zhǔn)線方程為_答案2x1解析本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程. 由1知p2，則準(zhǔn)線方程為x1.(理)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，且拋物線上的點(diǎn)P(k，2)到點(diǎn)F的距離為4，則k的值為_答案4或4解析由題意可設(shè)拋物線的方程為x22py(p>0)，則24，p4，k22×4(2)，k4或4.8下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，水位下降1m后

5、，水面寬_m.答案2解析本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與數(shù)學(xué)建模能力如圖建立直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py，代入P(2，2)得2p2，x22y，當(dāng)y3時(shí)，x26，x±，則此時(shí)水面寬為2m.9已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為_答案y24x解析設(shè)拋物線的方程為y2ax(a0)，由方程組得交點(diǎn)A(0,0)，B(a，a)，而點(diǎn)P(2,2)是AB的中點(diǎn)，從而有a4，故所求拋物線的方程為y24x.三、解答題10(2014·江西高考)如圖，已知拋物線C：x24y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交

6、于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)與直線y2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值解析(1)直線AB過(guò)定點(diǎn)M(0,2)由分析知直線AB斜率一定存在可設(shè)直線AB的方程為ykx2，由，得x24(kx2)，即x24kx80.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28.又直線AO的方程為yx，BD的方程為xx2.解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為又x1x28，x4y1.y2.點(diǎn)D在定直線y2(x0)上(2)由題意分析可知，切線l的斜率存在且不為0，設(shè)切

7、線l的方程為yaxb(a0)代入x24y并化簡(jiǎn)得x24ax4b0.l為切線，(4a)216b0，化簡(jiǎn)得ba2.切線方程為yaxa2.分別令y2，y2得N1、N2點(diǎn)的坐標(biāo)為N1(a,2)，N2(a，2)，則|MN2|2|MN1|2(a)242(a)28|MN2|2|MN1|2為定值8.一、選擇題1設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|()A4B8C8D16答案B解析如圖，kAF，AFO60°，|BF|4，|AB|4，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，(4)28x，x6，|PA|8|PF|，故選B2(文)已知點(diǎn)M是拋物線y22px(p

8、>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若以|MF|為直徑作圓，則這個(gè)圓與y軸的關(guān)系是()A相交B相切C相離D以上三種情形都有可能答案B解析如圖，由MF的中點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線AE，交直線l于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)B；由點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線MD，垂足為D，交y軸于點(diǎn)C，則MDMF，ONOF，AB，這個(gè)圓與y軸相切(理)(2014·臺(tái)州模擬)已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P，過(guò)F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，有下列四個(gè)命題：PMN必為直角三角形；PMN不一定為直角三角形；直線PM必與拋物線相切；直線PM不一定與拋物線相切其中正確的命題是()ABCD答案A

9、解析因?yàn)閨PF|MF|NF|，故FPMFMP，F(xiàn)PNFNP，從而可知MPN90°，故正確，錯(cuò)誤；令直線PM的方程為yx，代入拋物線方程可得y22pyp20，0，所以直線PM與拋物線相切，故正確，錯(cuò)誤二、填空題3已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線上的一點(diǎn)，且滿足NFMN，則NMF_.答案解析過(guò)N作準(zhǔn)線的垂線，垂足是P，則有PNNF，PNMN，NMFMNP.又cosMNP，MNP，即NMF.4設(shè)P是拋物線yx2上的點(diǎn)，若P點(diǎn)到直線2xy40的距離最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案(1,1)解析解法1：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d|x2x04|(x

10、01)23|.由上式可知當(dāng)x01時(shí)，dmin.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)解法2：如圖，平移2xy40這條直線至過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切，則P點(diǎn)到直線的距離最短設(shè)P(x0，y0)，y2x.過(guò)P點(diǎn)的切線斜率ky|xx02x02.x01，y0x1，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)三、解答題5已知直線AB與拋物線y22px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，ODAB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，求拋物線的方程解析由題意得kOD，ABOD，kAB2，又直線AB過(guò)點(diǎn)D(2,1)，直線AB的方程為y2x5，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，·0，即x1x2y

11、1y20，由得4x2(2p20)x250，x1x2，x1x2，y1y2(2x15)(2x25)4x1x210(x1x2)25255p50255p，(5p)0，p，拋物線方程為y2x.6如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1y2的值及直線AB的斜率分析(1)設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求解(2)可考慮“點(diǎn)差法”表示直線AB的斜率解析(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y22px(p>0)點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，222p×1，解得p2.故所求拋物線的方程是y24x，準(zhǔn)線方程是x1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA(x11)，kPB(x21)，PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，kPAkPB由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得y4x1y4x2，y12(y22)y1y24.由得直線A