華羅庚學(xué)校五年級數(shù)學(xué)上冊教材第18講共15講

1、本系列共 15 講第一講數(shù)的整除問題.一 基本概念和知識1整除約數(shù)和倍數(shù)一般地，如 a、b、c 為整數(shù)，b0，且 a÷b = c，即整數(shù) a 除以整數(shù) b（b0），除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余 數(shù)是 0），我們就說，a 能被 b 整除（或者說 b 能整除 a）。記作 b a。否則，稱為 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除，a 就叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a的約數(shù)（或因數(shù)）。2數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì) 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被 c整除。性質(zhì) 2：如果 b 與 c 的積能整除 a，那么 b 與 c

2、都能整除 a。 性質(zhì) 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互質(zhì)，那么 b 與 c 的積能整除 a。性質(zhì) 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。3數(shù)的整除特征 能被 2 整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是 0、2、4、6、8 的整數(shù)。 能被 5 整除的數(shù)的特征：個位是 0 或 5。 能被 3（或 9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被 3（或 9）整除。 能被 4（或 25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被 4（或 25） 整除。 能被 8（或 125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被 8（或 125） 整除。 能被 11 整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之 和

3、與偶數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?11 的倍數(shù)。 能被 7（11 或 13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù) 與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?7（11 或 13）整除。二 例題例 1：已知 451993yx，求所有滿足條件的六位數(shù)1993 。yx解： 45=5×9， 根據(jù)整除“性質(zhì) 2”可知y51993x，91993，yx y 可取 0 或 5。當(dāng) y=0 時，根據(jù) 9當(dāng) y=5 時，根據(jù) 91993yxy1993x及數(shù)的整除特征可知 x=5；及數(shù)的整除特征可知 x=9。 滿足條件的六位數(shù)是 519930 或 919935。例 2：李老師為學(xué)校一共買了 28

4、 支價格相同的鋼筆，共付人民 幣 9.2元，已知處數(shù)字相同，請問每支鋼筆多少元？解： 9.2元=92分28=4×7 根據(jù)整除“性質(zhì) 2”可知4 和 7 均可能整除 92。42，可知處只能填 0 或 4 或 8。因?yàn)?7 不能整除 9020，7 不能整除 9424，所以處不能填 0 和 4；因?yàn)?79828，所以處應(yīng)該填 8。 又因?yàn)?9828 分=98.28 元所以 98.28÷28=3.51（元）答：每支鋼筆 3.51 元。例 3：已知整數(shù) 1 2 3 4 5a a a a a能被 11 整除，求所有滿足這個條件的整數(shù)。解： 11 1 2 3 4 5 ，a a a a a

5、 根據(jù)能被 11 整除的數(shù)的特征可知：12345 的和與 5a 之差應(yīng)是 11 的倍數(shù)，即：11（155a），或 11（5a15）。但是 155a=5（3a）， 5a15=5(a3)，又（5，11）=1，因 此 11(3a)或 11(a3).又 a 是數(shù)位上的數(shù)字， a 只能取 09， 所以只有 a=3 才能 11（3a）或 11（a3）。 即當(dāng) a=3 時，11155a。 符合題意的整數(shù)只有 1323334353。例 4：把三位數(shù) 3ab接連重復(fù)地寫下去，共寫 1993 個 3，所ab得的數(shù)33.3ab abab(1993個3)ab恰是 91 的倍數(shù)，求=？ab解： 91=7×13

6、，且（7，13）=1， 7 能整除 33.3ab abab，13 能整除 33.3。ab abab根據(jù)一個數(shù)能被 7 或 13 整除的特征可知：原數(shù)33.3ab abab能被 7 以及 13 整除，當(dāng)且僅當(dāng) 3.3abab（1992 組3ab）3ab能被 7 以及 13 整除，也就是3.3000 （1991 組）能被 7 以及 13 整除。abab因?yàn)椋?，10）=1，（ 13，10）=1，所以 7 能整除 3.3000（1991abab組 ），13 能整除 3.3000（1991 組），也就是 7 能整除 3.3（1991abab組 ）， 13 能整除 3.3abababab（1991 組）

7、，因此，用一次性質(zhì)（特征），就去掉了兩組 3ab；反復(fù)使用性質(zhì) 996 次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被 7以及 13 整除當(dāng)且僅當(dāng) 3ab 能被 7 以及 13 整除。又 91的倍數(shù)中小于 1000的只有91×4=364的百位數(shù)字是 3，3=364，=64。abab例 5：在 865 后面被上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分 別被 3、4、5 整除，且使這個數(shù)值盡可能的小。分析設(shè)補(bǔ)上數(shù)字后的六位數(shù)是 865abc，因?yàn)檫@個六位數(shù)能分別被 3、4、5 整除，所以它應(yīng)該滿足以下三個條件：第一，數(shù)字和（865abc）是 3 的倍數(shù)； 第二，末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)是 4 的倍數(shù)；bc第三，末位數(shù)

8、字 c 是 0 或 5。因?yàn)槟鼙?4 整除的數(shù)的個位數(shù)字不可能是 5，所 以 ，c 只能取 0， 因而 b 只能取自 0，2，4，6，8 中之一。又因?yàn)?3 8650 ，且（865）除以 3 余 1，ab所以 ab 除以 3 余 2。 為滿足題意“數(shù)值盡可能小”，只需取 a=0,b=2. 所以，要求的六位數(shù)是 865020。例 6： 求能被 26 整除的六位數(shù)分析因?yàn)?26=2×13，1991。yxy所以 1991x能分別被 2 和 13 整除。所以，解此題可以從 21991yx入手考慮。解：因?yàn)?21991yxy所以，y 可能取 0，2，4，5，6，8。又因?yàn)?131991，x所以

9、，13 能整除19與91yx的差。當(dāng) y=0 時，由于 13910，而 13 又要整除19 與 910 之差，x所以，13又因?yàn)?9 。x19 =100x+19=（7×13+9）x+19=7×13x+9x+13+6,x所以，根據(jù)整除“性質(zhì) 1”，有 139x+6.經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng) x=8 時，139x+6.所以，當(dāng) y=0 時，符合題意的六位數(shù)是 819910。當(dāng) y=2 時，因?yàn)?1319912 ，所以 13 整除x19 與（910+2）之x差，也即 13 整除19 與 2 之差；與前相仿，x19 =7×13x+13+9x+6，x所以 13 整除 9x+6-2.

10、即：139x+4。經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng) x=1 時，139x+4.所以，當(dāng) y=2 時，符合題意的六位數(shù)是 119912。同理，當(dāng) y=4 時，139x+6-4，即 139x+2. 經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng) x=7 時，139x+2.所以，當(dāng) y=4 時，符合題意的六位數(shù)是 719914.同理，當(dāng) y=6 時，139x+6-6，即 139x.經(jīng)試驗(yàn)可知 x 無解（因?yàn)?x 是1991yx的最高位數(shù)碼，x0）.所以，當(dāng) y=6 時，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當(dāng) y=8 時，139x+6-8，即 139x-2。 經(jīng)試驗(yàn)只有當(dāng) x=6 時，139x-2。所以，當(dāng) y=8 時，符合題意的六位數(shù)是 619918。答

11、：滿足本題條件的六位數(shù)共有 819910、119912、719914 和619918 四個。習(xí)題一1，已知 72x931y，求滿足條件的五位數(shù)。2，已知五位數(shù) 154xy 能被 8 和 9 整除，求 xy 的值。3，若五位數(shù) 32x5y 能同時被 2、3、5 整除，試求滿足條件的所 有這樣的五位數(shù)。4，將自然數(shù) 1、2、3、4、5、6、7、8、9 依次重復(fù)寫下去組 成一個 1993 位數(shù)，這個數(shù)能否被 3 整除？5，一本陳老帳上記著：72 只桶，共67.9元。這里處字跡不清，請把處數(shù)字補(bǔ)上，并求桶的單價。6，證明：任意一個三位數(shù)連著寫兩次得到一個六位數(shù)，這個 六位數(shù)一定能同時被 7、11、13

12、 整除。本系列共 15 講第二講 質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù).一基本概念和知識1質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也 叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了 1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。 要特別記?。? 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù) 如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 二例題例 1：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210，求這三個數(shù)。 210=2×3×5×7 可知這三個數(shù)是 5、6、7。例 2：兩個質(zhì)數(shù)的和是 40，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多 少？解：把 40 表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：4

13、0=1723=1129=33717×23=39111×29=3193×37=111，所求的最大值是 391。例 3：自然數(shù) 123456789 是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？ 解：123456789 是合數(shù)。因?yàn)樗思s數(shù) 1 和它本身，至少還有約數(shù) 3，所以它是一個 合數(shù)。例 4：連續(xù) 9 個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)？為什么？ 解：如果這連續(xù)九個自然數(shù)在 1 與 20 之間，那么顯然其中最多有 4 個質(zhì)數(shù)（如：19 中有 4 個質(zhì)數(shù) 2、3、5、7）。 如果這連續(xù)的九個自然數(shù)中最小的不小于 13，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有 5 個。這 5 個奇數(shù)

14、中必只 有一個個位數(shù)是 5，因而 5 是這個奇數(shù)的一個因數(shù)，即這個奇數(shù)是 合數(shù)。這樣，至多另 4 個奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有 4 個質(zhì)數(shù)。例 5：把 5、6、7、14、15 這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘 積相等。解： 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 這些數(shù)中質(zhì)因數(shù) 2、3、5、7 各共有 2 個，所以如把 14（=2×7）放在第一組，那么 7 和 6（=2×3）只能放在第二組，繼而15（=3×5）只能放在第一組，則 5 必須放在第二組。 這樣，14×15=210=5×

15、;6×7。 這五個數(shù)可以分為 14 和 15，5、6 和 7 兩組。例 6：有三個自然數(shù)，最大的比最小的大 6，另一個是它們的 平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是 42560。求這三個自然數(shù)。分析先大概估計一下，30×30×30=27000，遠(yuǎn)小于 42560，40×40×40=64000，遠(yuǎn)大于 42560。因此，要求的三個自然數(shù)在 3040 之間。解：42560=26×5×7×19=25×（5×7）×（19×2）=32×35×38（合題意） 要求的三個自然數(shù)分別是

16、 32、35 和 38。例 7：有三個自然數(shù) a、b、c，已知 a×b=6，b×c=15，a×c=10。 求 a×b×c 是多少？解： 6=2×3，15=3×5，10=2×5。 (a×b)×(b×c)×(a×c)=(2×3)×(3×5)×(2×5) a2×b2×c2=22×32×52 (a×b×c)2=(2×3×5)2 a×b&

17、#215;c=2×3×5=30在例 7 中有 a2=22,b2=32,c2=52，其中 22=4，32=9，52=25，像 4、9、25 這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個自然數(shù)平方所得到的 數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如：12=1，22=4，32=9，42=16，112=121，122=144，其 中 1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方數(shù)。下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì) 因數(shù)的指數(shù)有什么特征。例：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。9，36，144，1600，275625。解： 9=3236=22 × 32144=32 

18、5; 241600=26 × 52275625=32×54×72可見，一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶 數(shù)。反之，如果把一個自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后 ，各個質(zhì)因數(shù)的指 數(shù)都是偶數(shù)，那么這個自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中，36=62，144=122，1600=402，275625=5252。例 8：一個整數(shù) a 與 1080 的乘積是一個完全平方數(shù)，求 a 的最小值與這個完全平方數(shù)。分析 a 與 1080 的乘積是一個完全平方數(shù)。 乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因的指數(shù)一定全是偶數(shù)。 解： 1080×a=23×33×5×

19、a，又 1080=23×33×5 的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇 數(shù)。 a 必含質(zhì)因數(shù) 2、3、5，因此，a 最小為 2×3×5。 1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。 答：a 的最小值為 30，這個完全平方數(shù)是 32400。 例 9：360 共有多少個約數(shù)？分析360=23×32×5為了求 360 有多少個約數(shù)，我們先來看 32×5 有多少個約數(shù)， 然后再把所有這些約數(shù)分別剩以 1、2、22、23，即得到 23×32×5（

20、=360）的所有約數(shù)。為了求 32×5 有多少個約數(shù)，可以先求出 5 有多少個約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以 1、3、32，即得到 32×5 的所有約數(shù)。解：記 5 的約數(shù)個數(shù)為 y1，32×5 的約數(shù)個數(shù)為 y2。360（=23×32×5）的約數(shù)個數(shù)為 y3。 由上面的分析可知：y3=4×y2，y2=3×y1，顯然 y1=2（5 只有 1 和 5 兩個約數(shù)）。 因此 y3=4×y2=4×3×y1=4×3×2=24。 所以，360 共有 24 個約數(shù)。y3=4×y2

21、 中的“ 4 ”即為“1、2、22、23”中數(shù)的個數(shù)，也就 是其中 2 的最大指數(shù)加 1，也就是 360=23×32×5 中質(zhì)因數(shù) 2 的個 數(shù)加 1；y2=3×y1 中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個數(shù)，也就是23×32×5 中質(zhì)因數(shù) 3 的個數(shù)加 1；而 y1=2 中的“2”即為“1、5” 中數(shù)的個數(shù)，即 23×32×5 中質(zhì)因數(shù) 5 的個數(shù)加 1。因此y3=（31）×（21）×（11）=24。 對于任何一個合數(shù)，用類似于 23×32×5（=360）的約數(shù)個數(shù)的討論方式，我們可

22、以得到一個關(guān)于求一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的重要 結(jié)論：一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的 個數(shù)（即指數(shù)）加 1 的連乘積。例 10：求 240 的約數(shù)的個數(shù)。 解： 240=24×31×51， 240 的約數(shù)的個數(shù)是：（41）×（11）×（11）=20 個， 240 有 20 個約數(shù)。請你列舉一下 240 的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是 20個？習(xí)題二1邊長為自然數(shù)，面積為 105 的形狀不同的長方形共有多少種？211112222 個棋子排成一個長方陣，每一橫行的棋子數(shù)比每一 豎列的棋子數(shù)多 1 個。這個長方陣每一橫行有多少個棋子？3五

23、個相鄰自然數(shù)的乘積是 55440，求這五個自然數(shù)。4自然數(shù) a 乘 338，恰好是自然數(shù) b 的平方。求 a 的最小值以 及自然數(shù) b。5求 10500 的約數(shù)共有多少個？本系列共 15 講第三講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣一基本概念和知識1公約數(shù)和最大公約數(shù) 幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個 ，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。2公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個 ，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。3互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。 二例題例 1：用一個數(shù)去除 30、60、75，都能整除，這個

24、數(shù)最大是多 少？分析 要求的數(shù)去除 30、60、75 都能整除， 要求的數(shù)是 30、60、75 的公約數(shù)。 又 要求符合條件的最大的數(shù)， 就是求 30、60、75 的最大公約數(shù)。解 ：（ 30，60，75）=15所以，這個數(shù)最大是 15。例 2：一個數(shù)用 3、4、5 除都能整除，這個數(shù)最小是多少？ 分析由題意可知，要求求的數(shù)是 3、4、5 的公倍數(shù)，且是最小公倍數(shù)。解： 3，4，5=60， 用 3、4、5 除都能整除的最小的數(shù)是 60。例 3：有三根鐵絲，長度分別是 120 厘米、180 厘米和 300 厘 米。現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最 長多少厘米？一共可以截成多

25、少段？分析要截成相等的小段，且無剩八，每段長度必是 120、180、300 的公約數(shù)；又每段要盡可能長，要求的每段長度就是 120、180、300 的最大公約數(shù) 。 解：（120，180，300）=60，每小段最長 60 厘米。120÷60180÷60300÷60=235=10（段） 答：每段最長 60 厘米，一共可以截成 10 段。例 4：加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成 3 個零件，第二道工序每個工人每小時可完成 10個，第三道工序每個工人每小時可完成 5 個。要使加工生產(chǎn)均衡， 三道工序至少各分配幾個工人？分析要使加工生產(chǎn)均衡

26、，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是 3、10 和 5 的公倍數(shù)。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍數(shù)。解：3，10，5=30各道工序均應(yīng)加工 30 個零件。30÷3=10（人）30÷10=3（人）30÷5=6（人）答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。例 5：一次會餐供有三種飲料。餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了 65 瓶：平均每 2 個人飲用一瓶 a 飲料，每 3 個人飲用一瓶 b 飲料，每4 個人飲用一瓶 c 飲料。問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是 2、3、

27、4 的公倍數(shù)。 解：2，3，4=12參加會餐人數(shù)應(yīng)是 12 的倍數(shù)。又12÷212÷312÷4=13（瓶）可見 12 個人要用 6 瓶 a 飲料，4 瓶 b 飲料，3 瓶 c 飲 料，共用 13 瓶飲料。又65÷13=5參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是 12 的 5 倍。12×5=60（人） 答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是 60 人。例 6：一張長方形紙，長 2703 厘米，寬 1113 厘。要把它截成 若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可 能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析由題意可知，正方形的邊長即是 2703 和 1113 的最

28、大公 約數(shù)。在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但 有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了 1 以外的公約數(shù)一下子不好 找到，但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù)。怎么辦？在此，我們以例6 為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。 對于例 6，可做如下圖解：從圖中可知：在長 2703 厘米、寬 1113 厘米的長方形紙的一端 ，依次裁去以寬（1113 厘米）為邊長的正方形 2 個，在裁后剩下的長1113 厘米、寬 477 厘米的長方形中，再裁去以寬（477 厘米）為邊 長的正方形 2 個，然后又在裁剩下的長方形（長 477 厘米，寬 159 厘米）中，以 159 厘米為邊長裁正方形，恰好裁成 3

29、個，且無剩余 。 因此可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的約數(shù)， 所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是 159 厘米 。 所以，159 厘米是 2703 和 1113 的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程，即：2703÷1113，商 2 余 477；1113÷477，商 2 余 159；477÷159，商 3 余 0。 或者寫為：2703=2×1113477，1113=2×477159，477=3×159。當(dāng)除數(shù)為 0 時，最后一個算式中的除數(shù) 159 就是原來兩個數(shù)2703 和

30、 1113 的最大公約數(shù)。 可見，477=159×3，1113=159×3×2159=159×7，2703=159×7×2477=159×7×2159×3=159×17。又因?yàn)?7 和 17 是互質(zhì)數(shù)，所以 159 是 2703 和 1113 的最大公 約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法。輾轉(zhuǎn)相除法 的優(yōu)點(diǎn)在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例 7：用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公約數(shù)。 解：因?yàn)?4811=2×1981849，1981=2&

31、#215;849283，849=3×283。所 以 ，（4811，1981）=283。 補(bǔ)充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的 最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。例 8：求 1008、1260、882 和 1134 四個數(shù)的最大公約數(shù)是多 少？解：因?yàn)椋?260，1008）=252，（882，1134）=126， 又（252，126）=126，所 以 ，（1008，1260，882，1134）=126。 求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例

32、 9。例 9：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 252，其中一 個數(shù)是 28，另一個數(shù)是多少？解：設(shè)要求的數(shù)為 x，則有：所以，x=4×y28=4×7 所以，28x=4×y×4×7又因?yàn)?4 是 x 和 28 的最大公約數(shù)，（y，7）=1， 所以 4×y×7 是 x 和 28 的最小公倍數(shù)。 所以，x×28=4×252所以，x=4×252÷28=36所以，要求的數(shù)是 36。通過例 9 的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用 a 和 b 表示兩個自然 數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公

33、倍數(shù)關(guān)系是：(a，b)×a，b=a×b. 這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個 數(shù)的最小公倍數(shù)。例 10：求 21672 和 11352 的最小公倍數(shù)。 解：因?yàn)椋?1672，11352）=1032（1032 可用輾轉(zhuǎn)相除法求得） 所以，21672，11352=21672×11352÷1032=238392。答：21672 和 11352 的最小公倍數(shù)是 238392。習(xí)題三1甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是 54，甲 數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2一塊長方形地面，長 1

34、20 米，寬 60 米，要在它的四周和四角 種樹，每兩棵樹之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每 相鄰兩棵之間的距離是多少米？3已知兩個自然數(shù)的積是 5766，它們的最大公約數(shù)是 31，求這兩個自然數(shù)。4兄弟三人在外面工作，大哥 6 天回家一次，二哥 8 天回家一 次，小弟 12 天回家一次。兄弟三人同時在十月一日回家，下 一次三人再見面要再過多少天？5將長 25 分米，寬 20 分米，高 15 分米的長方體木塊鋸成完全 一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積 是多少？一共可鋸多少塊？6一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過 1 的整千克數(shù)， 去掉箱子后地雷凈重 201 千克，

35、拿出若干個地雷后，凈重 183 千克。求一個地雷的重量。本系列共 15 講第四講帶余數(shù)的除法.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題。除此之外，例如：16÷3=51，即 16=5×31，此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了 余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，如果 a 是整數(shù)，b 是整數(shù)（b0），那么一定有另外 兩個整數(shù) q 和 r，0rb，使得 a=b×qr.當(dāng) r=0 時，我們稱 a 能被 b 整除。當(dāng) r0 時，我們稱 a 不能被 b 整除，r 為 a 除以 b 的余數(shù)，q 為 a 除以 b 的不完全商（亦簡稱為商）。 用帶余除式又可以

36、表示為 a÷b=qr，0rb.一例題例 1：一個兩位數(shù)去除 251，得到的余數(shù)是 41，求這個兩位數(shù) 。 分析這是一道帶余數(shù)的除法題，且要求的數(shù)是大于 41 的兩位數(shù)，解題可從帶余除式入手分析。 解： 被除數(shù)÷除數(shù)=商余數(shù)， 即被除數(shù)=除數(shù)×商余數(shù)，251=除數(shù)×商41，25141=除數(shù)×商，210=除數(shù)×商。210=2×3×5×7，210 的兩位數(shù)的約數(shù)有 10、14、15、21、30、35、42、70， 其中 42 和 70 大于 41。所以除數(shù)是 42 或 70，即要求的兩位數(shù)是 42 或 70。例

37、 2：用一個自然去除另一個整數(shù)，商 40，余數(shù)是 16。被除 數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是 933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少。解：被除數(shù)=除數(shù)×商余數(shù)， 即被除數(shù)=除數(shù)×4016。由題意可知：被除數(shù)除數(shù)=9334016=877，（除數(shù)×4016）除數(shù)=877，除數(shù)×41=87716=861， 除數(shù)=861÷41=21。被除數(shù)=21×4016=856。 答：被除數(shù)是 856，除數(shù)是 21。例 3：某年的十月里有 5 個星期六，4 個星期日，問這年的 10 月 1 日是星期幾？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天。31=7×43

38、，根據(jù)題意可知：有 5 天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和 星期六。這年的 10 月 1 日是星期四。例 4：3 月 18 日是星期日，從 3 月 17 日作為第一天開始往回 數(shù)（即 3 月 16 日第二天，3 月 15 日第三天）的第 1993 天是星期 幾？解：每周有 7 天，1993÷7=284（周）5（天） 從星期日往回數(shù) 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。 例 5：一個數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求適合此條件的最小數(shù)。 這是一道古算題，它早在孫子算經(jīng)中有記載：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何” 關(guān)于

39、這道題的解法，在明朝就流傳一首解題之歌：“三人同行 七十稀，五樹梅共廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！?意思是，用除以 3 的余數(shù)乘以 70，用除以 5 的余數(shù)乘以 21，用除 以 7 的余數(shù)乘以 15，再把三個乘積相加。如果這三個數(shù)的和大于105，那么就減去 105，直至小于 105 為止。這樣就可以得到滿足條 件的解。其解法如下：方法一：2×703×212×15=233233105×2=23 符合條件的最小自然數(shù)是 23。例 5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解： 方法二：3，72=2323 除以 5 恰好余 3。 所以，符合條件的最小自

40、然數(shù)是 23。方法 2 的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。例 6：一個數(shù)除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求適合條 件的最小自然數(shù)。分析“除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同樣“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解：5，62=28，即 28 適合前兩個條件。 想：285，6×？之后能滿足“被 7 除余 1”的條件？285，6×4=148，148=21×71， 又 148210=5，6，7 所以，適合條件的最小自然數(shù)是 148。例 7：一個數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合條 件的最

41、小自然數(shù)。解：想23×？之后能滿足“被 5 除余 3”的條件？23×2=8。再想：83，5×？之后能滿足“被 7 除余 4”的條件？83，5×3=53。 所以，符合條件的最小的自然數(shù)是 53。 歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法。當(dāng)找到滿足某個條件的數(shù)后，為了再滿足另一個條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時注意 要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會在有關(guān)“同余”部分講到。 例 8：一個布袋中裝有小球若干個。如果每次取 3 個，最后剩1 個；如果每次取 5 個或 7 個，最后都剩 2 個。布袋中至少有小球 多少個？解：25，7×1

42、=37（個）37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2，布袋中至少有小球 37 個。例 9：69、90 和 125 被某個自然數(shù) n 除時，余數(shù)相同，試求 n 的最大值。分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即15 和 19 被 2 除余數(shù)相同（余數(shù)都是 1）。但是，1915 能被 2 整除。 由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個整數(shù) a 和 b，被自然數(shù) m 除的余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)之差（大小）一定能被m 整除 。 反之，如果兩個整數(shù)之差恰被 m 整除，那么這兩個整數(shù)被 m 除的余數(shù)一定相同。例 9 可做如下解答：三個整數(shù)

43、被 n 除余數(shù)相同，n（9069），即 n21；n（ 12590），即 n35；n 是 21 和 35 的公約數(shù)。要求 n 的最大值，n 是 21 和 35 的最大公約數(shù)。21 和 35 的最大公約數(shù)是 7，n 最大是 7。習(xí)題四1用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，不完全商是 8，余數(shù)是 16。被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)這四個數(shù)的和為 463，求除數(shù)。2某數(shù)除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3，除以 6 余 4，這 個數(shù)最小是多少？3某數(shù)除以 8 余 3，除以 9 余 4，除以 12 余 7。在 1000 以內(nèi)這樣的數(shù)有哪幾個？4用卡車運(yùn)貨，每次運(yùn) 9 袋余 1 袋，每次運(yùn) 8 袋余

44、3 袋，每次 運(yùn) 7 袋余 2 袋。這批貨至少有多少袋？557、96、148 被某自然數(shù)除，余數(shù)相同，且不為 0。求 284 被 這個自然數(shù)除的余數(shù)。本系列共 15 講第五講奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣一基本概念和知識1奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)， 不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?2k（k 為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用 2k+1(k為整數(shù))表示。特別注意，因?yàn)?0 能被 2 整除，所以 0 是偶數(shù)。2奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 性質(zhì) 1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)性質(zhì) 2：偶數(shù)±奇數(shù)=

45、奇數(shù)性質(zhì) 3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù) 性質(zhì) 4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù) 性質(zhì) 5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 二例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實(shí)際問題。例 1：1231993 的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇 數(shù)還是偶數(shù)。但是如果從加數(shù)的奇、偶個數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性 質(zhì)，同樣可以判別和的奇偶性。此題可以有兩種解法。解法 1：1231993= (1+ 1993) ×1993 = 997 ×1993 ，2又997 和 1993 是奇數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，原式的和是奇數(shù)。 解法 2：

46、 1993÷2=996111993 的自然數(shù)中，有 996 個偶數(shù)，有 997 個 奇數(shù)。又奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，997 個奇數(shù)之和是奇數(shù)。 因?yàn)?，偶?shù)奇數(shù)=奇數(shù)， 所以，原式之和一定是奇數(shù)。例 2：一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相 差 150，這個數(shù)是多少？解法 1：相鄰兩個奇數(shù)相差 2，150 是這個要求的數(shù)的 2 倍。這個數(shù)是 150÷2=75。解法 2：設(shè)這個數(shù)為 x，設(shè)相鄰的兩個奇數(shù)為 2a1，2a1，(a1).則有 (2a1)x(2a1)x=150,2axx2axx=150,2x=150, x=75.這個要求的數(shù)是 75。例 3：元旦前夕，同學(xué)們

47、互送賀年卡。每人只要接到對方賀年 卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)還是偶 數(shù)？為什么？分析此題初看似乎缺總?cè)藬?shù)，但解決問題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡 的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次 ， 那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被 2 整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù) 。送賀年卡的人可以分為兩種： 一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡的總和為偶數(shù)；另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)所有送出了偶數(shù)張賀年卡的 人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)。 他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才能使他們送出的賀年卡總數(shù)為

48、偶數(shù)。 所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例 4：已知 a、b、c 中有一個是 5，一個是 6，一個是 7。求證 ：a1，b2，c3 的乘積一定是偶數(shù)。證明：a、b、c 中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，a、c 中至少有一個奇數(shù)，a1，c3 中至少有一個是偶數(shù)。 又偶數(shù)×整數(shù)=偶數(shù)，(a1)×(b2)×(c3)是偶數(shù)。例 5：任意改變某一個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù) ， 試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于 999。證明：設(shè)原數(shù)為，設(shè)改變其各位數(shù)字順序后得到的新數(shù)為abc' ' ' 。a b c假設(shè)原數(shù)與新數(shù)之和為 999，即abc' &

49、#39; ' =999，a b c則有 aa=bb=cc=9.又因?yàn)?a、 b、 c是 a、b、c 調(diào)換順序得到的， 所以 abc= abc.因此，又有（aa）(bb)(cc)=999, 即2(abc)=3×9. 可見：等式左邊是偶數(shù)，等式的右邊（3×9=27）是奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)。因此，等式不成立。所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為999”是錯誤的，命題得證。例 6：用代表整數(shù)的字母 a、b、c、d 寫成等式組：a×b×c×da=1991 a×b×c×db=1993 a×b×c×dc

50、=1995 a×b×c×dd=1997試說明：符合條件的整數(shù) a、b、c、d 是否存在。 解：由原題等式組可知： a(bcd)=1991,b(acd1)=1993, c(abd1)=1995,d(abc1)=1997.1991、1993、1995、1997 均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，a、b、c、d 分別為奇數(shù)，a×b×c×d=奇數(shù)。a、b、c、d 的乘積分別減去 a、b、c、d 后，一定為偶數(shù) 。 這與原題等式組矛盾。不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù) a、b、c、d.例 7：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次將其中 6

51、只同時“翻 轉(zhuǎn)”。請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使 9 只杯子 全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”，要使 9 只杯子口全朝下，必須經(jīng)過 9 個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”。即“翻轉(zhuǎn)” 的總次數(shù)為奇數(shù)。但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn) 6 只杯子，無論經(jīng)過多少 次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次。因此，無論經(jīng)過多少次 “翻轉(zhuǎn)”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。例 8：假設(shè) n 盞有拉線開關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動“n1” 個開關(guān)，能否把所有的燈都關(guān)上？請證明此結(jié)論，或給出一種關(guān)燈 的辦法。證明：當(dāng) n 為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上。 因?yàn)橐P(guān)上一盞燈，必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的

52、開關(guān)。由于 n 是奇數(shù)，所以 n 個奇數(shù)的和=奇數(shù)。因此，要把所有的燈（n 盞）都關(guān)上，拉動拉線開關(guān)的總次數(shù) 一定是奇數(shù)。但因?yàn)橐?guī)定每次拉動 n1 個開關(guān)，且 n1 是偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)，當(dāng) n 為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。當(dāng) n 為偶數(shù)時，能按規(guī)定將所有燈關(guān)上。關(guān)燈的辦法如下： 設(shè)燈的編號為 1、2、3、4、n.做如下操作：第一次，1 號燈不動，拉動其余開關(guān)； 第二次，2 號燈不動，拉動其余開關(guān)； 第三次，3 號燈不動，拉動其余開關(guān)；第 n 次，n 號燈不動，拉動其余開關(guān)，這時所有的燈都關(guān)上了 。 例 9：在圓周上有 1987 個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或 兩次全紅，或兩次全藍(lán)，或一

53、次紅、一次藍(lán)，最后統(tǒng)計有 1987 次 染紅，1987 次染藍(lán)。求證至少有一珠子被染上過紅、藍(lán)兩種顏色。證明：假設(shè)沒有一個珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色，即所有珠子 都是兩次染同色。設(shè)第一次染 m 個珠子為紅色，第二次必然還僅染 這 m 個珠子為紅色。則染紅色次數(shù)為 2m 次。2m1987（偶數(shù)奇數(shù)）假設(shè)不成立。至少有一個珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色。例 10：如下圖 1，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛 護(hù)樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵 掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？ 解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵 掛牌的樹之間相距

54、 a 米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相 距 b 米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=ab（米）（如下圖 2）。如果 a、b 中有一個是偶數(shù)，題目已得證；如果 a、b 都是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)奇數(shù)=偶數(shù)，所以 c 必為偶數(shù)，那么題 目也得證。圖 1圖 2例 11：某校六年級學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競賽，試題共 40 道。評分 標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題給 3 分，答錯一題倒扣 1 分，某題不答給 1 分 。 請說明該校六年級參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。解：對每個學(xué)生來說，40 道題都答對共得 120 分，是個偶數(shù)。 如果答錯一道，相當(dāng)于從 120 分中扣 4 分。不論答錯多少道，扣分 的總數(shù)應(yīng)是 4 的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分。從 120 里減去偶數(shù)，差仍是偶 數(shù)。同樣，如果有某題不答，應(yīng)從 120 里減去（31）分。不論有 多少道題沒答，扣分的總數(shù)是 2 的倍數(shù)，也是偶數(shù)。所以從 120 里 減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù)。因此，每個學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年 級參賽學(xué)生得分總和也一定是偶數(shù)。例 12：某校一年級一班共 25 名同學(xué)，教室座位恰好排成 5 行 ， 每行 5 個座位。把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位 的鄰位。問：讓這 25 個學(xué)生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下