數(shù)列求和專題裂項相消

1、數(shù)列求和專題復(fù)習(xí)一、公式法2. 等比數(shù)列求和公式:3. 常見數(shù)列求和公式:naiSn = < ai (1 -q)1 -qai - anqi -q(q=1)(q = 1)1k n(n 1);2nSn =為 k2kJ1)n(n 1)(2n 1);6Snn八k31 2Fn(n 1)1.等差數(shù)列求和公式：Sn"1552 2_1已知log 3 x，求x x2 x 亠xn的前n項和.log 2 3例2 :設(shè)Sn =12 3n，n N ,求 f (n)二Sn(n 32)Sm的最大值.、倒序相加法似于等差數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個數(shù)列(an?,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項

2、之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱 為倒序相加法.例 3:求 sin21 sin2 2 sin23 亠 亠sin288 sin289 的值例4 :求1212 102小2八22322 923282+川+102102 12的和.變式1 ：已知函數(shù)f x =2x +丁2(1)證明:f x f"1 ;(2)求r V川f僉吒的值.1三、裂項相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)s

3、in 1cos n cos(n 1)-=tan(n 1) - tan n(3)ann(n 1)(4)an(2n)2(2n -1)(2n 1)(5)ann(n 1)( n 2)an求數(shù)列在數(shù)列n(n 1)2 n(n 1)2(n1) -nn(n 1)(n1)(n 2)nnn 2 (n 1)2,則 Sn =11(n - 1)2n-，又 bn2 d 、-，求數(shù)列：bn f的前n項的和.an an 1變式1:求證:cos0 cos1 cos1 cos2+ * * *+cosl 2cos88 cos89 sin 1四、q倍錯位相減法類似于等比數(shù)列的前 n項和的公式的推導(dǎo)方法.若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一

4、個等比數(shù)列對應(yīng)項 相乘得到，即數(shù)列是一個“差比”數(shù)列，則采用錯位相減法若an =bn G，其中?是等差數(shù)列，：cn?是公比為q等比數(shù)列，令Sn哉 b2C2III bn 二Cn 二則 qSn=bedQ bndcn-1兩式相減并整理即得例 7:求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 亠 亠（2n - 1）xn，例8:求數(shù)列彳呂呂,魯前n項的和.2 2 2 2五、分組求和法有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可例9:求和：Sn = 2一3 54一3 5，6一3 5" HI 2n 3 5例10：求數(shù)

5、列、n(n -1)(2n 1)'的前n項和.課后鞏固：1. 等比數(shù)列 何的前n項和& =2n 1，則a； + a；+=2. 設(shè) Sn =1 +35+7山+(1)n(2 n1)，則 S =1113. -:.1 44 7(3n -2) (3n 1)(n - 1)(n 3)4.+ +15.數(shù)列 1,(1 2),(1 2 22),川,(1 2 22 川 2nl)J| | 的通項公式 a.6.1 2，22，22n 1丁，；的前n項和為7.數(shù)列；an滿足:a1 = 1，且對任意的m, n ：= N都有：am ,n“m a. mn，則丄丄.丄cha?a3()人 4016D 2008A.B.-

6、200920098.數(shù)列丘I % 都是公差為1的等差數(shù)列,C.觀1004D.竺2008若其首項滿足aib 5, ai > bi,且 ai, bi前10項的和等于（）A. 100B. 85C. 70D . 559.設(shè) m = 1 22 3 3 4 亠 亠（n1） n，則 m 等于（人叮 B. In(n 4)1C.n(n 5)2D.1n(n 7)210.若 Sn =1 _2 3_4-1)2，則 S17 - S33S50 等于（）A.1B.-1C.0D.211.設(shè) a 1為等比數(shù)列，fbn?為等差數(shù)列,且 d = 0,Cn = an bn，若數(shù)列是 1,1,2,項和為()A.978B.557C

7、.467D.9792 2 2 2 2 212. 100 一9998 -972 -1 的值是()A.5000B.5050C.10100D.2020013.已知數(shù)列 Q 啲首項a3，通項a 2n p nq（ N '， p，q為常數(shù)），且a1，a4，a5成等差數(shù)列.求：（1） p , q的值；（2）數(shù)列 匕'前n項和Sn的公式.14.設(shè)等差數(shù)列；Gn '的前n項和為Sn，且S4 = 4S2, a2n =2an T.（i）求數(shù)列a ?的通項公式;（2）若數(shù)列江：滿足b 2.baia2ann N ,求的前n項和Tn.15.已知等差數(shù)列 玄是遞增數(shù)列，且滿足 a4 a7 =15 , a3 a8 = 8.（1）求數(shù)列2n ?的通項公式;AA（2）令 bn 一 （n_2）， b1 二一，求數(shù)列、bn?的前 n 項和 Sn.9anan316.已知數(shù)列：an 的前n項和為Sn，且Sn = 2an T ;數(shù)列滿足 bnv bn 二 bnbn/n 2, n NJ,bj = 1.(1)求數(shù)列 & X 虹的通項公式；(2)求數(shù)列比'> 的前n項和Tn. bn17.在等比數(shù)列沖，ai 0 , n N ,且a3-