基于Peclet數(shù)判別法的一維對流擴散方程分類研究

1、基于Peclet數(shù)判別法的一維對流擴散方程分類研究摘要：采用Peclet數(shù)的絕對值大小來判別一維對流擴散方程為對流占優(yōu)型或是擴散占優(yōu)型方程，運用三種隱式差分格式中心隱式格式、對流C-N型格式和擴散C-N格式，對不同Peclet數(shù)的算例進(jìn)行離散和求解。然后，將計算區(qū)域中所有節(jié)點的解析解與數(shù)值解表示成矩陣形式，并求解出它們的矩陣2范數(shù)之后作比較，兩者越接近則代表差分格式精度越高。通過比較得出了當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對值小于等于0.5時，方程為擴散占優(yōu)型方程。在離散方法選取方面，針對擴散項的離散可以采用更高精度的差分格式，如擴散C-N格式；當(dāng)Peclet數(shù)的絕對值大于等于20時，方程為對流占優(yōu)型方

2、程。此時，針對對流項可以采用更高精度的差分格式，如對流C-N格式；當(dāng)Peclet數(shù)的絕對值介于0.5與20之間時，無法用Peclet數(shù)判斷方程類型,不過可以選擇折衷的離散格式減小誤差，如中心隱式格式。關(guān)鍵字：一維對流擴散方程 Peclet數(shù)判別法 有限差分方法 數(shù)值模擬MR(2010)主題分類號：39A14；65M06 中圖分類號：O242.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 1.引言 一維對流擴散方程是描述流體流動和傳熱問題的一類線性化模型方程。土壤、大氣等多孔介質(zhì)中水、鹽分、溫度以及污染物質(zhì)的對流擴散問題都會遇到此類方程。在一維對流擴散方程的求解過程中，反映流體對流和擴散兩種物理作用的分別是對流項和擴散

3、項。所以，根據(jù)方程中對流項還是擴散項占主導(dǎo)作用，通?？蓪⒎匠谭譃閷α髡純?yōu)型和擴散占優(yōu)型兩類方程。然而，要想得到精確度較高的數(shù)值結(jié)果，這兩種類型方程的離散方法不能采用相同的離散格式。因此，需要有一種判別方法來判斷方程的類型，關(guān)于對流占優(yōu)型和擴散占優(yōu)型方程的判別方法一直是近年來研究的熱點問題。這對研究不同類型的方程使用合適的差分格式進(jìn)行離散具有實際的意義。由于Peclet數(shù)的絕對值表示了對流作用相對擴散作用的大小，即絕大，擴散所起的作用就可以忽略。反之，當(dāng)Peclet數(shù)為零時，方程就為純擴散方程。本文選用一維定解非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程為例，通過考察Peclet數(shù)的絕對值大小來對方程進(jìn)行分類，方程一般形

4、式如下：其中和分別代表對流項系數(shù)和擴散項系數(shù)。假定求解區(qū)間長度為， Peclet數(shù)的絕對值計算公式為：從公式（2）中可以看出，當(dāng)計算區(qū)間長度給定，Peclet數(shù)是由對流和擴散系數(shù)確定的。下面介紹方程（1）的離散方法。2. 離散方法2.1 顯式格式離散對于上述方程（1），需要離散非穩(wěn)態(tài)項（簡稱U項）、對流項（簡稱C項）和擴散項（簡稱D項）。常見的離散方法有顯式格式和隱式格式兩種。顯式格式有：中心顯式格式、修正中心顯式格式、迎風(fēng)差分格式等。比如，以中心顯式格式為例，即使用向前差分格式、一階中心差分格式與二階中心差分格式組合分別離散U項、C項和D項。其離散形式如下：其截斷誤差為。然而，由von Ne

5、umann判別條件判斷此種格式將受到穩(wěn)定性條件的限制，即：。相應(yīng)其它顯式格式同樣有穩(wěn)定性條件限制。所以，顯示格式時間步長和空間步長取值將受到限制。因此，若采用顯式格式求解一維非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程問題，得到的數(shù)值解精度將受到限制，甚至誤差很大。所以，顯式格式的離散效果欠佳，為了彌補它的缺陷，嘗試采用無條件穩(wěn)定的隱式格式離散（1）式。2.2隱式格式離散常見的隱式格式有三種：向后差分格式、一階中心差分與二階中心差分組合（簡稱中心隱式格式）；向后差分格式、C-N型一階中心差分與二階中心差分組合（簡稱對流C-N型格式）；向后差分格式、一階中心差分與C-N型二階中心差分組合（簡稱擴散C-N型格式）。三種隱式

6、格式的離散形式如下：1）中心隱式格式：2）對流C-N型格式： 3）擴散C-N型格式： 由von Neumann條件判斷上述三種隱式格式均為無條件穩(wěn)定的格式，即在網(wǎng)格系統(tǒng)較為粗糙時，也不會產(chǎn)生數(shù)值震蕩現(xiàn)象。下面將給出上述三種差分格式的穩(wěn)定性分析。3.穩(wěn)定性分析將（4）（6）式分別按網(wǎng)格節(jié)點排列如下：其中網(wǎng)格比。假定其中。把（7）式代入式并消去公因子，容易求出上述四式的增長因子分別為：可以看出，式的值均小于等于1。因此，滿足von Neumann判別條件。所以三種隱式格式均無條件穩(wěn)定。4.數(shù)值算例 為了通過Peclet數(shù)判別法討論一維對流擴散方程的分類，運用上述（4）（6）式的三種離散格式進(jìn)行了大

7、量實例計算。本文列舉其中部分?jǐn)?shù)值算例如下。為了討論的必要，所有算例的計算區(qū)間長度s均取1m，模擬時間取1s；時間步長取0.1s，每個算例的空間步長分別取0.2m，0.1m，0.05m進(jìn)行比較計算。 按照方程（1），算例的條件依次如下：例1例 2例 3例 4例 5例 6例 7例 8例 9例 10例 11 下表為以上11個算例在使用三種格式離散和取不同空間步長的情況下，得到的解析解與數(shù)值解矩陣2范數(shù)之差的絕對值。這些數(shù)值能反映出各差分格式的數(shù)值解精度。當(dāng)2范數(shù)越小，代表數(shù)值解越接近于解析解，反之亦然。表1 三種格式在三種不同空間步長下的解析解與數(shù)值解矩陣2范數(shù)之差的絕對值Tab.1 the abs

8、olute of difference of exact solution matrix and numerical solution matrixs 2-norm under three different spacestep by three schemeshPeclet數(shù)絕對值中心隱式格式對流C-N格式擴散C-N格式0.2算例11005.715e-65.0108e-65.7789e-60.17.3631e-66.8768e-67.2649e-60.051.0115e-69.3392e-61.0084e-60.2算例2200.0120020.000511530.00592290.10.01

9、58790.00317840.00742520.050.0220520.00589420.0101580.2算例31060.55293.58791.8240.1110.07117.73106.860.0560.55276.31648.4110.2算例4105.12835.13945.01080.12.4.412.3532.14110.051.28561.15240.886650.2算例550.00226370.570920.0017710.10.00113510.909590.00201850.050.00356211.34790.00491990.2算例610.714370.996170.7

10、39970.11.0071.40611.04570.051.41861.98311.47450.2算例710.0130450.00915660.00534970.10.018290.0128420.00649140.050.0256310.0181490.00858280.2算例810.00336830.00294940.0310750.10.00465310.00395790.044150.050.00654120.00552060.0624970.2算例910.0188740.00178410.042020.10.0310240.00109740.0671760.050.0462770.0

11、00995370.0995350.2算例100.50.148410.147820.0374730.10.16940.168360.0100010.050.225370.223820.000924940.2算例110.440.169760.169060.0101480.10.216910.21570.00974850.050.298680.296890.022165從上表中可以發(fā)現(xiàn)，在相同的條件下，一方面，當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對值為20或者以上時（算例1和算例2），對于不同取值的空間步長，對流C-N格式的精確度較之另外兩種格式都要高；另一方面，當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對值為0.5或者以下時（

12、算例10和算例11），擴散C-N格式的精確度則在不同空間步長取值下較之另外兩種格式要高；然而，當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對值介于0.5與20之間時，對流C-N格式與擴散C-N格式精度參差不齊。從表中也可以看出，當(dāng)方程的Peclet數(shù)絕對值為1（算例69）、5（算例5）和10（算例34）時，對流C-N格式與擴散C-N格式精度時高時低。不過中心差分格式的精度則介于對流C-N格式與擴散C-N格式之間（算例4，69），甚至還出現(xiàn)了中心差分格式的精度高于另外兩種格式（算例3和算例5）。因此，對于方程Peclet數(shù)的絕對值介于0.5與20之間時，采用中心隱式格式這類離散方法，即不對擴散項和對流項使用較高的離

13、散格式（比如C-N型格式），數(shù)值解的效果會更好一些。5.結(jié)論及拓展 針對一維非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程，通過上述11個算例的數(shù)值模擬，可以發(fā)現(xiàn)：Peclet數(shù)的絕對值在大于或等于20時，可以判定方程為對流占優(yōu)型方程，進(jìn)而可以利用諸如對流C-N型格式之類的對流占優(yōu)型格式；Peclet數(shù)的絕對值小于或等于0.5時，方程為擴散占優(yōu)型方程，方程的離散格式則可以使用諸如擴散C-N型格式之類的擴散占優(yōu)型格式。而當(dāng)Pectlet數(shù)的絕對值介于0.5與20之間時，此時無法用Peclet數(shù)判別法判斷方程的類型。此時在方程離散格式上，可以選取諸如中心隱式格式之類的差分格式，即不對擴散項和對流項采用更高精度的離散格式。 本

14、文在討論利用Peclet數(shù)判別法判定一維對流擴散方程時，所使用的離散方法還不盡完善。有待于繼續(xù)尋找更好的差分格式離散方程，從而有望縮小對流占優(yōu)型和擴散占優(yōu)型方程的界限。另外，Peclet判別法從一維對流擴散方程能否推廣到二維、三維方程，將做進(jìn)一步研究。參考文獻(xiàn)1 陶文銓. 數(shù)值傳熱學(xué)(第二版)M. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2006: 138-140.2 陸金甫, 關(guān)治. 偏微分方程數(shù)值解法(第二版)M. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004: 97-105.3 J.W.Thomas, Numerical Partial Differential Equations: Finite Diff

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19、diffusion-dominated equations by the size of absolute value of Peclet number.Adopting three implicit difference schemes which are included centeral difference scheme, Crannk-Nicolson scheme of diffusion and Crannk-Nicolson scheme of convection to scatter and sovle different Pcelet number of examples

20、.Then, 2-norm of exact solution matrix and numerical solution matrix can be sovled.If the smaller of their 2-norms of difference ,the higher of schemes accuracy. As a result, When the size of absolute value of Peclet number is great than or equal to 20,the equation is belong to convection-dominated equation.A higher accuracys scheme can be taken to disperse the convection item of equation.For example, the Cra