高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法

1、高中解析幾何復(fù)習(xí)資料高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法本章節(jié)處理方法建議：縱觀 20XX 年全國各省市 18 套文、理高考試卷，普遍有一個(gè)規(guī)律：占解幾分值接近一半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學(xué)生能將對應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占解幾分值一半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量等知識，形成了軌跡、最值、對稱、范圍、參系數(shù)等多種問題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合能力要求最高的內(nèi)容之一（2）解析幾何的計(jì)算量相對偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大題的前三道成了兵家必爭之地，而排放位

2、置比較尷尬的第21 題或 22 題（有時(shí) 20 題）就成了很多人遺忘的角落，加之時(shí)間的限制，此題留白的現(xiàn)象比較普遍。鑒于解幾的特點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個(gè)方面1由于高考中解幾內(nèi)容彈性很大。有容易題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ)。不能因?yàn)楦呖贾械慕鈳捉獯痤}較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻下，將時(shí)間用在鞏固基礎(chǔ)、對付“跳一跳便可夠得到”的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時(shí)就能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對于大題的第一個(gè)小問爭取得分，第二小題能拿幾分算幾分。三、高考核心考點(diǎn)1、準(zhǔn)確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）2、熟練掌握基本公

3、式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等）3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0 等等）4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡單應(yīng)用6、熟悉圓錐曲線中基本量的計(jì)算7、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）8、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題四、常規(guī)題型及解題的技巧方法A:常規(guī)題型方面（ 1）中點(diǎn)弦問

4、題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。典型例題給定雙曲線 x2y21 。過 A （ 2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1 及 P2 ，求線段 P1 P2 的中點(diǎn) P2的軌跡方程。分析：設(shè) P1 (x1 , y1 ) ， P2 ( x2, y2 ) 代入方程得 x12 y121， x22y221 。22編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料兩式相減得( x1x2 )( x1 x2 )1 ( y1y2 )( y1y2 )0。2又設(shè)中點(diǎn) P（ x,y ），將

5、x1x22 x， y1y2 2y 代入，當(dāng) x1x2 時(shí)得2x2 yy1y20 。·x1x22又 ky1y2y1，x1x2x2代入得 2 x 2y 24xy0 。當(dāng)弦 P1 P2 斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P（ 2， 0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是2x2y24xy0說明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。（ 2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1 、 F2 構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題x2y 21上任一點(diǎn)， F1 (c,0) ， F2 (c,0)為焦點(diǎn)，PF1 F2， PF2 F1。設(shè) P(x,y) 為橢圓b 2a 2

6、（1）求證離心率 esin()；sinsin（2）求 |PF1|3PF2 |3 的最值。分析：（ 1）設(shè) | PF1 |r1 ， |PF2r2 ，由正弦定理得r1r22c。sinsinsin()得r1 r22c，sinsin(sin)cs i n ()es i ns i na（ 2） ( aex) 3(aex)32a 36ae2 x 2。當(dāng) x 0 時(shí)，最小值是 2a 3；當(dāng) xa 時(shí)，最大值是 2a 3 6e2 a 3 。編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料（ 3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合

7、的辦法典型例題拋物線方程 y 2p(x1) ( p0)，直線 xyt與 x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（ 2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A 、 B，且 OA OB，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t) 的表達(dá)式。（ 1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為1： x1p4由直線 x+y=t與 x 軸的交點(diǎn)（ t， 0）在準(zhǔn)線右邊，得t1p，而 4t p 4 04xyt消去 y得 x2(2 tp) x ( t 2p) 0由2p (xy1)(2tp)22p) p(4tp 4) 04(t故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。（ 2）解：設(shè)點(diǎn) A(x 1，y1)，點(diǎn) B(x 2， y2)x1x

8、 22t p， x1 x2t 2pOAOB ，k OAk OB1則 x1 x2y1 y 20又 y1 y2(t x 1 )( tx2 )x1x 2y1 y2t 2( t 2)p 0t 2pf ( t)t2又p0， 4tp40得函數(shù) f (t )的定義域是( 2， 0)(0，)（ 4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1> 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2> 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)， 均值不等式）求最值。典型例題已知拋物線

9、y2=2px(p>0) ，過 M （ a,0）且斜率為1 的直線（ 1）求 a 的取值范圍；（2）若線段AB 的垂直平分線交xL 與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A 、 B ， |AB| 2p軸于點(diǎn) N ，求 NAB 面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式，通過解不等式求出a編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料的范圍，即： “ 求范圍，找不等式”?；蛘邔?a 表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對于（2）首先要把 NAB 的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問題，函數(shù)思想”。解： (1) 直

10、線L 的方程為：y=x-a, 將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px, 得：設(shè)直線L 與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A4(ap)4a 20（ x1,y1 ） ,B(x 2,y2)，則 x1x22(ap)x1 x2a2,又 y1=x 1-a,y2=x 2-a,|AB|( x1x2 ) 2( y1y 2 ) 22( x1x2 ) 24x1 x2 8 p( p 2a)0|AB|2 p,8 p( p2a)0,08 p( p2a)2 p,解得 :pap .24(2)設(shè) AB 的垂直平分線交AB 與點(diǎn) Q，令其坐標(biāo)為（ x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x3x1x2ap ,y3y1y2(x1a) (x2 a

11、)22p.2所 以 |QM|2222又MNQ為等腰直角三 角 形 ， 所 以 |QM|=|QN|=2P，所以 S=(a+p-a) +(p-0) =2p .NAB =1|AB|QN |2 p | AB |2 p 2p2 p 2,即 NAB 面積的最大值為2P 2。222（ 5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知 - 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 L 過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上。若點(diǎn) A（ -1， 0）和點(diǎn) B（ 0， 8）關(guān)于 L 的對稱點(diǎn)都在 C 上，求直線 L 和拋物線 C 的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L ： y

12、=kx(k 0),C:y 2=2px(p>0)設(shè) A 、 B 關(guān)于 L 的對稱點(diǎn)分別為A /、 B/，則利用對稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：A / （ k 21,2k）， B（16k , 8(k 21) ）。因?yàn)锳 、 B 均在拋物線上，代入，消去p，得： k2-k-1=0. 解得：k 21 k 21k 21 k 211525k=2,p=.5所以直線 L 的方程為： y= 15x,拋物線 C 的方程為 y2=4 5x.25編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料2曲線的形狀未知- 求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（ 2，0）和圓22到圓 C 的切線長與 |MQ|C：x +y =1,

13、動點(diǎn) M的比等于常數(shù)（ >0） ,求動點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。M分析：如圖，設(shè) MN 切圓 C 于點(diǎn)N，則動點(diǎn) M 組成的集合是： P=M|MN|=|MQ| ，N由平面幾何知識可知：|MN| 2=|MO| 2-|ON| 2=|MO| 2-1 ，將 M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x 2+y2 )-42x+(1+42)=0.OQ當(dāng)=1 時(shí)它表示一條直線；當(dāng) 1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。（ 6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判

14、別式來解決）典型例題已知橢圓 C 的方程 x2y21 ，試確定 m 的取值范圍，使得對于直線 y4x m ，橢圓 C 上有不同兩43點(diǎn)關(guān)于直線對稱。分析：橢圓上兩點(diǎn)( x1 , y1 ) ， (x2 , y2 ) ，代入方程，相減得 3(x1x2 )( x1 x2 )4( y1 y2 ) ( y1y2 ) 0 。又 xx1x2y1 y2， ky1y21，代入得y3x 。2， yx1x242又由y3x解得交點(diǎn) (m, 3m)。y4xm( m) 2( 3m) 21 ，得2 13213交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有3m。41313（ 7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1 ·k2y1

15、·y21 來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。x1 ·x2典型例題已 知 直 線 l 的 斜 率 為 k ， 且 過 點(diǎn)yP( 2,0) ，拋物線 C: y 2( x)l與拋物線 C 有兩個(gè)不同的B交點(diǎn)（如圖）。41，直線（1）求 k的取值范圍；AP（ 2）直線 l的傾斜角為何值時(shí)， A 、 B 與拋物線C 的焦點(diǎn)連線互(-2,0)Ox編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料相垂直。分析：（ 1）直線 yk ( x 2) 代入拋物線方程得k2 x 2(4k 24) x 4k 24 0 ，由0，得 1k1( k0) 。（2）由上面方程得x1 x24k 24 ，k 2y1 y2k 2

16、 ( x1 2)( x22)4 ，焦點(diǎn)為 O(0,0)。由 kOA ·kOBy1 y2k 212，arctan22x1 x2k 21，得 k或arctan222B:解題的技巧方面在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：（ 1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線 3x4 ym0 與圓 x2y 2x2 y0相交于 P、Q

17、兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 若 OPOQ ，求m的值。解：圓 x 2y 2x2 y0 過原點(diǎn)，并且 OPOQ ，PQ 是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為M (1 ，1)2又 M (1 ， 1) 在直線 3x4 ym 0上，23 (1 )4 1m0，m5即為所求。22評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且OPOQ ，PQ 是圓的直徑，圓心在直線 3x 4 ym 0上，而是設(shè)P( x1，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 再由 OPOQ 和韋達(dá)定理求m ，將會增大運(yùn)算量。評注：此題若不能挖掘利用幾何條件計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。OMP90 ，點(diǎn) M 是在以 OP 為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程

18、等方法，二 . 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓與直線yx1相交于 P、Q 兩點(diǎn)，且 OPOQ ，|PQ|10 ，2編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料求此橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為ax 2by 21( ab0) ，直線 yx 1與橢圓相交于P( x1，y1 ) 、 Q( x2 ，y2 ) 兩點(diǎn)。由方程組yx1消去 y 后得ax 2by 21(a b) x22bxb10x1x22b ， x1 x2b 1abab由 k OP kOQ1，得 y1

19、y2x1x2（ 1）又 P、 Q 在直線 yx1上，y1x11，(2)y2x21，(3)y1 y2( x11)( x21)x1 x2( x1x2 ) 1把（ 1）代入，得2x1x2( x1x2 )10，即 2(b1)2b10abab化簡后，得a b2（ 4）由|PQ|10 ，得 ( x1x2 ) 2( y1y2 )2522( x1x2 ) 25 ，( x1x2 ) 24x1 x25 ，44( 2b) 24(b1)5a bab4把（ 2）代入，得 4b28b30 ，解得 b1 或 b33 或 a122代入（ 4）后，解得 a22由 a b0 ，得 a3 ， b1 。22所求橢圓方程為3x2y 2122評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計(jì)算。三 . 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。編者 :徐明通電話高中解析幾何復(fù)習(xí)資料典型例題求經(jīng)過兩已知圓C1 ：x2y 24x 2 y 0 和 C2 ：x 2y22 y 4 0 的交點(diǎn)，且圓心在直線l ：2 x4 y10 上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：x2y24 x 2 y( x 2y22 y 4) 0即 (1) x2(1) y 24 x2(1 ) y 40 ，其圓心為 C（2，1 ）11又 C 在直線 l 上， 22411 0，