高中數(shù)學(xué)巧用函數(shù)單調(diào)性妙解題學(xué)法指導(dǎo)~[doc]

1、高中數(shù)學(xué)巧用函數(shù)單調(diào)性妙解題函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性又是函數(shù)的重要性質(zhì)。在求解某些數(shù)學(xué)問題時，若能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個適當(dāng)?shù)膯握{(diào)函數(shù)，往往能化難為易，化繁為簡，獲得巧解和妙解。下面舉例說明。一. 巧求代數(shù)式的值例 1. 已知 ( x2y)5x52x2 y0 ，求 ( xy) 20 07 的值。解：已知條件可化為()x2y 5()x2y( x)5( x)設(shè) fx()x5x ，則 f (xyf 2)() x而 fx()x5x 在 R 上是增函數(shù)則有 x2 yx ，即 xy0所以 ( xy ) 20070點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為()x2 y 5()x2 y(x)5( x)

2、 ，再構(gòu)造相應(yīng)函數(shù) fx( )x5x ，利用單調(diào)性求解。x的根為 ，方程 xlog3 x3 的根為 ，求 + 的值。拓展練習(xí)： 已知方程 x 33（答案：3 ）二. 妙解方程例 2. 解方程 4x7x65x解：易見 x=2 是方程的一個解xx原方程可化為47651654而 f (x)65x（因?yàn)閤4(0，1) ）65在 R 上是減函數(shù)，gx( )765x同樣在 R 上是減函數(shù)x47因此 fx( )g( x)6565x在 R 上是減函數(shù)xx422由此知：當(dāng) x 2時，4771656565654xx422771當(dāng) x 2 時，65656565這說明 x 2 與 x2 的數(shù)都不是方程的解，從而原方程

3、僅有唯一解x 2 。拓展訓(xùn)練：解方程5x1 2x ( 22x ) 。（答： x2 ）點(diǎn)評：解該類型題有兩大步驟：首先通過觀察找出其特解x0 ，然后等價轉(zhuǎn)化為fx( ) a(a為常數(shù) ) 的形式，最后根據(jù)f ( x) 的單調(diào)性得出原方程的解的結(jié)論。三. 妙求函數(shù)的值域例 3.求函數(shù) ycos2 x6cosx 10 (0 x) 的值域。3cosx解：令 cosxt ，則y ft()t133t因?yàn)?0x，所以1t 1而 f (t )在 t1， 1內(nèi)遞增所以 f (1)f (t )f (1)又 f (1)5 ， f (1)1752174f ( x)而42所以5 ， 17 為所求原函數(shù)的值域。2 4四

4、. 巧解不等式例4.解不等式log5 (1x)log16x解：設(shè)tlog16 x，則 x165 ，x4t原不等式可化為log5 (14t )ttttt，即141則1 45551tt設(shè) f ()t455顯然 f (t ) 是 R 上的減函數(shù)，且1 f ()1 ，那么不等式即 f (t )f (1)t 1因此有 l og16 x1，解得 0x16點(diǎn)評：解不等式其實(shí)質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，正負(fù)值問題。用函數(shù)觀點(diǎn)來處理此類問題，不僅可優(yōu)化解題過程，且能讓我們迅速獲得解題途徑。拓展訓(xùn)練：解不等式(5x3)33x6x 3 0 。（答： x1 ）2五. 巧證不等式例 5. 設(shè) a 00， bm，00， n，

5、求證 am nbm na mbm · anbn。222證明：當(dāng) m， n 中至少有一個為0 時，則有 am nbm na mbm · anbn ，結(jié)論222成立。設(shè) m 0， n 0因?yàn)閥x (0) 在( 0，) 上單調(diào)遞增所以ambm 與anbn 必同號，或同為0（當(dāng)且僅當(dāng)ab 時）從而 (ambm )( anbn ) 0m nm nmnnmaba ba bam nbm nambm · a n2bn22因此，原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)ab 或 m0 ，或 n0 時取“ =”號）。點(diǎn)評：原不等式等價于am nbmnambnanbm(ambm )(a nbn )0 ，這

6、可由冪函數(shù) y x (0) 在 (0，) 上遞增而得到。本題可拓展：令msin2，ncos2，則 a basi n 22bcosacos2bsin 2。六. 巧解恒成立問題例 6.已知函數(shù) f ()xlg 12 x3x a 對區(qū)間， 1 上的一切x 值恒有意義，求 a3的取值范圍。1 2x3x a解：依題意，03對， 1 上任意 x 的值恒成立1x2整理為 a33x對，1 上任意 x 的值恒成立。x2x1，只需 a設(shè) g()x3 3而 g(x) 在， 1 上是增函數(shù)則 g(x)maxg(11)所以 a1七. 巧建不等關(guān)系例 7. 給定拋物線C： y24x ， F 是g()x maxC 的焦點(diǎn)，

7、過點(diǎn)F 的直線 l 與 C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，設(shè) FBAF 。若4， 9 ，求 l 在 y 軸上的截距的變化范圍。，1 )，2 )解：設(shè) A( xy1B( xy2由 FBAF ，得x21(1x1 )(1)y2y1(2)又y124x1(3)y224x2(4)聯(lián)立（ 1）（ 2）（ 3）（ 4），解得 x2所以 B(， 2)或( ，2 )所以 l 的方程為 (1) y 2()x 1或 () 1 y2 ()x 1當(dāng) y4， 9 時， l 在 y 軸的截距為 2或 211令 f ()2，則1112f '()(1)2(1) 20所以 f () 在 4， 9上是減函數(shù)故 3214 或423

8、43314所以直線l 在 y 軸上截距的取值范圍是：4 ，33 ， 43443八. 巧解數(shù)列問題例 8. 已知數(shù)列bn 是等差數(shù)列， b11，b1b2 b10 145 。（ 1）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng) an loga (11 )( a0，且 a1) ， Sn 是數(shù)列an 的前 nbn項(xiàng)和，試比較Sn 與 1 loga bn 1 的大小，并證明你的結(jié)論。3解：（ 1）由 b1b2b10145， b11有 10b1109d 1452得 d 3因此 bnb1(n1)33n2（ 2） Snl oga (11)loga11loga1143n2l oga(11)11 11432n1 loga bn1l oga331n3(11)11 11設(shè) fn()413n 2（ n 為正整數(shù)）33nf ( n1)(111 )1 112113 3n 1則413n13n 1f ()n(111 )133n443n2327n354n236n8127n354