偏微分方程實驗報告1-張偉-20122058

1、重 慶 大 學(xué)學(xué) 生 實 驗 報 告實驗課程名稱 偏微分方程數(shù)值解 開課實驗室 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 學(xué) 院 數(shù) 統(tǒng) 年級 2012 專業(yè)班 信計1班 學(xué) 生 姓 名 張 偉 學(xué) 號 20122058 開 課 時 間 2014 至 2015 學(xué)年第 2 學(xué)期總 成 績教師簽名數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院制開課學(xué)院、實驗室： 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 實驗時間 ： 2015年 5月6日實驗項目名 稱初值問題的Euler方法和梯形法實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導(dǎo)教師李茂軍成 績是一實驗?zāi)康耐ㄟ^該實驗，要求學(xué)生掌握求解初值問題的歐拉法和梯形法，并能通過計算機語言編程實現(xiàn)這兩種算法。二實驗內(nèi)容考慮如下的初值問題：該問題有解析解。1. 用

2、歐拉法求解該問題，取步長，將四種步長的計算結(jié)果（時刻的計算結(jié)果），解析結(jié)果和相應(yīng)的絕對誤差列表顯示。2. 用梯形法求解該問題，取步長，將四種步長的計算結(jié)果（時刻的計算結(jié)果），解析結(jié)果和相應(yīng)的絕對誤差列表顯示。3. 在同一種方法下，請說明哪種網(wǎng)格大小的計算結(jié)果更加精確，并說明理由。在相同的網(wǎng)格大小下，比較上述兩種算法的計算結(jié)果，那種算法的結(jié)果要好一些，并說明理由。要求：將程序放到實驗結(jié)果部分。將電子版的實驗報告發(fā)送到郵箱limj,郵件標(biāo)題為：偏微分方程實驗報告1-姓名-學(xué)號。紙質(zhì)版的實驗報告在下次上機實驗時提交。三實驗原理、方法（算法）、步驟1歐拉法的迭代格式及其誤差估計：，。2. 梯形法的迭代

3、格式及其誤差估計。，。 四實驗環(huán)境（所用軟件、硬件等）及實驗數(shù)據(jù)文件Matlab 或者Fortran1、用歐拉法求解該問題（MATLAB）主界面輸入主函數(shù)如下：x=0:0.2:1;%步長，可以取得更精確f=exp(x);plot(x,f,'g-*')box ongrid onhold ons,t=euler('fun1',0,1,1,5) %這里5=1/0.2plot(s,t,'r-o')xlabel('x')ylabel('y')title('精確解與歐拉法數(shù)值解')legend('exp

4、(x)','歐拉法數(shù)值解')disp(' 步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h)');disp( x' (exp(x)' t' abs(t-exp(x)')調(diào)用子程序一%歐拉方法求解常微分方程function x,y=euler(fun,x0,xfinal,y0,N)if nargin<5,N=50;%區(qū)間長度endh=(xfinal-x0)/N;%步長x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:N x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i);end調(diào)用

5、子程序二function f=fun1(x,y) %函數(shù)定義,可以據(jù)情況更改f=y;2、用梯形法求解該問題主界面輸入主函數(shù)如下：x=0:0.2:1;%步長f=exp(x);plot(x,f,'g-*')box ongrid onhold ons,t=tixingfa('fun1',0,1,1,5)plot(s,t,'r-o')xlabel('x')ylabel('y')title('精確解與梯形法數(shù)值解')legend('exp(x)','梯形法數(shù)值解')disp(&

6、#39; 步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h)');disp( x' (exp(x)' t' abs(t-exp(x)')調(diào)用子程序一(子程序二同上)%梯形法求解常微分方程function x,y=tixingfa(fun,x0,xfinal,y0,N)if nargin<5,N=50;%區(qū)間長度endh=(xfinal-x0)/N;%步長x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:N x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1)

7、; y(i+1)=(y1+y2)/2;end五實驗結(jié)果及實例分析1、用歐拉法求解該問題當(dāng)h=0.2時，運行結(jié)果： 步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.2000 1.2214 1.2000 0.0214 0.4000 1.4918 1.4400 0.0518 0.6000 1.8221 1.7280 0.0941 0.8000 2.2255 2.0736 0.1519 1.0000 2.7183 2.4883 0.2300當(dāng)h=0.1時，運行結(jié)果：步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.1000 1.

8、1052 1.1000 0.0052 0.2000 1.2214 1.2100 0.0114 0.3000 1.3499 1.3310 0.0189 0.4000 1.4918 1.4641 0.0277 0.5000 1.6487 1.6105 0.0382 0.6000 1.8221 1.7716 0.0506 0.7000 2.0138 1.9487 0.0650 0.8000 2.2255 2.1436 0.0820 0.9000 2.4596 2.3579 0.1017 1.0000 2.7183 2.5937 0.1245 圖1 h=0.05時精確解與歐拉法數(shù)值解的圖像當(dāng)h=0.0

9、5時，運行結(jié)果：（圖1見上）步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.0500 1.0513 1.0500 0.0013 0.1000 1.1052 1.1025 0.0027 0.1500 1.1618 1.1576 0.0042 0.2000 1.2214 1.2155 0.0059 0.2500 1.2840 1.2763 0.0077 0.3000 1.3499 1.3401 0.0098 0.3500 1.4191 1.4071 0.0120 0.4000 1.4918 1.4775 0.0144 0.4500 1.5683 1.5513

10、0.0170 0.5000 1.6487 1.6289 0.0198 0.5500 1.7333 1.7103 0.0229 0.6000 1.8221 1.7959 0.0263 0.6500 1.9155 1.8856 0.0299 0.7000 2.0138 1.9799 0.0338 0.7500 2.1170 2.0789 0.0381 0.8000 2.2255 2.1829 0.0427 0.8500 2.3396 2.2920 0.0476 0.9000 2.4596 2.4066 0.0530 0.9500 2.5857 2.5270 0.0588 1.0000 2.7183

11、 2.6533 0.06502、用梯形法求解該問題當(dāng)h=0.2時，運行結(jié)果：步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.2000 1.2214 1.2200 0.0014 0.4000 1.4918 1.4884 0.0034 0.6000 1.8221 1.8158 0.0063 0.8000 2.2255 2.2153 0.0102 1.0000 2.7183 2.7027 0.0156當(dāng)h=0.1時，運行結(jié)果：步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.1000 1.1052 1.1050 0.0002

12、0.2000 1.2214 1.2210 0.0004 0.3000 1.3499 1.3492 0.0006 0.4000 1.4918 1.4909 0.0009 0.5000 1.6487 1.6474 0.0013 0.6000 1.8221 1.8204 0.0017 0.7000 2.0138 2.0116 0.0022 0.8000 2.2255 2.2228 0.0028 0.9000 2.4596 2.4562 0.0034 1.0000 2.7183 2.7141 0.0042當(dāng)h=0.05時，運行結(jié)果：（見下圖2）步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計O(h) 0 1.00

13、00 1.0000 0 0.0500 1.0513 1.0513 0.0000 0.1000 1.1052 1.1051 0.0000 0.1500 1.1618 1.1618 0.0001 0.2000 1.2214 1.2213 0.0001 0.2500 1.2840 1.2839 0.0001 0.3000 1.3499 1.3497 0.0002 0.3500 1.4191 1.4189 0.0002 0.4000 1.4918 1.4916 0.0002 0.4500 1.5683 1.5680 0.0003 0.5000 1.6487 1.6484 0.0003 0.5500 1

14、.7333 1.7329 0.0004 0.6000 1.8221 1.8217 0.0004 0.6500 1.9155 1.9150 0.0005 0.7000 2.0138 2.0132 0.0006 0.7500 2.1170 2.1164 0.0006 0.8000 2.2255 2.2248 0.0007 0.8500 2.3396 2.3388 0.0008 0.9000 2.4596 2.4587 0.0009 0.9500 2.5857 2.5847 0.0010 1.0000 2.7183 2.7172 0.0011圖1 h=0.05時精確解與梯形法數(shù)值解的圖像3、歐拉法與

15、梯形法的比較不妨以h=0.025作為依據(jù)，實驗結(jié)果見下表1：表1 h=0.025歐拉法與梯形法的比較步長精確解歐拉數(shù)值解歐拉絕對誤差梯形數(shù)值解梯形絕對誤差0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0250 1.0253 1.0250 0.0003 1.0253 0.0000 0.0500 1.0513 1.0506 0.0006 1.0513 0.0000 0.0750 1.0779 1.0769 0.0010 1.0779 0.0000 0.1000 1.1052 1.1038 0.0014 1.1052 0.0000 0.1250 1.1331

16、 1.1314 0.0017 1.1331 0.0000 0.1500 1.1618 1.1597 0.0021 1.1618 0.0000 0.1750 1.1912 1.1887 0.0026 1.1912 0.0000 0.2000 1.2214 1.2184 0.0030 1.2214 0.0000 0.2250 1.2523 1.2489 0.0035 1.2523 0.0000 0.2500 1.2840 1.2801 0.0039 1.2840 0.0000 0.2750 1.3165 1.3121 0.0044 1.3165 0.0000 0.3000 1.3499 1.344

17、9 0.0050 1.3498 0.0000 0.3250 1.3840 1.3785 0.0055 1.3840 0.0000 0.3500 1.4191 1.4130 0.0061 1.4190 0.0001 0.3750 1.4550 1.4483 0.0067 1.4549 0.0001 0.4000 1.4918 1.4845 0.0073 1.4918 0.0001 0.4250 1.5296 1.5216 0.0080 1.5295 0.0001 0.4500 1.5683 1.5597 0.0087 1.5682 0.0001 0.4750 1.6080 1.5987 0.00

18、94 1.6079 0.0001 0.5000 1.6487 1.6386 0.0101 1.6486 0.0001 0.5250 1.6905 1.6796 0.0109 1.6904 0.0001 0.5500 1.7333 1.7216 0.0117 1.7332 0.0001 0.5750 1.7771 1.7646 0.0125 1.7770 0.0001 0.6000 1.8221 1.8087 0.0134 1.8220 0.0001 0.6250 1.8682 1.8539 0.0143 1.8681 0.0001 0.6500 1.9155 1.9003 0.0152 1.9154 0.0001 0.6750 1.9640 1.9478 0.0162 1.9639 0.000