2016中國西部數(shù)學(xué)邀請賽

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 2016中國西部數(shù)學(xué)邀請賽 1.設(shè)實數(shù)abcd、滿足0abcd?，證明：存在abcd、的一個排列xyzw、，有?222222()xzywxyzw?. 1取,xz為abcd、中最大的兩個，yw、為abcd、中最小的兩個。 下面證明這樣的排列滿足要求。 事實上，由?222222()()xyzwxzywxwyz?， 只需證明：22()()xzywxwyz?，即證：|xzywxwyz?. 因為0xyzw?，所以，xz、的符號相同，yw、的符號相同。 注意到，當(dāng)同時改變xz、或yw、的符號時，式不變。 因此，可不妨設(shè)xyzw、均大于0. 此時，|max,|xzywxzywxzxw

2、yzxwyz? 2.如圖1，設(shè)1 O與2 O交于點PQ、，它們的一條外公切線分別與1 O、2 O切于點AB、，過點AB、的圓?分別與1 O、2 O交于點DC、. 證明：CPDPCQDQ? 2.如圖3，聯(lián)結(jié),ADPQBCAPAQBPBQ, 由蒙日定理，知ADQPBC、交于一點，設(shè)為K. 由DPKPKPDCKAQAQKA?, 由APKAKPAKDQDQKQ? 于是，APDPKPAQDQKQ? 同理：BPCPKPBQCQKQ?， 從而APDPBPCPAQDQBQCQ? 延長PQ，與AB交于點M 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 由AQMPAM? 2AQAMQMAQAMQMQMAPPMAMAPPMAMPM? 同

3、理：2BQQMBPPM? ，從而AQBQAPBP? 由式，得DPCPDQCQ? 3.給定正整數(shù)2nkkn?、（）.設(shè)實數(shù)集?12,naa a的任意k元子集的元素和的絕對值不超過1，證明：若1|1a?，則對任意的(2)iin?，有12iaa? 3.不妨設(shè)11a?，此時要證結(jié)論成立，只要證明對任意的(2)jjn?， 有12jaa?，且12jaa? 記?12,nn ?，. 先證12jaa?，設(shè)2jn?，取?n的兩個k元子集IJ、，使得1,IJJIj?. 由條件知11,1sssIsJaa?. 將這兩個不等式作差得：1122jjaaaa?. 再證12jaa? 記|0iSina?.則1S?，假設(shè)|Sk?，

4、取S的一個k元子集I，使得1I?. 由條件知：?11010ssIaa?矛盾，則|1Sk?. 從而，()|2nSjnk? ?. 這樣，存在1,ijnj?，使得0,0ijaa?. 現(xiàn)選取?n的兩個k元子集II?、，使得?1,IIjIIij?. 由條件知1,1sssIsIaa?. 以上兩個不等式相減得：12jijaaaa? 故1122jijaaaaa?. 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 4.定義n元整數(shù)組的一次變換為?121122311,nnnnnaaaaaaaaaaaa? ?. 求所有的正整數(shù)對?2nknk?，、，滿足對任意的n元整數(shù)數(shù)組?12,naa a，在有限次變換后所得數(shù)組中每一個數(shù)均為k的倍數(shù)（張

5、新澤供題） 4.?(,)2,2,pqnkpq?Z. 先證明一個引理 引理：記n元整數(shù)數(shù)組?12,naa a 經(jīng)過t次變換后所得的數(shù)組為?()()()12,ttntaa a，則()0(1,2,)ttjiijtjaaCin? ?. 證明：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)1t?時，結(jié)論顯然成立. 設(shè)()0(1,2,)ttjiijtjaaCin? ?. 則(1)()()1100CCtttttjjiiiijtijtjjaaaaa? ?1011110ttjjtjitijttiitijtjjaCaCCaCaC? 引理得證. 接下來證明,nk均為2的冪。 注意到，每次變換后所得的n個數(shù)之和為原n個數(shù)之和的2倍. 令1231

6、,0naaaa? ?，由題設(shè)，經(jīng)過有限次（不妨設(shè)為m次）變換后所得的每個數(shù)均為k的倍數(shù)，由前可知m次變換后所得的n個數(shù)之和為2m.故|2mk，即k為2的冪。 于是，m次變換后所得的每個數(shù)均為2的倍數(shù).進(jìn)而，以后的每次變換后所得的數(shù)均為2的倍數(shù). 取?2sms?Z. 注意到，?412212121ssiisCCii?為偶數(shù) 則經(jīng)過2s次變換后，?211120(mod2)ssaaa? 所以：1121saa? 于是，即|2sn，從而n為2的冪 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 下面說明當(dāng)：?(,)2,2,pqnkpq?Z時，任意n元整數(shù)數(shù)組?12,naa a均能經(jīng)過有限次變換后使得到的每個數(shù)均為k的倍數(shù). 事實

7、上，結(jié)合引理與結(jié)論，對數(shù)組?12,naa a經(jīng)過2pn?次變換后，有()0(mod2)(1,2,)niiinaaain? ? 再將()()()1211 1,222nnnnaaa?經(jīng)過2p n?次變換得到的每個數(shù)也均為偶數(shù)， 即(2)0(mod4)(1,2,)niain? . 由歸納原理有：?()0mod2(1,2,)qnqiain?，即每個數(shù)均為2qk?的倍數(shù). 綜上，結(jié)論成立. 5.證明：存在無窮多個正整數(shù)數(shù)組?,abc，滿足abc、兩兩互素，且abcbcacab?、兩兩互素.（張端陽供題） 5.取正整數(shù)k滿足1k?不為5的倍數(shù). 下面證明正整數(shù)數(shù)組?21221kkk?，滿足題中要求. 事實

8、上，顯然21221kkk?、兩兩互素， 222(21)2(21)41,2(21)(21)441,(21)(21)2421kkkkkkkkkkkkkk? 而241k?為奇數(shù)，則?222241,44141,4241,21(2,21)1kkkkkkkk? 又1k?不為的倍數(shù)， 所以：?222241,42141,2241,1(5,1)1kkkkkkkk? 注意到：?222441,421441,21kkkkkkk? 從而(21,2,21)k kk?確實滿足題中要求. 因此，滿足題中要求的正整數(shù)數(shù)組有無窮多個. 6.設(shè)12,naaa為n個非負(fù)實數(shù)，記1(1)kkiiSakn?.證明：?2211nnniij

9、iiijiiaSaaS? 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 6.注意到：22111jnnniijjiiijijiaSaaaS? 故要證不等式，只要證明222111jnnjiijjjijaaSaS?. 對1jn?，比較上式兩端2ja的系數(shù)，要使得上式成立，只要21jiijiaSS? 事實上：211jjiiijjiiaSaSS?，所以成立， 從而，不等式成立. 7.如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BACDAC?，設(shè)1 O、2 O，分別為ABCADC?、 的內(nèi)切圓。證明：1 O與2 O的某一條外公切線與BD平行. 7.如圖4，設(shè)I為ABD?的內(nèi)心，聯(lián)結(jié)BI. 過I作1 O的一條切線，切點為E，與AB交于點M

10、. 由熟知的結(jié)論及圓外切四邊形對邊長度之和相等，知 ,CICBCIMBCBMIMBMIMBIMIB? 注意到，I為ABD?的內(nèi)心. 則/MBIDBIMIBDBIIEBD?. 類似地，過點I作2 O的一條切線，切點為F，有/IFBD. 因此，EIF、三點共線，即1 O與2 O的一條外公切線EF與BD平行. 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 8.給定整數(shù)?21mnmnmn?、，求最小的整數(shù)k，滿足對集合?1,2, ,n的任意m元子集I，若iIik?，則存在n個實數(shù)12naaa? ? ，使得111niiiIiaamn? 8. 滿足條件的最小整數(shù)為12mnmnk? 先證明：當(dāng)12mnmnk?時滿足條件. 對集合

11、?12, n，的滿足iIik?的m元子集I， 設(shè)?1212,1mmIiiiiiin? ?. 記?x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù). 由?,1mn? ，得：1111111(1)()(1)(1)22mmmirrnnnrrmrnmmmm? 11(1)1mmrrrnrkim? 從而，存在1rm? ，使得(1)1rnirm? 取1110,1rriiiinaaaaa? ?， 則11iiImramm? ，111nriiniann? 由(1)1rnirm?及ri 為整數(shù)得：(1)1rnirm?， 于是111niiiIiaamn?結(jié)論成立 再證明：當(dāng)12mnmnk?時不滿足條件 取(1)1(1,2,)rnirrmm

12、? ?，則?12,1,2,mIiiin? ?， 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 且與前面類似得112imnmnik? 對n個實數(shù)12naaa? ?，有?111111111rrmrminmnmiiiirrimiriiiiraaaaiiani? 1mijjnam? 于是，111niiiiIaanm?，結(jié)論不成立， 綜上，所求最小整數(shù)12mnmnk? 附本屆邀請賽預(yù)選題 1.證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得12nnn?、均無平方因子. 1.考慮集合()An? 1,mmnm?Z，存在奇素數(shù)p，使得2|pm， 則2222|()|11111111135711Ann? ? 2282448111925491113?

13、? 8244811111925491011131482448931925491041000? 其中，第二個不等式用到了伯努利不等式 所以：|()|1141000Ann? 考慮所有1(mod4)k?的正整數(shù)（,1,2kkk?均不大能被4整除） 下面用反證法證明：形如1(mod4)k?的數(shù)中，存在無窮多個使得,1,2kkk?均無平方因子。 假設(shè)形如1(mod4)k?的正整數(shù)中，使得,1,2kkk?均無平方因子的數(shù)只有有限個，不妨設(shè)有l(wèi)個。則對充分大的正整數(shù)m，在數(shù)組?123,567,434241mmm? ?，中，至少有ml?個數(shù)組中有一個數(shù)在集合?4Am 中，此時，|(4)|1444Ammllmm

14、m? ? ?1111122(1)1(1)11jjnmmmijiiiiijijijjniaiaanaajaanam?實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 當(dāng)m 充分大時，111441000lm?，結(jié)合式知矛盾。 從而，存在無窮多個正整數(shù)n，使得12nnn?、均無平方因子. 2.如圖5，在ABC?中，P為BAC?平分線上的一點.設(shè)12HH、分別為APBAPC?、的垂心，M為線段12HH的中點。證明：AMBC? 2.如圖6，過點A作AHBC?于點H 原題等價于證明：直線AH經(jīng)過線段12HH的中點，這只需證明點12,HH到直線AH的距離相等，即 2211sinsinAHHAHAHHAH? 事實上，由垂心的性質(zhì)得 2

15、tantan2PCPCAHBACPAC?（1） 1tantan2PBPBAHBACPAB? 又由2,CPAHAHBC?，知2HAHPCB? 類似地，1HAHPBC? 于是，在PBC?中應(yīng)用正弦定理得 2211sinsintan2sinsintan2PCPCBAHHAHBACPBBBCAHHAHBAC? 3.將66?方格表的部分結(jié)點（單位正方形的頂點）染紅，使得任意一個由單位正方形構(gòu)成的子方格表16kkk?（）邊界上至少有一個紅點，求滿足條件的紅點數(shù)的最小值 3.最小值為12. 一方面，將結(jié)點用坐標(biāo)表示為? 3210123ijij?，、，將以下12個點(3,0),(0,3)(1,?染成紅色，逐一

16、檢驗知其滿足條件. 另一方面，用反證法證明若只有11個紅點時，存在一個子方格表的邊界上無紅點. 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 假設(shè)恰有11個紅點的一種染法滿足條件. 注意到，一個22?子方格表的結(jié)點中至少有兩個紅點 如圖7，由四個C組成的22?子方格表至少有兩個紅點，每個A至少一個紅點，相鄰的兩個B至少一個紅點，則至少已有10個紅點.故圖中四個相鄰的兩個B的紅點的總個數(shù)為4或5. （1）若為4個，則每相鄰的兩個B的紅點數(shù)恰一個，顯然，只能出現(xiàn)在它們的公共結(jié)點上.此時，再考慮四個角上含A的22?子方格表，每個中至少有兩個紅點.于是，紅點數(shù)至少有44212?個，與假設(shè)矛盾. （2）若為5個，則恰有一個相

17、鄰的兩個B的紅點數(shù)為2，不妨設(shè)為上方的兩個B.于是，其余的三個相鄰的兩個B的紅點數(shù)均為1，顯然，只能出現(xiàn)在它們的公共結(jié)點上.再考慮下方的兩個角上含A的22?子方格表，每個中至少有兩個紅點，這些紅點均未出現(xiàn)在上方的兩個C格中，這兩個C格也至少有一個紅點.于是，紅點總數(shù)至少有326112?個，與假設(shè)矛盾. 4.對正整數(shù)k，設(shè)其在十進(jìn)制表示下所有數(shù)字之和為?Sk. （1）證明：對任意正整數(shù)n，存在正整數(shù)等差數(shù)列12,naa a，使得?12nSaSaSa? ?； （2）是否存在無窮項正整數(shù)等差數(shù)列?na，使得?12nSaSaSa? ?？ 4.（1）對10kn?，構(gòu)造如下正整數(shù)等差數(shù)列：?1,2,10k

18、iai ?為將10ki?到41012i? 這10k個數(shù)在十進(jìn)制表示下依次連接在一起組成的一個?110kk?位數(shù). 此時，該數(shù)列中相鄰兩項的對應(yīng)部分之差均為1，為等差數(shù)列。 又對比ia和1ia?的各位數(shù)字，恰有一個數(shù)字從1變成了2. 故?111,2,101kiiSaSai? ?. 由于k可以任意大，從而，對任意正整數(shù)n，存在滿足要求的等差數(shù)列. （2）不存在。 若存在這樣的等差數(shù)列，不妨設(shè)首項為1a，公差為d.顯然，0d? 取正整數(shù)k，使得110ka? 由該等差數(shù)列有無窮多項，知1110kad?、2110kad?均在該數(shù)列中. 于是，?12111010kkSadSad?. 實用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全