第四節(jié)二重積分的應(yīng)用

1、第三節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力五、物體的引力 重積分的應(yīng)用 2021-11-162021-11-161. 能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性 從積分定義出發(fā)從積分定義出發(fā) 建立積分式建立積分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界閉域上的整體量分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn)解題要點(diǎn) 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便定

2、出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2. 用重積分解決問題的方法用重積分解決問題的方法 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為( , )d dDVf x yx y,),(Dyx1:221yxzS任一點(diǎn)的切平面與曲面任一點(diǎn)的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積所圍立體的體積 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程為的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面它與曲面22yxz的交線在的交線在 xoy 面上的投影為面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12200

3、()()xxyy00cos,sinxxryyr令2(記所圍域?yàn)橛浰鶉驗(yàn)镈 ),(000zyx在點(diǎn)在點(diǎn)Drrrdd2例例1. 求曲面求曲面rr dd10320MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)可看成曲面上各點(diǎn)),(zyxM處小切平面的面積處小切平面的面積 d A 無限積累而成無限積累而成. 設(shè)它在設(shè)它在 D 上的投影為上的投影為 d ,dcosd A22(0,0,1) (, 1)cos1( , )( , )xyxyfffx yfx yd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素稱

4、為面積元素)則則Mnd故有曲面面積公式故有曲面面積公式221( , )( , ) dxyDAfx yfx y221 ()()d dDzzAxyxy若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有則有zyD即即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則則有則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且且yxdd例例2. 設(shè)半徑為設(shè)半徑為 r的球，其球心在半徑為的球，其球心

5、在半徑為a 的定球面上的定球面上.求求r的值，的值，使得半徑為使得半徑為 r的球的位于定球內(nèi)部的部分的面積最大。的球的位于定球內(nèi)部的部分的面積最大。解解:兩球的交線為兩球的交線為建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系.42222221 ()()d drxyrazzAxyxy2222+xyza2222+xyzar222zarxy2222222=2arxyaa422rra42222222d drxyrarrAyxxy222zarxy222222,xyxyzzrxyrxy42222200ddrrarr322rra234rrAra 43ra4()30rAa43ra三、平面薄板的質(zhì)量、質(zhì)心與形心三、平面薄板的質(zhì)量、質(zhì)心與

6、形心設(shè)平面有設(shè)平面有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn),(,),kkxy其質(zhì)量分別其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyy設(shè)設(shè)平面薄板平面薄板占有區(qū)域占有區(qū)域 D ,( , ),x y有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)分別位于分別位于為為為為將將 D 分成分成 n 小塊小塊,(,),kk 將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如例如,11(,)(,)nkkkkknkkkkx 令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0DDD( , )d d( , )d d=m( , )d dx yxyx yxyxx

7、 yxxxy系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo)系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn),即得即得此質(zhì)點(diǎn)此質(zhì)點(diǎn)在第在第 k 塊上任取一點(diǎn)塊上任取一點(diǎn)(,),kk 同理可得( , )Kx y則得形心坐標(biāo)則得形心坐標(biāo)：()d dDS DxyDD( , )d dy( , )d dx yxyx yxyyDd dy()DyxySDd dx()DxxyS2 2、形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)DyxxAxdd1DyxyAydd1 當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐?guī)則圖形（面積與形心坐標(biāo)很容易得當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐?guī)則圖形（面積與形心坐標(biāo)很容易得到）時(shí)，可用到）時(shí)，可用面積與形心坐標(biāo)表示二重積分。即面積與形心坐標(biāo)表示二重積分。即ybAxaAdy

8、bxdadbyaxDDD)(注：重積分計(jì)算的注：重積分計(jì)算的基本技巧基本技巧 1 1、利用對(duì)稱性、利用對(duì)稱性 4例例3. 求位于兩圓求位于兩圓sin2rsin4r和和的質(zhì)心的質(zhì)心. 2D解解: 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知0 x而而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片之間均勻薄片0dsin3143212oyxC例例4. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)35(Dyxyx其中其中D 是由曲是由曲044222yxyx所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為其形心坐標(biāo)為:面

9、積為面積為:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3積分區(qū)域積分區(qū)域線線形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量位于位于(x , y) 處的處的微元微元 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 平面薄片平面薄片,面面密度為密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( xDyo2y2xDyyxyxIdd),( 2( , )xdIyx y d2Imdrraddsin0302例例7.求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量221aM 2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例例9.設(shè)一設(shè)一薄片由曲線薄片由曲線密度為密度為2,1,0yxxyxyx圍成，其面圍成，其面求該薄板對(duì)求該薄板對(duì)軸，