高考數(shù)學(xué)橢圓與雙曲線的經(jīng)典性質(zhì)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)- （必背的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組橢圓1. 點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1 F2 在點(diǎn) P 處的 外角 .2. PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相離 .4. 以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切 .5.x2y21上，則過x0 xy0 y1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓 22P0 的橢圓的切線方程是2b2aba6.x2y21外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則

2、切點(diǎn)弦P1P2 的直線方程若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓b2是 x0 xy0 ya21.a2b27.x2y21 (a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1， F 2，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)橢圓2b2a角形的面積為 S F1 PF2b2 tan.x2y228.1（ a b 0）的焦半徑公式：橢圓2b2a|MF1|aex0 , | MF2 |a ex0 ( F1 (c,0), F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F 作直線與橢圓相交P、Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于M 、 N

3、兩點(diǎn)，則 MF NF.10.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A2 為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M， A2P和 A 1Q 交于點(diǎn) N，則 MF NF.11.x2y21的不平行于對(duì)稱軸的弦， M ( x0 , y0 ) 為 AB 的中點(diǎn)，則 kOMkABb2AB 是橢圓2b2a2 ，a即K ABb2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0, y0 )在橢圓x2y21內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0x y0 yx0 2y0 2a22a2b2a2b2 .b13.若 P0 ( x0, y0 )在橢圓x2y21x2y2x0 x y0 ya22內(nèi)，

4、則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2b2a2b2 .ba雙曲線1. 點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角 .2. PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .4.以焦點(diǎn)半徑PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切 .（內(nèi)切： P 在右支；外切：P 在左支）5.x2y21（ a 0,b 0）上，則過 P0的雙曲線的切線方程是x0 xy0 y1.若 P0 (x0, y0 ) 在雙曲線b2a2b2a26.x2y21（ a 0,b 0）外 ，

5、則過 Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則若 P0 (x0, y0 ) 在雙曲線b2a2切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是x0xy0 y1.x2y2a2b27.1（ a 0,b o）的左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F 2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2，雙曲線b2a2則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S F1PF2b2co t.x2y228.1（ a 0,b o）的焦半徑公式： ( F1 (c,0), F2 (c,0)雙曲線b2a2當(dāng) M (x0 , y0 ) 在右支上時(shí)， | MF1 | ex0a ,| MF2 |ex0a .當(dāng) M (x0 , y0 ) 在左支上時(shí)， | MF1 |ex0a ,

6、 | MF2 |ex0a9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F 作直線與雙曲線相交P、Q 兩點(diǎn)， A 為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的雙曲線準(zhǔn)線于M 、N 兩點(diǎn)，則 MF NF.10.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A 2 為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M，A2P 和 A1Q 交于點(diǎn) N，則 MF NF.11.AB是雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M ( x0 , y0 ) 為 AB 的中點(diǎn)，則a2b2KOMK ABb2 x0 ，即 K ABb2 x0 。a 2 y0a2 y012.若 P0 (x0

7、, y0 )在 雙 曲 線 x2y21 （ a 0,b 0 ） 內(nèi) ， 則 被 Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是a2b2x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .x2y213.若 P0 ( x0 , y0 )在雙曲線1 （ a 0,b 0 ） 內(nèi) ， 則 過Po 的 弦 中 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 是a2b2x2y2x0 xy0 ya2b2a2b2 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)- （會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組橢圓1.x2y21（ a b o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1 ( a,0) , A2 ( a,0)，與 y 軸平行的直線交橢圓于P1、 P2 時(shí)橢圓ba22x2y2A 1

8、P1 與 A 2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是1.b2a22.過橢圓x2y21(a0,b 0)上任一點(diǎn) A( x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，a2b2b2 x0 （常數(shù)） .則直線 BC 有定向且kBCa2 y03.若P為橢圓x2y21 （ a b 0 ） 上 異于 長(zhǎng) 軸 端 點(diǎn) 的任一 點(diǎn) ,F1, F 2 是 焦 點(diǎn) ,PF1F2,a2b2PF2 F1actanco t .，則ca224.設(shè)橢圓x2y21（ ab 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、 F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2a2b2F1PF2,PF1 F2,F1F2Psinc中，記，則有sin

9、e.sina5.若橢圓x2y21（ ab 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L ，則當(dāng) 0 e 21 時(shí)，可在a2b2橢圓上求一點(diǎn)P，使得 PF1 是 P 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d 與 PF2 的比例中項(xiàng) .6. P 為橢圓x2y21 （ a b 0 ） 上 任 一 點(diǎn) ,F1,F2 為 二 焦 點(diǎn) ， A 為 橢 圓 內(nèi) 一 定 點(diǎn) ， 則a2b22a | AF2 |PA|PF1|2a| AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 .7.橢 圓( x x0 )2( y y0 )21 與 直 線 Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0B

10、y0 C )2 .8.x2y 21 （ a b 0 ）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPOQ .（ 1）已知橢圓2b2a111122的最大值為4a2b2;（ 3） S OPQ 的最小值是a2b22 .22a2b2 ;（ 2）|OP| +|OQ|a2b2a2b|OP| |OQ |9.x2y21（a b 0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于M,N 兩點(diǎn)，弦 MN 的垂直平分線交 x過橢圓b2a2軸于 P，則 |PF |e .|MN |210.已知橢圓x2y21（ ab 0） ,A 、 B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線與x 軸相交于點(diǎn)a2b2P( x0 ,0) ,a2b2

11、x0a2b2則aa.11.設(shè) P 點(diǎn)是橢圓x2y21（ a b 0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、 F2 為其焦點(diǎn)記F1PF2，則a2b2(1) | PF1 | PF2 |2b2.(2) S PF Fb2 tan .1cos12212.設(shè) A、B是 橢 圓x2y21 （a b 0 ） 的 長(zhǎng) 軸兩 端 點(diǎn) ， P 是 橢 圓 上 的一 點(diǎn) ，PAB,a2b2PBABPA分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) |PA|2ab2 |cos|,， c 、 ea 2c2co s2.(2)tan tan12.(3)S PAB2a2b2eb2a2 cot .13.已知橢圓x2y21（ ab 0）的右準(zhǔn)線 l

12、 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過橢圓右焦點(diǎn) F 的直線與橢圓相交a2b2于 A 、B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點(diǎn) .14. 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 .15.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦三角形中 , 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn). ）17.橢圓焦三角形中 , 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂

13、點(diǎn)連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中, 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組雙曲線1.x2y21（ a 0,b 0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1 (a,0) , A2 ( a,0) ，與 y 軸平行的直線交雙曲線于雙曲線b2a2x2y 2P1、 P2 時(shí) A1P1 與 A 2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是1.a2b2x2y22.1（ a 0,b o）上任一點(diǎn)A( x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于過雙曲線b2a2b2 x0 （常數(shù)） .B,C 兩點(diǎn)，則直線BC 有定向且 kBCa2 y03.若 P為雙曲線x

14、2y21（ a 0,b 0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn) ,F1, F 2是焦點(diǎn) , PF1 F2,a2b2PF2F1，則 catanco t（或 catan co t） .ca22ca22x 24. 設(shè)雙曲線1（ a 0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，a 22y2b在 PF1F2 中，記F1PF2,PF1F2, F1 F2 Psinc，則有sin )e.(sina5.若雙曲線x2y 21 （a 0,b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 、 F2，左準(zhǔn)線為 L ，則當(dāng) 1 e 2 1a2b2時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得 PF1 是 P 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d

15、與 PF2 的比例中項(xiàng) .6.P 為雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ）上任一點(diǎn) ,F1,F2為二焦點(diǎn)， A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則a2b2|AF2|2a|PA| PF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點(diǎn)共線且 P 和 A, F2 在 y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立 .7.雙 曲 線x2y21 （ a 0,b 0 ） 與 直 線 AxBy C 0 有 公 共 點(diǎn) 的 充 要 條 件 是a2b2A2 a 2B2 b2C 2 .8.已知雙曲線x2y21（ b a 0）， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q 為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ.a2b2（ 1）111 1224a 2b2a2b22 .22a2b2;

16、（2）|OP| +|OQ|的最小值為b2a2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是2a|OP | |OQ |b9.x2y21（ a 0,b 0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該雙曲線的右支于M,N 兩點(diǎn)，弦 MN 的垂過雙曲線b2a2直平分線交 x 軸于 P，則 | PF |e .|MN |210.x2y21（ a 0,b 0） ,A 、 B 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線與x 軸相已知雙曲線b2a2a2b2a2b2交于點(diǎn) P( x0 ,0),則 x0或 x0a.a11.設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線x2y21（ a 0,b 0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2 為其焦點(diǎn)記F1PF2，a2b2則 (1)

17、 | PF1 | PF2 |2b2.(2)S PFFb2 cot .1cos12212.設(shè) A、Bx2y21（ a 0,b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， P是雙曲線上的一點(diǎn)，PAB,是雙曲線2b2a2ab2 | cosPBA,BPA， c、e 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)|.| PA|c2co s2| a2|(2)tantan122a2b2e .(3)S PAB2a2 cot .b13.x2y21（ a 0,b 0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過雙曲線右焦點(diǎn)F 的直線與已知雙曲線b2a2雙曲線相交于 A 、 B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF的中點(diǎn) .14.