高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本公式應(yīng)用

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本公式應(yīng)用高考要求導(dǎo)數(shù)是中學(xué)限選內(nèi)容中較為重要的知識， 本節(jié)內(nèi)容主要是在導(dǎo)數(shù)的定義， 常用求等公式四則運(yùn)算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等問題上對考生進(jìn)行訓(xùn)練與指導(dǎo)重難點(diǎn)歸納1 深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導(dǎo)數(shù)y 表示函數(shù)的平均改變量，它是x 的函數(shù)，而f (x0) 表示一個數(shù)值，即f x(x)= limy ，知道導(dǎo)數(shù)的等價形式x0xlimf ( x0x)f ( x0 )f ( x)f ( x0 )f ( x0 )xlimxxx0x x002 求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是順利求

2、導(dǎo)的關(guān)鍵3 對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用， 而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實施化簡時， 首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運(yùn)算失誤4復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣， 必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán)必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系典型題例示范講解例 1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y1 x( 2) y (axbsin 2x )3(3) y f ( x 21)(1x 2 ) cosx命題意圖本題 3 個小題分別考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法， 以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方

3、法這是導(dǎo)數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類型知識依托解答本題的閃光點(diǎn)是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件， 將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)錯解分析本題難點(diǎn)在求導(dǎo)過程中符號判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯技巧與方法先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)的式子特征，按照求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)(1)解 : y(1 x) (1x2 ) cos x(1 x)(1x2 ) cos x(1 x2 )2cos2x(1x2 )cos x(1x)(1 x2 ) cos x(1x2 )(cos x) (1 x2 ) 2 cos2 x(1x2 )cos x(1x)2 xcos x (1x2 )sinx(1x2 ) 2 cos2 x

4、(x22x1)cos x(1 x)(1 x2 )sinx(1x2 ) 2 cos2 x(2)解y= 3, =ax bsin2x, =av byv=x,y=sin= x322y =( ) =3 · =3 (av by)22=3 (av by )=3 (av by )22=3(ax bsin x) (ab sin2 x)(3)解法一設(shè) y=f( ),=v ,v=x2+1,則y x=y v·v x=f1· 2x2( )· 1 v2=f (x 21)·11· 2x2x 21=xf ( x21),x 21解法二y = f(x 21 ) =f (

5、x21 )·( x21 )1)·11=f (x 2(x2+1)2 · (x2+1)2x 21)·11=f (x2+1)2 · 2x2=xf ( x21 )x 21例 2 利用導(dǎo)數(shù)求和(1)Sn =1+2x+3x2+ +nxn1(x 0,n N* )(2)Sn =C 1n +2C n2 +3C n3 +nC nn ,(n N *)命題意圖培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點(diǎn)靈活融合的能力知識依托通過對數(shù)列的通項進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維nn 1由求導(dǎo)公式 (x ) =nx,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu)錯

6、解分析本題難點(diǎn)是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想技巧與方法第 (1)題要分 x=1 和 x 1 討論，等式兩邊都求導(dǎo)解 (1)當(dāng) x=1 時Sn=1+2+3+ +n=1n(n+1);2當(dāng) x 1 時，23nxxn 1 x+x+x + +x =,1x兩邊都是關(guān)于x 的函數(shù)，求導(dǎo)得(x+x2+x3+xn)=( xxn 1 )1x即 Sn=1+2x+3x2+ +nxn 1=1 ( n 1) xnnxn 1(1 x) 2(2) (1+ x) n=1+C 1n x+C 2n x2+ +C nn xn,兩邊都是關(guān)于x 的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得n(1+ x)n 1=C 1n +2C 2n x+3C 3

7、n x2+ +nC nn xn 1,令 x=1 得， n· 2n 1=C 1n +2C 2n +3C 3n + +nC nn ,即 Sn=C1n +2C2n + +nCnn =n· 2n 1例 3 已知曲線 C y=x3 3x2+2x,直線 l:y=kx,且 l 與 C 切于點(diǎn) (x0,y0)(x0 0)，求直線 l 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)解 由 l 過原點(diǎn)，知 k= y0 (x0 0),點(diǎn) (x0,y0)在曲線 C 上， y0=x03 3x02 +2x0 , x0 y0 =x02 3x0+2x 0y =3x2 6x+2,k=3x02 6x0+2又 k= y0 , 3x02 6x

8、0+2= x02 3x0+2 x02x02 3x0=0, x0=0 或 x0= 323由 x 0,知 x0=2 y0=( 3 )3 3( 3 )2+2· 3 = 32228 k= y0 = 1x04 l 方程 y= 1 x 切點(diǎn) ( 3 ， 3 )428學(xué)生鞏固練習(xí)1y=esinxcos(sinx)，則 y (0) 等于 ()A0B1C 1D 22經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線y= x9 相切的方程是 ()x5Ax+y=0 或xBx y=0 或x+y=0+y=02525Cx+y=0 或 x y=0D x y=0 或 x y=025253f ( x0k ) f ( x0 )若 f (x0)=2, l

9、im=_k 02k4設(shè) f(x)=x(x+1)( x+2) (x+n),則 f(0)=_5已知曲線 C1:y=x2 與 C2:y= (x 2)2,直線 l 與 C1 、C2 都相切，求直線l 的方程6 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=( x2 2x+3) e2x;(2)y= 3xx17 有一個長度為 5m 的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s離開墻腳滑動，求當(dāng)其下端離開墻腳14 m 時，梯子上端下滑的速度8 求和22222n 1*)Sn=1 +2 x+3x +n x,(x0,n N參考答案1 解析y =esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y (0)= e

10、0(1 0)=1答案 B2 解析設(shè)切點(diǎn)為 (x0 ,y0),則切線的斜率為y0,k=x0另一方面， y =( x9) = ( x4,x 55) 2故 y (x0)=k,即4y0x092( x05) 2x0x0 (x0或 x0 +18x0+45=05)(1)(2)(1)(2)1593,得 x0 = 3, x0= 15,對應(yīng)有 y0 =3,y0=5515因此得兩個切點(diǎn)A( 3， 3)或 B( 15, 3),5從而得 y (A)=4= 1及 y ( B)=415) 35) 2,( 3( 1525x由于切線過原點(diǎn)，故得切線lA:y= x 或 l B:y=25答案A3解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義f (x0)= l

11、imf ( x0 ( k)f ( x0 )kk 0limf ( x0k ) f (x0 )lim12kk 0k 021f ( x0 k) f (x0 )1limk22 k0(這時xk )f ( x0k )f ( x0 ) kf (x0 )1答案 14解析設(shè) g(x)=(x+1)( x+2) (x+n),則 f(x)= xg(x),于是 f (x)=g(x)+xg (x),f (0)= g(0)+0 · g (0)= g(0)=1 · 2· n=n！答案n!5解2),與 C2 相切于 Q(x2, (x2 2)2)設(shè) l 與 C1 相切于點(diǎn) P(x1,x1對于 C1y

12、 =2x,則與 C1 相切于點(diǎn)P 的切線方程為y x12=2x1(x x1 ),即 y=2 x1x x12對于 C2y = 2(x 2),與 C2 相切于點(diǎn) Q 的切線方程為y+(x22)2=2(x22)( xx2),即 y= 2(x2 2)x+x22 4兩切線重合， 2x1= 2(x2 2)且 x12=x22 4,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0直線 l 方程為 y=0 或 y=4x 46解(1) 注意到 y 0,兩端取對數(shù)，得lny=ln( x2 2x+3)+ln e2x=ln( x2 2x+3)+2 x1( x 22 x 3)22x 22( x2x 2)yx 22x 3x

13、22x22x 3y2 x 3y2( x 2x 2) y2( x 2x 2) ( x 22x 3) e2 xx22x3x22 x32( x2x2)e2 x(2)兩端取對數(shù)，得1(ln|x|ln|1 x|),ln|y|=3兩邊解 x 求導(dǎo)，得1y1 ( 111 )11x)y3xx3 x(1y11y13x3x(13x(1x)1xx)7解設(shè)經(jīng)時間 t 秒梯子上端下滑s 米 ,則 s=5 25 9t 2,當(dāng)下端移開 11 474 m 時， t0=3,151211又 s =2 ·( 9· 2t)=9 t,(25 9t )2259t 271=0 875(m/s)所以 s(t0)=9×15259( 7 )2158 解 (1) 當(dāng) x=1 時， Sn =1