碩士高等土力學極限平衡法PPT課件

1、知識體系知識體系 土的彈塑性理論基礎(chǔ) 塑性力學的上、下限定理 下限解 垂直條分法 陳祖煜 上限解 斜條分法 陳祖煜 流固耦合方法（PFEM） 盛岱超 劍橋模型的闡述 張鋒Soil mechanic is not an experiential technology Soil mechanic is a kind of science第1頁/共42頁 邊坡穩(wěn)定、土壓力、地基承載力 強度問題 極限平衡分析 塑性理論的上、下限定理和條分法 Terzaghi，Perk，Sloan，黃文熙，陳祖煜，etc. 理論方法、數(shù)值模擬、試驗方法 小變形理論 、連續(xù)介質(zhì)力學 重大缺陷引言第2頁/共42頁張量張量

2、tensor將任意一個矢量u轉(zhuǎn)變成另一個矢量v的線性變換T稱為張量 自由指標(free index) 式中某一項，若同一指標出現(xiàn)二次以上，規(guī)定對此指標進行求和運算，并省略求和符號 求和規(guī)定其中出現(xiàn)二次以上的指標 j 稱為啞標(dummy index) ，表示求和: 張量中一旦出現(xiàn)啞標，則啞標的符號 jj 可由其它任意啞標替換而不改變該張量的性質(zhì)。另外，一旦出現(xiàn)啞標，則張量的階數(shù)將下降二階，稱之為縮并。 單位張量(Kronecker ) 證明:第3頁/共42頁 土體穩(wěn)定分析的基本提法和求解固體力學問題是一致的, 即在一個確定的荷載條件下, 尋找一個應力場ij 和位移場ui, 以及相應的應變場ij

3、。 靜力平衡：彈塑性理論彈塑性理論1 1第4頁/共42頁 變形協(xié)調(diào)彈塑性理論彈塑性理論2 2l 虛功原理l 本構(gòu)關(guān)系式(6)通常采用摩爾庫侖準則, 即一般不容許出現(xiàn)拉應力的限制條件, 即第5頁/共42頁塑性力學的上、下限定理塑性力學的上、下限定理1 1 僅關(guān)心土體失穩(wěn)時的極限承載能力, 不需要了解此時的具體變形，回避最難以準確確定的Cijkl 。第6頁/共42頁 方案1 如果邊坡表面作用有荷載 , 可以將這個荷載增加到直至破壞： 方案2 極限狀態(tài)是通過施加一個假想的水平體積力實現(xiàn)的； 方案3 定義安全系數(shù)，假定材料的抗剪強度指標降低至邊坡處于極限狀態(tài)：塑性力學的上、下限定理塑性力學的上、下限定

4、理2 2第7頁/共42頁 垂直條分法假定邊坡內(nèi)存在一潛在的滑裂面。 在這一滑裂面上，處處達到了極限平衡狀態(tài)。 將這一滑動土體分成具有垂直邊界的條塊，通過靜力平衡得到相互關(guān)系。下限解下限解 垂直條分法垂直條分法1 1第8頁/共42頁下限解下限解 垂直條分法垂直條分法2 2 存在著4個未知量，即作用于土條底面的法向力，作用于土條側(cè)面的總作用力、傾角及其作于側(cè)面上的位置 二個靜力平衡方程和一個力矩平衡方程，缺少一個方程 對土條側(cè)面作用力的傾角作以下假定在實際應用中, 經(jīng)常兩種假定, 第一種假定取f0 (x)=0 , f(x)=1 , 即Spencer 法。第二種假定取f(x)為一正弦曲線。引入假定函

5、數(shù)后, 解得安全系數(shù)F(或土壓力P)和這兩個未知量。第9頁/共42頁下限解下限解 垂直條分法垂直條分法3 3l 由于引入假定的函數(shù)f 0(x)和f(x)可以是多種多樣的，則安全系數(shù)F 的解答也就不可能是唯一的。l 垂直條分法理論體系要求，所有的這些解答都要接受以下的合理性條件的限制：式中E和 X 分別為作用于側(cè)面的有效作用力和切向力，av和cav為側(cè)面上的平均有效抗剪強度指標，h為土條高度，N為作用于條塊底部的法向作用力。第10頁/共42頁 x , y 方向的靜力平衡方程, 可得：下限解下限解 垂直條分法垂直條分法4 4其中l(wèi) 對條底中點建立力矩平衡方程, 可得式中ht 為水平地震力作用點與條

6、底的距離；y t 為G作用點的y 坐標值。第11頁/共42頁 根據(jù)邊界條件，可獲得邊坡穩(wěn)定垂直條分法的力和力矩平衡方程式的積分形式，分別為下限解下限解 垂直條分法垂直條分法5 5第12頁/共42頁 在邊坡穩(wěn)定分析領(lǐng)域, 式(19) (25)中的土壓力P 為零, 因而簡化為下限解下限解 垂直條分法垂直條分法6 6第13頁/共42頁下限解下限解 垂直條分法垂直條分法7 7 在土壓力領(lǐng)域, 式(19)和(20)中包含的F 為已知量, 其值為1 ?？梢酝ㄟ^式(19)直接求解P , 再代入式(20)得到一個只包括一個未知量的方程式:第14頁/共42頁 在滑裂面固定時, 傳統(tǒng)的極限平衡方法所獲得的是一個靜

7、力許可的解答，其解答應視為滿足下限定理的框架, 相應的是小于真實解的、留有余地的安全系數(shù)。 如果嚴格遵循加荷的途徑來分析結(jié)構(gòu)的安全度, 那么臨界破壞模式相應的目標函數(shù)應為最大, 而不是最小, 這和下限定理是一致的。 盡管對這個問題在理論上還有不同的認識, 對于工程師來說至關(guān)重要的是, 了解他們經(jīng)常使用的“ Bishop” 、“Morgenstern-Price”法等總在提供一個偏安全的解。下限解下限解 垂直條分法垂直條分法8 8第15頁/共42頁 理論框架 對于一個處于極限狀態(tài)的邊坡，假定在土體里存在一個塑性區(qū)，塑性區(qū)里各點均達到屈服，在這一塑性區(qū)和邊界上如果由于某一外荷載增量導致一個塑性應變

8、。上限解上限解 斜條分法斜條分法1 1第16頁/共42頁 通過虛功原理，求解相應這一塑性變形模式的外荷載：上限解上限解 斜條分法斜條分法2 2l 上限定理指出，相應真實塑性區(qū)的外荷 一定比虛擬荷載小或相等。l 因此，極限分析上限解就是在許多可能的滑動機構(gòu)中尋找一個使虛擬荷載最小的臨界滑動機構(gòu)。l 式中 是外荷載增量引起的塑性位移增量，這個位移率通常稱為塑性速度，W 是塑性區(qū)的體積力。l 式(32)的左邊兩項分別是產(chǎn)生于破壞體塑性內(nèi)和沿滑裂面的內(nèi)部耗散能。第17頁/共42頁 如果材料遵守摩爾庫侖破壞準則和相關(guān)聯(lián)的流動法則，則可確認速度V 與滑面夾角為e。因此單位面積內(nèi)能耗散可用下式表示:上限解上

9、限解 斜條分法斜條分法3 3l 斜條分法將滑動土體分成若干具有傾斜側(cè)面的土條，假定沿條塊底面和側(cè)面土體，均達到了極限平衡。l 每一條塊本身視為一個剛體，在某一外力增量的作用下，每個條塊將產(chǎn)生一個塑性變形增量 ，式(32)可簡化為分別用上標s 和j 表達底面和界面的內(nèi)能耗散。第18頁/共42頁 土條被劃分為n 個土條, 包括n -1 個側(cè)面。 由于速度V 與滑動界面的夾角必須為e ，知道第一個條塊的速度V1 后，即可求得第二個條塊的速度V2 和第一個條塊相對于第二個條塊的速度Vj1 。 依此類推, 任意一條塊的V 和Vj 可表達成第一個條塊的速度V1 的線性函數(shù)。 這樣V 不再是未知數(shù), 我們將

10、通過式(34)求解一個F 值。上限解上限解 斜條分法斜條分法4 4第19頁/共42頁 位移協(xié)調(diào)條件要求相鄰條塊的移動不至于導致它們重疊或分離，即速度多邊形要閉合。 根據(jù)這個條件，右側(cè)條塊的速度Vr和左、右條塊間的界面的相對速度Vj 可以通過左側(cè)條塊的速度Vl 確定：上限解上限解 斜條分法斜條分法5 5l 則任意一條塊的V 和Vj 可表達成第一個條塊的速度V1的線性函數(shù):第20頁/共42頁 為減少數(shù)值分析的自由度，降低用最優(yōu)化方法計算臨界滑動模式的難度。上限解上限解 斜條分法斜條分法6 6各分段塊體中xk , xk +1段可按線性內(nèi)插原則進一步細分為若干條塊。當條塊寬度x 很小時, 分別將V 和

11、V+dV 代替式(35)中的Vl 和Vr , 可得計算任一條塊的V 的微分方程。第21頁/共42頁上限解上限解 斜條分法斜條分法7 7在滑面連續(xù)處則為最終獲得計算安全系數(shù)或加載系數(shù)的公式方案1方案2方案3第22頁/共42頁“塑性能”與“塑性勢函數(shù)”剪縮剪脹Fh外力引起重力勢能變化Fl外力引起熱能變化實際上沒有所謂的塑性能！也沒有所謂的塑性勢函數(shù)！塑性勢函數(shù)只是為了方便，參照彈性勢函數(shù)設(shè)定一種假想的勢函數(shù)。因此，在塑性勢函數(shù)中最為重要的是狀態(tài)變量的選擇！深刻理解勢函數(shù)與狀態(tài)變量的內(nèi)涵第23頁/共42頁狀態(tài)變量 state variable平均主應力:131321323Ip主應力差: 31q孔隙比

12、: e 通過試驗可以證明第24頁/共42頁各向同性固結(jié)試驗 e132p10log0,321qp1 pc N.C.L Cs Cc e132p10log(正常固結(jié)曲線) 正常固結(jié) 超固結(jié) 1 0100logppCeeeccsppCe10log壓縮:膨脹:第25頁/共42頁各向異性固結(jié)試驗 H3H1v0p10log12ecC1cC1cC1H3H1v0p10log12ecC1cC1cC1土的自然固結(jié)(K0 固結(jié)， ) 10KvHK0水平應力Hv 豎向應力室內(nèi)試驗，即剪應力比pq恒定的固結(jié)試驗 剪應力比恒定的各向異性固結(jié)試驗中，e-log p曲線的斜率保持一定第26頁/共42頁平均主應力保持一定的三軸壓

13、縮試驗 a q e 1pp 2pp 3pp 321pppp321pppp123pppa q/p 1pp 2pp 3pp 321pppp321pppp123pppe 1 D*(1+e0) q/p e0pconstppqe之間存在一一對應的關(guān)系:與)1 ()1 (00eDpqeDe在平均主應力一定的三軸壓縮試驗中，體積壓縮正比于剪應力比，而與平均主應力的大小無關(guān)。第27頁/共42頁不同應力路徑下的e-p-q的關(guān)系 (c) (b) (a) F E D C B A F E D C B A D E F C A B p e e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 q/p=2 q/p= 1 q/p=0 e

14、: 3 =const Log10 p e e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 q/p=2 q/p= 1 q/p=0 q/p=0 q/p=2 q/p= 1 e3 e2 e1 e5 e4 e7 e6 3一定的三軸壓縮 q p p 一定的三軸壓縮 剪應力比一定的固結(jié) e: 3 =const 從A點到F點，無論從哪條路徑到達，其體積壓縮量是相同的。也就是說，體積壓縮量與應力路徑無關(guān)! 即e可以作為一個狀態(tài)變量。A-D-E-FA-B-E-FA-B-C-FAF第28頁/共42頁任意二個應力狀態(tài)AF，體積壓縮量平均主應力剪切應力比e = e + e 010logppCecI)1 (0eDeII)1 (

15、log0010eDppCec 令土骨架的體積為 1，則土的總體積為 V=1+e0。 當體積變化V=e 時， 體積應變?yōu)?1eeVVv DppeCeecv01000log111 e0 e 土骨架 空隙 0100log1ppeCsevDppeCCscevvpv0100log1塑性體積應變與體積壓縮量為同等的狀態(tài)變量！Dppekpv00ln1劍橋模型的塑性勢函數(shù) cam-clay model0ln100pvpvDppekqpff),(第29頁/共42頁臨界狀態(tài)與應力路徑臨界狀態(tài) (critical state) : 在臨界狀態(tài)下塑性體積應變增量為零0pdpvdd p P20 P10 P1 q C.S

16、.L M* 1 1 P2 非排水三軸壓縮試驗的有效應力路徑 q 平均應力m的三軸壓縮試驗全應力路徑 最小應力一定的壓縮試驗全應力路徑 和的有效應力路徑 3 p 1 C.S.L. 非排水三軸壓縮試驗的全應力路徑及有效應力路徑 第30頁/共42頁一般應力狀態(tài)時的劍橋模型MekDwhereDppekfpv1)1 (,0ln1000將p-q應力空間中的模型推廣至一般應力狀態(tài)，須用一般應力空間的不變量 2,Jm013ln02*0pvmmmeJMf勢函數(shù)、屈服準則流動法則協(xié)調(diào)方程 df = 0 0pvpvijijdfdfHooke定理 klijklklijklpklklijkleklijklijfEdEd

17、dEdEd)(預備: 偏應力張量)3/(1ijijijIs3/,1IpmijijssJq2123133,3ijmijijsijpijfdiiijpijpvfddmijijmmijJsMMJf123331222*01 efpv010iiklijklijklijklijfefEfdEfklijklijiiklijklijfEffedEf01第31頁/共42頁一般應力狀態(tài)時的劍橋模型（續(xù)）klijklijiiklijklijfEffedEf01ppqmnpqmnmmpqmnpqmnhdffEffedEf01pqmnpqmnpqmnpqmnmmpdEfdffEffehwhere,1,0ppqijpqk

18、lmnklmnklijklpklijklpqmnpqmnklijklpklijklklijklijhfEdEfdEhfEdEfdEdEdEd klpijklijklklpijpqmnklpqmnijklijdEEdhEEffEd)(pmnklijpqpgmnpijklhEEffEwhere,Hooke定理 )1/(2/),21/()1/(),(,EGEGEwherejkiljlikklijijklv為泊松比，E為彈性模量 第32頁/共42頁下負荷屈服面 subloading failure surface劍橋模型只適合于正常固結(jié)粘土 p .pc Q q P 正常固結(jié)屈服面 超固結(jié)狀態(tài) 經(jīng)典土力

19、學彈塑性理論(包括劍橋模型)中，在卸載及再加載過程中的土的應力應變關(guān)系是被假定為彈性的。但實際上即使在卸載及再加載過程中也會產(chǎn)生塑性應變。此外，正常固結(jié)粘土一旦進入卸載過程(AB)及再加載過程(BC)，它就變成超固結(jié)狀態(tài)了。也就是說，在超固結(jié)狀態(tài)下也會產(chǎn)生塑性應變。 D B A(C) O C A O D B 第33頁/共42頁下負荷屈服面、各向同性固結(jié) e (OC)2 (OC)1 (NC)1 (NC)2 P2 log10 p C.S.L N.C.L P1 超固結(jié)狀態(tài)與正常固結(jié)狀態(tài)之間的孔隙比之差(其物理意義為密度差):)(log)(1021OCRCCeescOCR 各向同性固結(jié)時的孔隙比變化

20、0 ij 正常屈服面 下負荷屈服面 y Hashiguchi & Ueno (1977) 下負荷面是經(jīng)過現(xiàn)有應力點并和正常屈服面幾何相似的面。下負荷面必定經(jīng)過現(xiàn)在應力狀態(tài)，且隨應力變化而變化。即現(xiàn)在應力都存在于下負荷面上。因此加載準則比經(jīng)典彈塑性理論的簡單，不需要判斷應力狀態(tài)是否到達屈服面。 第34頁/共42頁平均主應力p一定的三軸排水壓縮試驗 初始應力狀態(tài)時相同但p不同 e (OC)2 (OC)1 (NC)1 (NC)2 P2 log10 p C.S.L N.C.L P1 0 0 (收縮) q2 q1 e e e e a a (NC)2 (OC)1 (NC)1 (NC)1,(NC)2

21、 (NC)1,(NC)2 (NC)1,(NC)2 (OC)1,(OC)2 (OC)1,(OC)2 Mpqf(a) aeq關(guān)系 (b) aepq關(guān)系 (OC)2 q q/p (收縮) (OC)1,(OC)2 排水剪切時的孔隙比變化 排水剪切時的應力應變關(guān)系 第35頁/共42頁平均主應力p一定的三軸排水壓縮試驗 初始應力狀態(tài)時p 相同但不同 p1 log10 p （NC） e3)(OC1)(OC2)(OCC.S.L N.C.L =(oc)1:小 =0(oc)2:中 e :大 :中 :小 0 0 :中 :大 0 =(oc)3:大 0)(.pqLCN MpqLSC)(.p10loge:小 pqe(收縮

22、) pqp 剪切前的初始狀態(tài) p相同但超固結(jié)比不同的4種狀態(tài) 應力應變關(guān)系 排水剪切時的孔隙比變化 第36頁/共42頁非排水三軸壓縮試驗 初始應力狀態(tài)時p 相同但不同 p (OC)1 (NC) 0 e C.S.L N.C.L C.S.L :小 :中 :大 (OC)2 (OC)3 =0 q 初始孔隙比e相同但p不同 (OC)3 (OC)2 (OC)1 (NC) C.S.L N.C.L ieep10log非排水剪切時的有效應力路經(jīng) 剪切前的應力狀態(tài) p q C.S.L :小 :中 (OC)3 (OC)2 (OC)1 C.S.L N.C.L :大 0(NC) e 非排水剪切時的有效應力路經(jīng) 第37頁

23、/共42頁下負荷屈服面劍橋模型、初始狀態(tài)正常固結(jié)重塑粘土，狀態(tài)變量為e、p、q，超固結(jié)重塑粘土，狀態(tài)變量為e、p、q、 (OCR) pN1e pN1 lnp pN1e pN1 q P (p, q) e0 p P0=98kpa 1 1 B 正常固結(jié)屈服面 下負荷屈服面 A e p0 0)1(13ln2*0eCJMffpVpmmms屈服函數(shù)初始狀態(tài)（應力等） pc pi p0 = 98 kPa N.C.L ei e0 e ei ln p 1 1 初始應力狀態(tài) 01,ekCwherep第38頁/共42頁下負荷屈服面劍橋模型（續(xù)一）協(xié)調(diào)方程 df = 0 0)1(10eddCdfdfpVpijijTime-independent 假定d與當前的及m 相關(guān)，并與 成正比關(guān)鍵問題是計算 的增量，即的發(fā)展式made2011a決定的發(fā)展速度 Time-dependent 常見的形式)(),(110thtGem0110eCfpvpijijklijklijpppklijklijfEfChCthEf/ )(協(xié)調(diào)方程Hooke定理第39頁/共42頁下負荷屈服面劍橋模型（續(xù)二）Hooke定理 ijpklmnklmnijklmnklmnpppklmnklmnijpijfDCthEfffEfChCthEff/ )(/ )(