微專題之等和線

1、【基本定理】（一） 平面向量共線定理uuu uuu 已知OA OB1，則A,B,C三點(diǎn)共線；反之亦然uuurOC，若（二） 等和線uuu uuu平面內(nèi)一組基底 Oa,Ob及任一向量uuu uur uuuOP，OP OAuuu OB(,R），若點(diǎn)P在直線AB上或者在AB以及與直線AB平行的直線稱我們把直線1、2、3、uiuruuu若 OC xOAuuuyOB，其中x,y R，則x y的最大值跟蹤練習(xí):已知0為 ABC的外心，若COS ABCuurAOuuuABuuurAC，則的最大值為例2、在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)uuu代B滿足|OA |uur uur uuu|OB| OA OB

2、 2，則點(diǎn)集為等和線。（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線 AB時(shí)，k 1 ；（2）當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k(0,1)；（3）當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，k(1,)；（4）當(dāng)?shù)群途€過0點(diǎn)時(shí)，k 0 ；（5）若兩等和線關(guān)于 0點(diǎn)對稱，則定值k互為相反數(shù)；k （定值），反之也成立,平行于AB的直線上，則【解題步驟及說明】確定等值線為1的線；2平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值；從長度比或者點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的 原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)

3、系，則需要通過變換基底向量，使得需要研 究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】uuu uuu例1、 給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角 為1200，如圖所示，點(diǎn)C在以o為圓心的圓弧 Ab上變動。uuuP |OPuuu uuuOA OB,| | 1, , R所表示的區(qū)域面積為例3、如圖，在扇形 OAB中， AOB 60°, C為弧AB上不與A,B重合的一個(gè)動點(diǎn),uuur uu uuuOC xOA yOB，若u x y （0）存在最大值，則的取值范圍為 跟蹤練習(xí)：在正方形uuu 設(shè)AEuuur xADABCD中，E為BC中點(diǎn)，P為以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn),yAP，則2

4、x y的最小值為.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1在正六邊形 ABCDEF中，P是三角形CDE內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，設(shè)ULUUAPuuuxAB的取值范圍2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，M,N為CD邊的三等份點(diǎn)，S為AM , BN的交點(diǎn),uuuryAF，則 x yP為邊AB上的uuu一動點(diǎn)，Q為 SMN內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若PQUUUUUULTxAM yBN，則x y的取值范圍3、設(shè)D,E分別是 ABC的邊AB，BC上的點(diǎn),1 2uuurAD -AB，BE BC，若 DE2 3（1, 2為實(shí)數(shù)），貝U 12的值為 .4、梯形 ABCD中，AD AB，AD DC 1，AB 3，P為三角形 BCD內(nèi)一點(diǎn)uuu uu

5、u uuur AP xAB yAD，則x y的取值范圍 .uuu uur1AB2AC（包括邊界），uuu uuu _ uuu uuun uuur uuu uuu5、已知 |0A| 1,|OB|.3 , OA OB 0,點(diǎn) C 在 AOB 內(nèi)，且 AOC 300，設(shè) OC mOA nOB ,則m的值為.n6、在正方形 ABCD中，E為AB中點(diǎn)，P為以A為圓心， AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)uuruuuruuuAC xDE yAP，貝U x y的最小值為 .uuuu uur uuu uuuuuuir7、 已知|OM | |ON | 1 , OP xOM yON（x,y為實(shí)數(shù)）。若 PMN為以M

6、為直角頂點(diǎn)的直角三角形，貝U x y取值的集合為。uuu uuu uuuruuu uuun uuu uuirn uuu uuu8、 平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA,OB,OC，其中OA,OB夾角為120°, OA,OC的夾角為30°，且|OA|OB| 1 ,uuir_uuuruuuuuu|OC | 2 石，若 OC mOA nOB，則 m n 的值為。9、如圖，代B,C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點(diǎn)D，若uur uur uuuOC mOA nOB，貝V m n的取值范圍為 10、已知2O 為 ABC 的外心，若 A（0,0），B（2,0），AC 1, BAC T，且uuirAOuuuABuuirAC ,11、已知a,b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且c a c1，則對任意的正實(shí)數(shù)|cta1b |的最小t值為1、征服畏懼、建立自信的最快最