應(yīng)用泛函分析教案

1、 §4 柯西點(diǎn)列和完備度量空間教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 掌握柯西點(diǎn)列、完備度量空間的概念，學(xué)會(huì)使用概念和完備度量空間的充要條件判別完備度量空間. 教學(xué)過(guò)程： 設(shè)是中的點(diǎn)列，若0，s.t.當(dāng)時(shí)，有=，則稱(chēng)是中的柯西點(diǎn)列. Def 1 設(shè)=(，)是度量空間，是中的點(diǎn)列. 若0,，s.t.當(dāng)時(shí)，有，則稱(chēng)是中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列. 若度量空間(，)中每個(gè)柯西點(diǎn)列都收斂，則稱(chēng)(，)是完備的度量空間. 有理數(shù)的全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備，如點(diǎn)列1, 1.4, 1,41, 在中收斂于，在有理數(shù)集中不收斂. 但度量空間中每一個(gè)收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列. 實(shí)因若，則0, ，s.t.當(dāng)時(shí)，都有

2、.因此當(dāng)時(shí)，有+. 所以是柯西點(diǎn)列.例2 (表有界實(shí)或復(fù)數(shù)列全體)是完備度量空間. 證明 設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，其中=.0, ，s.t.當(dāng)時(shí)，都有 = (1)因此對(duì)每個(gè)固定的，當(dāng)時(shí)，成立20 / 24 (2)于是，是柯西數(shù)列. 由于實(shí)數(shù)集或復(fù)數(shù)集按差的絕對(duì)值定義距離是完備的，故存在實(shí)或復(fù)數(shù)，s.t. ()令=，往證且. 在(2)中，令，得時(shí)，成立 (3)因?yàn)?，所以0，s.t. ，成立(不同的數(shù)列，界可能不一樣). 所以 +. 所以. 由(3)知，時(shí)，成立. 所以. 所以是完備度量空間. 例2 令表示所有收斂的實(shí)或復(fù)數(shù)列的全體，=， =，令 =. 則 0且=時(shí)，=0. 又=0 =(). 于是=0

3、=. =，則由于對(duì)，成立 +=+. 所以+. 即+. 所以可定義為中兩點(diǎn)間的距離. 于是按距離成為度量空間(實(shí)際上是的一個(gè)子空間). 欲證是完備度量空間，先證 Th 1 完備度量空間的子空間是完備度量空間 是中的閉子空間. 證明 設(shè)是完備子空間，對(duì)每個(gè)，中點(diǎn)列，使. 所以是中柯西點(diǎn)列. 所以它在中收斂. 由極限的唯一性，所以. 所以. 即是中的閉子空間. 反之，若是中柯西點(diǎn)列，因是完備度量空間，則在中收斂. 即，s.t. .因?yàn)槭侵械拈]子空間，所以，所以在中收斂. 于是是完備度量空間. 例2的證明 由Th 1 只證是中的閉子空間即可. =(要證，從而)，=()，s.t. . 所以0，s.t.當(dāng)

4、時(shí)，成立 =.特別取，則對(duì)，成立 .因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，收斂. 故，s.t. ,時(shí)，成立 . 所以,時(shí)，成立 +=.所以是柯西數(shù)列，因而收斂. 所以=. 所以是中的閉子空間. 由Th 1，是完備度量空間. 證畢. 作業(yè)： 206. 14. 15中的. 作業(yè)題解： 14 =1，s.t.當(dāng)時(shí)，有1, 特別當(dāng)時(shí)，有1. 又時(shí)，只有有限個(gè)值故0,s.t. . 因此，成立 +. 所以是有界點(diǎn)列. 15設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，=. 即0,， s.t.時(shí)，成立 = ()所以，時(shí)，成立 . 因?yàn)榻o0， 對(duì)于每個(gè)固定的，：0，然后由這個(gè)，按不等式()，. 所以時(shí)，對(duì)這個(gè)固定的，成立. 所以 (). 所以是實(shí)(復(fù))數(shù)集中的

5、柯西點(diǎn)列. 而實(shí)(復(fù))數(shù)集完備, 所以收斂，設(shè)(). 記=，則. 而，所以完備. 設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，=，.0，s.t.當(dāng)時(shí)，成立. 所以及，成立 . ()因此在集上，函數(shù)列收斂，設(shè). 由()式，令得時(shí)，. 所以時(shí)，+(由于收斂，從而存在). 所以，又已證所以是完備度量空間. 柯西點(diǎn)列和完備度量空間(續(xù)) 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 再次鞏固上次課學(xué)習(xí)的概念與定理，進(jìn)一步掌握使用概念及定理判別完備度量空間的常用方法. 教學(xué)過(guò)程： 是完備的度量空間. 證明 設(shè) ， 是中的柯西點(diǎn)列. 0，s.t.當(dāng)時(shí)，成立 . (4)所以，有. 于是當(dāng)固定時(shí)，是柯西數(shù)列.由實(shí)(復(fù))數(shù)集的完備性，s.t. 往證

6、，實(shí)因在(4)中令，得知時(shí)，成立 . (5)所以在上一致收斂于，從而. 由(5)，當(dāng)時(shí)，=. 所以 ，故是完備度量空間. 令表示閉區(qū)間上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體,作為的子空間是不完備的度量空間. 實(shí)因多項(xiàng)式列 在閉區(qū)間上一致收斂于連續(xù)的指數(shù)函數(shù)，但非多項(xiàng)式. 即不是的閉子空間. 由Th 1，不是完備度量空間. 證畢. 設(shè)表示閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)，令 =.易知成為度量空間. 實(shí)因 顯然 0. 若時(shí)，從而=0. 反之若=0，即=0. 因0，故= 于. 又因相等的連續(xù)函數(shù)必然處處相等，故. 總之0且=0. =+ =+.所以是度量空間.例5 上面定義的度量空間不完備.證明 令 =先證是中的柯西點(diǎn)列. 實(shí)因

7、，當(dāng)時(shí)，=. 所以點(diǎn)列是中的柯西點(diǎn)列. 再證點(diǎn)列在中不收斂. 實(shí)因?qū)γ總€(gè)，=+. 若0, 必有 =0. 但由于在閉區(qū)間上連續(xù)，得在恒為0，在恒為1. 與在=間斷相矛盾. 故是不完備的度量空間. 作業(yè)： 206. 15.、離散空間. 作業(yè)解答： 設(shè)是中的基本點(diǎn)列，0，有=. 0，s.t. ，有. 從而. 所以 0 . 由此可找到自然數(shù)列：，s.t. 對(duì)都成立. 記=, 再令=，則- =，=. 令，得=0. 所以=. 顯見(jiàn)在上處處收斂于一個(gè)極限函數(shù)，記這個(gè)極限函數(shù)為. 令 =則為上的可測(cè)函數(shù)，故. 當(dāng)時(shí)，由 =，令，由勒貝格有界收斂定理，得 . 所以. 故是完備的度量空間.§5.度量空間

8、的完備化 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 使學(xué)生掌握度量空間的完備化定理的條件、結(jié)論及其證明方法. 教學(xué)過(guò)程： Der 1 設(shè)(,)，(,)是兩個(gè)度量空間，若存在到上的保距映照(,，有(,)=(,)，則稱(chēng)(,)和(,)等距同構(gòu)，此時(shí)稱(chēng)為到上的等距同構(gòu)映照(既映上又保距). 等距同構(gòu)映照是1-1映照. 實(shí)因設(shè),，且，則因(,)0及(,)=(,)0，知. 在泛函分析中往往把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一個(gè)度量空間. Th 1 (度量空間完備化定理) 設(shè)=(,)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間=(,)，使與的其個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若(,)也是一完備

9、度量空間，且與的其個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則(,)與(,)等距同構(gòu). 證明 分4步完成.(1)構(gòu)造=(,).令為中柯西點(diǎn)列=全體，對(duì)中任意兩個(gè)元素=和=，若 =0， (1)則稱(chēng)與相等，記為=，或=. =，=，定義 (,)=. (2) 首先指出(2)式右端極限存在. 實(shí)因由三點(diǎn)不等式+，所以 -+.同理 -+.所以 |-|+. (3)因?yàn)楹褪侵械目挛鼽c(diǎn)列，所以是中柯西數(shù)列,所以(2)式在端極限存在. 其次指出：若=，=，則=，即(,)與用來(lái)表示,具體柯西點(diǎn)列，無(wú)關(guān). 實(shí)因仿(3)式之證法，得 |-|+.由 =0和=0， 可得 =. 最后證明 滿足關(guān)于距離條件及： 顯然 =0. 又=0 =0 =.

10、=，=，=， 則 ，故，即 . 所以按成度量空間. (2)作的稠密子空間及到的等距映照 ，令=，其中=，顯然. 令=，=. 因?yàn)?=，所以是到上的等距映照. 在與等距同構(gòu)之下往證是中的稠密子集. =, 令=，其中=，則. 因=是中的柯西點(diǎn)列，故0，s.t. 時(shí)，有 . 于是=. 即在 中必有中的點(diǎn)， 故在中稠密. (3)證明是完備的度量空間 設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，因?yàn)樵谥谐砻?，所以?duì)每個(gè)，s.t. . (4)所以 ，所以是中柯西點(diǎn)列. 因?yàn)槭堑缴系牡染嘤痴眨允侵锌挛鼽c(diǎn)列. 令=，則. 由(4)式，有 =0 ().所以 =0，所以是完備度量空間. (4) 證明的唯一性 設(shè)是另一個(gè)完備度量空間，且

11、與中稠密子集等距同構(gòu). 作到上映照如下： 對(duì)，由于在中稠密，中點(diǎn)列，s.t.但由于與等距同構(gòu)，也與等距同構(gòu)，從而與也等距同構(gòu). 設(shè)為到上等距同構(gòu)映照，由知是中柯西點(diǎn)列，由完備性，s.t. 令=. 首先，這樣定義的與無(wú)關(guān)， 即若另有，則 =. 實(shí)因 =0. 所以=. 下證是到上的等距同構(gòu)映照, 對(duì)，由于是的稠密子集，所以存在中點(diǎn)列，s.t. 同前證明可知為中的柯西點(diǎn)對(duì)，有，s.t. 易知=，即映照到上. 又對(duì)，有中點(diǎn)列和， s.t. ，. 所以 =，所以是一個(gè)等距同構(gòu)映照. 所以與等距同構(gòu). 證畢. 若將彼此等距同構(gòu)的度量空間視為同一空間，則有 Th 設(shè)=是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間=

12、使為的稠密子空間. 作業(yè)：206.16.證明與的一個(gè)子空間等距同構(gòu). 作業(yè)提示： 作到內(nèi)的映照：，其中=，; 取的其它值時(shí)，是線性的. 后面證明略.§6壓縮映照原理及其應(yīng)用(1) 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 掌握壓縮映照概念，掌握不動(dòng)點(diǎn)概念，掌握壓縮映照定理的證明方法，學(xué)會(huì)用壓縮映照定理解決隱函數(shù)存在性、微分方程解之存在性的方法. 教學(xué)過(guò)程： Def 1. 設(shè)是度量空間，是到中的壓映照，若存在一個(gè)數(shù)：01，s.t. 、，成立 (1)則稱(chēng)是到中的壓縮映照(簡(jiǎn)稱(chēng)壓縮映照). Th 1.(壓縮映照定理) 設(shè)是完備度量空間，是上的壓縮映照，則有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(即方程有且只有一個(gè)解).

13、 證： 固定，令 =，=，=， 則是中的柯西點(diǎn)列， 實(shí)因 =. (2) 由三點(diǎn)不等式，當(dāng)時(shí)，()=. 因?yàn)?1，所以，所以 () (3)所以當(dāng)，時(shí)，. 所以是中的柯西點(diǎn)列. 由完備性， 存在，s.t. . 由三點(diǎn)不等式和條件(1)，有 0 (). 所以=0，所以 =. 往證唯一性. 若又有，s.t. ，則由條件(1)，得=，0. 又因?yàn)?，所以=0，所以=. 證畢. Th 2. 設(shè)函數(shù)在帶狀域，中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，若存在常數(shù)和， 滿足 ，0， 則方程 =0 在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解：0，. 證 在完備度量空間中作映照，s.t. ，有=. 因?yàn)檫B續(xù)，所以也連續(xù)，所以. 所以

14、是到自身的映照. 取，= =(01)， 0=1. 令=1-，則01，且 . 所以 ，所以. 所以是壓縮映照. 由Th 1，存在唯一的，滿足，即 0，. 證畢. Th 3.(Picard) 設(shè)是矩形 =上的二元連續(xù)函數(shù)，設(shè)，. 又在上關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，s.t.、，有 (4)則方程 = 在區(qū)間=上有唯一的滿足條件=的連續(xù)函數(shù)的解，其中 . (5) 證 連續(xù)函數(shù)空間是完備度量空間，用表示中滿足條件 | () (6)的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間，顯然是閉子空間. 由§4.Th 1, 是完備度量空間. 令 =， (7)則是到中的映照. 實(shí)因 ，若，則當(dāng)時(shí)，又因在上二元連

15、續(xù)，所以(7)式右邊積分有意義. 又對(duì)，成立 =，所以當(dāng)時(shí)，. 是壓縮映照. 實(shí)因由Lipschitz條件(4)，對(duì)中任意兩點(diǎn)和，有 =. 令=，則01，且 =. 即是上的壓縮映照. 由Th 1，存在唯一，s.t.，即 =， (8)且. 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 . 故是方程 =的解. 若又有也是方程 = 滿足初值條件的解，則因=，所以且是不動(dòng)點(diǎn)，所以=. 作業(yè)： 206.17.有界閉集，是到自身映照， ，有. 證明映照在中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn). 作業(yè)提示：令 =，. ，因?yàn)?=. 所以時(shí)必有. 即在連續(xù). 所以存在，s.t. =. 顯然0. 往證=0. 用反證法，設(shè)0，則由，= 與=矛盾. 所以=0. 于

16、是=0，有=. 即為之不動(dòng)點(diǎn). 因?yàn)?，?， 只要，就有，從而必有，所以不動(dòng)點(diǎn)唯一.§6.壓縮映照原理及其應(yīng)用(2). 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 習(xí)題課 目的要求： 在掌握壓縮映照原理之后，重點(diǎn)掌握應(yīng)用壓縮映照原理的常用方法. 教學(xué)過(guò)程： 1、 設(shè)為完備度量空間，是到中的映照，記=，若，則映照有唯一不動(dòng)點(diǎn). 證 因?yàn)?，所以時(shí)，. 又時(shí)，上式也成立. 因此對(duì)，恒有. 因?yàn)?，所?，s.t.：時(shí)，有 . 又至少有一個(gè). 固定，依次令 =，=，=，=則 =， =， =.所以 ().所以是中的柯西點(diǎn)列. 因?yàn)槭峭陚涠攘靠臻g，所以，s.t. 所以 =0 . 所以 =0， 所以 ，且. 再設(shè)又有，

17、s.t. =，則=. 因?yàn)?，所以=0，所以. 證畢. 2、 設(shè)為完備度量空間到中的映照， 若在開(kāi)球內(nèi)適合 ，01，又在閉球=連續(xù)，且 . 證明在中有唯一的不動(dòng)點(diǎn). 證 因?yàn)?，? 設(shè)在球面上：=. 令且，所以 . 因?yàn)檫B續(xù)，所以. 又因距離連續(xù)，所以于上式令，得 .同理當(dāng)在球面上：=，而時(shí)，也有. 再設(shè),均在球面上，取，且,，由，令，得. 到此已證出，均有 . 因是中的一個(gè)閉子集，而為完備度量空間，故也是中的一個(gè)完備的子空間. 往下只要證明在中央到自身的映照. 設(shè)，則. =，所以. 畢. 3、設(shè)，,=為一組實(shí)數(shù)，適合條件1，其中=時(shí)，=1，否則=0. 證明代數(shù)方程組對(duì)任何一組固定的必有唯一的一組解. 證 在完備度量空間中，令