高中數(shù)學(xué)典型例題解析第四章數(shù)列學(xué)案

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第四章數(shù)列§ 4.1等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.2. 項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2 項(xiàng)，第n項(xiàng)， .3. 通項(xiàng)公式：一般地，如果數(shù)列 an的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 .4. 有窮數(shù)列 : 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列 .5. 無窮數(shù)列 : 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列6. 數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式. 遞推公式

2、是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出a1,a 2, 然后用遞推關(guān)系逐一寫出數(shù)列中的項(xiàng).7. 等差數(shù)列 : 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示8. 等差中項(xiàng) : 如果，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么ab 我們把 a b 叫做和的等差中項(xiàng)22二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1. 數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：（ 1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（ 2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；（3）數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集( 1， 2，3， n ) 的

3、函數(shù) .2. 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.nnn 之S1(n 1),1n則 an 不用分段形式3. 數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)的和 S與 a間的關(guān)系： an( n 2).若 a適合 a (n>2),Sn Sn 1表示，切不可不求a1 而直接求an.4. 從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是關(guān)于 n 的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（ n, an ）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列 .5、對(duì)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n 項(xiàng)之和公式可

4、變形為 Snd n2(a1d )n ，若令 A22d1d22， B a 2，則 Sn An +Bn.6、在解決等差數(shù)列問題時(shí)，如已知，a1 ，an， d， Sn ， n 中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 已知數(shù)列 1， 4， 7，10， 3n+7, 其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大 3. （ 1）指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 2）指出 1+4+ +（ 3n 5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和 . 例 2已知數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)之和為Sn2n2nSnn 2n1求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載例 3已知等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)之和記為 Sn，S10=10 ， S30=70，則 S40 等

5、于。 例 4 等差數(shù)列an 、 bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn、Tn. 若 Sn7n1(nN ), 求 a7 ；Tn4n27b7 例 5 已知一個(gè)等差數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an=25 5n，求數(shù)列| an | 的前 n 項(xiàng)和； 例 6 已知一個(gè)等差數(shù)列的前10 項(xiàng)的和是310，前 20 項(xiàng)的和是1220 ，由此可以確定求其前n 項(xiàng)和的公式嗎？ 例 7 已知： an1024 lg 21 n （ lg 20.3010 ） n N（ 1） 問前多少項(xiàng)之和為最大？（2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？例 8項(xiàng)數(shù)是2n 的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為an 和an 1 是方程x 2px q 0 的兩根，求證此數(shù)列的和S2n

6、是方程lg 2 x(lg n2lg p 2 ) lg x (lg n lg p)20 的根。 （ S2 n0 ）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知 a13且anSn 12n ，求 an 及 Sn 。2設(shè) an122334n(n1) ，求證： n(n 1)an( n1) 2。223. 求和:111112123123n4. 求和：(1002992 )(982972)(4 232 )( 2212 )5. 已知 a,b, c 依次成等差數(shù)列，求證：a2bc b2ac c2ab 依次成等差數(shù)列 .,6. 在等差數(shù)列an中，a5a1340 ，則 a8a9a10（）。A 72B 60C 48D 36

7、7. 已知 an是等差數(shù)列，且滿足amn, anm( mn) ，則 amn 等于 _。8. 已知數(shù)列12成等差數(shù)列，且a311 , a513，求 a8的值。an67§ 4.2等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.等比數(shù)列： 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù) 列就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示2.等比中項(xiàng)：若，成等比數(shù)列，則稱為 和 的等比中項(xiàng)n a1(q1)3. 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式： Sna1 (1q n )a1anq(q1)1q1q二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1. 由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故

8、每一項(xiàng)均不為0，因此 q 也不為 0.2. 對(duì)于公比 q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.3. “從第 2 項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2 項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第 4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說此數(shù)列從.第 2項(xiàng)或第 3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列 .4. 在已知等比數(shù)列的1和 q 的前提下，利用通項(xiàng)公式n1n-1, 可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng) .aa =a q5. 在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用nmn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng) .a =a q6. 等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an=a1qn-1

9、可改寫為 ana1q n . 當(dāng) q>0，且 q1 時(shí)，y=qx 是一個(gè)指數(shù)函數(shù)， 而 ya1 q xqq是一個(gè)不為 0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)ya1q x 的圖象上的一群孤立的點(diǎn) .q7在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知，a1 ，an， d， Sn ， n 中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例 1已知數(shù)列annn（a 0, q 1, q為非零常數(shù)），則an為（）。的前 n 項(xiàng)之和 S =aqA. 等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C. 既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列D. 既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 例 2已知等比數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和記為 Sn，

10、S10=10 ， S30=70，則 S40 等于 . 例323n求和： a+a +a + +a . 例 4 設(shè) a, b,c, d 均為非零實(shí)數(shù)， a 2b2 d 22b a c d b2c 20 ，求證： a, b, c 成等比數(shù)列且公比為d 。 例 5 在等比數(shù)列bn 中， b43 ，求該數(shù)列前7 項(xiàng)之積。 例 6 求數(shù)列 n1n 前 n 項(xiàng)和2 例 7 從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水 2kg 的容器中倒出1kg 鹽水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 鹽水，然后再加入 1kg 水，問： (1) 第 5 次倒出的的1kg 鹽水中含鹽多kg？優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載(2) 經(jīng) 6 次倒出后

11、，一共倒出多少 kg 鹽？此時(shí)加 1kg 水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：1) a1= 2, a3= 82) a1=5, 且 2an+1 = 3an3)a1=5,an 1n且ann 12.在等比數(shù)列an ，已知 a15 ， a9 a10100，求 a18 .012n 13.已知無窮數(shù)列 105 ,105 ,10 5 ,105,，求證：（ 1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的1 ，10（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。4.設(shè)數(shù)列 an 為 1,2x,3x 2 ,4x 3nx n 1x0 求此數(shù)列前 n 項(xiàng)的

12、和。5. 已知數(shù)列 an 中， a1= 2 且 an+1 =Sn，求 an , Sn6. 是否存在數(shù)列 an ，其前項(xiàng)和 Sn 組成的數(shù)列 Sn 也是等比數(shù)列，且公比相同？7. 在等比數(shù)列an 中， a1 a336, a2a460, Sn400 ，求 n 的范圍。§4.3數(shù)列的綜合應(yīng)用一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容. 解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2. 應(yīng)用題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢(shì)，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，所以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位

13、置，解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：（1）閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理；（2）建立變量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討論變量性質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求S 還是求nan. 一般情況下，增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用等比數(shù)列公式若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1 就是公比 q.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1. 首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的最大（或最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式an0an0解決；an或an10102.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n 項(xiàng)和公式，在用等比

14、數(shù)列前n 項(xiàng)和公式時(shí)，勿忘分類討論思想；3.等差數(shù)列中 , am=an+ (n m)d, daman ;等比數(shù)列中， an=amqn-m;qnmanmnam4.當(dāng) m+n=p+q（ m、n、 p、q N ）時(shí)，對(duì)等差數(shù)列an有： am+an=ap+aq；對(duì)等比數(shù)列 an有： aman=apaq；5.若 a 、b 是等差數(shù)列，則 ka +bb (k 、b 是非零常數(shù) ) 是等差數(shù)列；若 a 、 b 是等比數(shù)列，則ka 、nnnnnnna nbn 等也是等比數(shù)列；6.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如a +a +a ,a+a +a ,a7+a +a ）仍是等差（或等12345

15、689比）數(shù)列；7.對(duì)等差數(shù)列 an, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為 2n 時(shí)， S 偶 -S 奇 nd；項(xiàng)數(shù)為2n 1 時(shí)， S 奇 S 偶 a 中 （ n N ）；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載8. 若一階線性遞推數(shù)列 a =ka+b（ k 0,k 1） , 則總可以將其改寫變形成如下形式bk (an 1b: a n) (n nn 1k 1k12) ，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；三、經(jīng)典例題導(dǎo)講log 1Snlog 1Sn 2 例 1 設(shè) an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn 是其前 n 項(xiàng)和 . 證明：22 log 1Sn 1 。22 例 2一個(gè)球從（精確到 1 米）100 米高處自由落下， 每次著地后又跳回

16、至原高度的一半落下，當(dāng)它第10 次著地時(shí)，共經(jīng)過了多少米？ 例 3一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄a 元一年定期，若年利率為r 保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18 歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？例 4求數(shù)列1 1, 14 , 17 , 110 , 1(3n 2) ,的前 n 項(xiàng)和。aa 2a3an1例 5求數(shù)列6 ,6,6 ,6,前 n 項(xiàng)和1223 34n(n1) 例 6 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn( an 1) 2 (n N ) ，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和2 例 7 大樓共 n 層，現(xiàn)每層指定一人，共 n 人集中到設(shè)在第 k 層的臨時(shí)會(huì)議室開會(huì)，問 k 如何確定能使 n 位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。（假定相鄰兩層樓梯長相等）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載四、典型習(xí)題導(dǎo)練1在 1000， 2000內(nèi)能被3 整除且被4 除余 1 的整數(shù)有多少個(gè)？22某城市1991 年底人口為500 萬，人均住房面積為6 m，如果該城市每年人口平均增長率為22面積為 30 萬 m，求 2000 年底該城市人均住房面積為多少m？ ( 精確到 0.01)1%，每年平均新