向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用

1、向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用基本知識(shí)：1. 向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；2. 向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；3. 實(shí)數(shù)與向量的積入a .向量共線的充要條件：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b= Xa。rrb-Is-rIs-fc-Is-4. 向量a和b的數(shù)量積：ab=| a|b|cos，其中為a和b的夾角。向量b在a上的投影：| b |cos ，其中為a和b的夾角a b =05.向量的坐標(biāo)表示：0A xi若向量a x, y，則 | a |1 P1 P2 |= , (x2 Xi)2(y 2、2yi)6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及重

2、要結(jié)論：-H-右a =(Xi,yi) , b =(X2,y2)a bXiX2, yiy2abXiX2,yiy axi, yia? bXi X2yi yte-r a/bX°2 X2%01?abxi x2 +yi y2=o cos =XiX2 y“2(為向量的夾角）/ 2 2 /22.Xiyi.X2y27點(diǎn)P分有向線段RP2所成的比的PiPPF2，或PiPPP2P內(nèi)分線段PP2 時(shí)，0;P外分線段Fi P2 時(shí)，0.右 P1 ( xi, yi)、,則P2 ( X2, y )，則 P1P2X2 Xi, y2 yi8.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:x1x2x1yiyy 11 ，中點(diǎn)坐標(biāo)公式:x-ix2x

3、2yiyy h9.三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例2）:10.圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形,將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長三角形重心公式：嚴(yán)1 X2X3 y1y2y3)( , 丿33度（即按向量a平移），得到圖形F',我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式:x' xhy' ykx x' h y y' k平移向量a= PP'= （h，k）應(yīng)用:1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直冋題例1已知向量0R,0F2,0R滿足條件OR0F2 0F30F2 OR31，求證：PR R是正三角形解：令0為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)R co

4、s 1 ,sin1 , F2 cos 2,sin 2 , F3 cos 3,sin由 OP OROP，即 cos 1,sin 1cos 2,sin 2cos 3 sin 3cos 1 cos 2 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 112的最小正角兩式平方和為1 2cos 121 1 , cos 12，由此可知2為1200，即OR與OP?的夾角為1200，同理可得OR與0F3的夾角為1200, OP2與0F3的夾角為1200，這說明R,P2,B三點(diǎn)均勻分部在一個(gè)單位圓上，所以PRR為等腰三角形例2 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩

5、直角邊為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) A 2a,0 , B 0,2a，則D a,0 ,C 0,a ,從而可求：AC2a, a , BDa, 2a ,cos -ACBD2a,a a, 2aACBD15a 15a4a24arccos4=5a25 .5 .2 .利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長度問題例3已知 ABC , AD為中線，求證AD2BC 2證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn),2以BC所在的直線為2D -,0，則2ADb21 22-AB2 AC22x軸建立如圖2直角坐標(biāo)系，設(shè)A a,b ,C c,0 ,2c4acb2，ABACb2ack（郵C2 1一 2 從而ADABAC223 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,

6、例4已知點(diǎn)O是AD2ABAC2設(shè) OA a,OB解：以O(shè)為原點(diǎn),由 OA=2 ,B 0,-1 , C 3,0OABC用已知向量表示未知向量ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，AOB 1500,b,OCc,且a2,bBOC900，1, c3,試用a,和b表示goc ,AOxOB所在的直線為1200X軸和y軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.A2cos1200,2si n120°1OB 2OC,即-1, 31 0,-1-13 223,0 - 3- 1,，即A -1, ,3 ，易求、3b lc.3如圖，|OA12OB 1,OA與OB的夾角為1200,OC與OA的夾角為5,用OA,OB表示OC.解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

7、OA所在的直線為X軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A 1,0 ,5J3 5 由 COA 300，所以 C5cos300,5sin30°，即C，-,2 2同理可求B1 >3OC 1OA2OB,即53 52 ，21 1021乜2，210 35 仝2 235.3 TOC 10oa 5oB.334 .利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直冋題例6 求證：三角形的三條高交于同一點(diǎn)分析如圖，已知 ABC中，由AD BC, BE AC，AD BE H ,要證明CH AB,利用向量法證明CH AB，只要證得CH AB 0即可；證明中，要充分利用好AHBC 0,bhCA0這兩個(gè)條件.證明：AD BC,H

8、在AD上,AHBC0而AH CH CA ,(CH CA) BC 0，即 CH BC CABC07又 BH AC,BH CHCB,BHAC0 即(CHCB) AC0CH AC CB AC 0-得：CH BC CHAC0 ,即CHBCAC0JDf從而 CH BA 0 , CHAB ,CH AB.5 .利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題，距離問題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離，點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離例7 求平面內(nèi)兩點(diǎn) A(xj, yj, B(x2, y2)間的距離公式分析已知點(diǎn)人(知力)，B(X2,y2)求代B兩點(diǎn)間的距離|AB|,這時(shí)，我們就可以構(gòu)造出向量 AB，那

9、么 AB (x2 x-! ,y2% ),而 | AB | | AB |,根據(jù)向量模的公式得|AB| (X2 X1)2 卜2 yj2，從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 為 | AB | . (X2 xj2 (y2 yj2 解：設(shè)點(diǎn) A%, yj, B(X2, y2), AB 區(qū) 花必 yj |AB| . (X2 X1)2 (y2 %)2 而 | AB| |AB| 點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為：|AB| . (X2 X1)2 (y2 yj26.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題例 8 證明：cos( ) cos cos sin sin分析如圖，在單位圓上任取兩點(diǎn)A, B，以O(shè)x為始邊，OA

10、,OB為終邊的角分別為 ，設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐 標(biāo)，即得到 OA,OB的坐標(biāo)，貝U為向量OA,OB的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證 證明：在單位圓 O上任取兩點(diǎn) 代B,以O(shè)x為始邊， 以O(shè)A,OB為終邊的角分別為，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(cos ,sin ), B點(diǎn)坐標(biāo)為(cos ,sin )；則向量 OA (cos ,sin ), OB (cos , sin )，它們的夾角為，2例9證明柯西不等式（X!2 2 y1 ) (X2y22) (X1X2 y2)2證明：令a （X1, yjb(X2, y2)（1）當(dāng)a 0或b0時(shí)，ab X1X2 y20，結(jié)論顯然成立;（2）當(dāng)a 0且b0時(shí)，令為a,b的夾角，貝y0,a bx2 y$2 |a |b | cos .又 |cos | 1|0A| |0B| 1, OA OB cos“、OA OBcos（）cos|OA|OB|注：用同樣的方法可證明 cos（7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式cossinsin，由向量夾角公式得cossinsin，從而得證)cos cossin sin最值問題a / b時(shí)等號(hào)成立）|a b | |a |b | (當(dāng)且僅當(dāng) |XiX2 yiy2 | . Xi2 yi2(x,2 y12) (X222y2 ) (X1X2y2）2.（當(dāng)且僅當(dāng)生時(shí)等號(hào)成立）y1y22例 10 求 y sin x2sin xc