《-基本不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、基本不等式的證明教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念，處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的。而基本不等式是本章重要的一個(gè)單元，它是證明不等式、求解某些函數(shù)的最大值及最小值的理 論依據(jù)，在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛。 基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要 內(nèi)容之一，在高考說明中等級(jí)要求為 C級(jí)。在不同的章節(jié)中都有應(yīng)用，是培養(yǎng) 學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的好素材。本教材特別強(qiáng)調(diào)基本不等式的代數(shù) 與幾何背景以及在求最值中的應(yīng)用?！緦W(xué)情分析】學(xué)生對(duì)函數(shù)中求最值，在一元二次不等式中都已經(jīng)學(xué)過接觸過有不等式的問 題，因此提到不等式最值問題學(xué)

2、生也不會(huì)陌生。在兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平 均上，我們可以以兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)來引用這兩個(gè)概念。這樣對(duì)兩個(gè)數(shù)據(jù)形式上就不會(huì)陌生，在初步了解大小關(guān)系后在給出概念。但由于學(xué)生的基礎(chǔ) 薄弱，可以預(yù)見在探索基本不等式時(shí)，尋找不等關(guān)系也有一定的困難?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)：1、知道算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念并且能求出兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。2、理解基本不等式的證明過程。技能目標(biāo)：1、掌握基本不等式的取等條件，并能用此方法求函數(shù)最大值。2、通過對(duì)基本不等式證明的理解， 體會(huì)三種證明方法，能準(zhǔn)確用三種證明中簡單的方法證明其它不等式問題。3、體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)其觀察分析問題的能力和總

3、結(jié)概括的能力情感目標(biāo)：通過不等式基本性質(zhì)的探究過程， 培養(yǎng)學(xué)生合作交流的思維品質(zhì)，滲 透不等式中的數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情操?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】a + b1、如果a，b是正書，則 丄 為a、b的算術(shù)平均數(shù)； 屈為a、b的幾何平均，且有兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”。即定理-，（吐沁0）（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取T）2、上面公式中 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x是：當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào)，即m 二 h =2 ；僅當(dāng)"b時(shí)取等號(hào)，即2，綜合起來就a = b是2的充要條件。【教學(xué)難點(diǎn)】1、不等式求函數(shù)最值時(shí)的取等條件2、對(duì)于公式的變形I 2丿可求處的最大值【教學(xué)方法】啟發(fā)學(xué)生探究，多

4、媒體輔助教學(xué)【教具準(zhǔn)備】多媒體電腦課件【教學(xué)過程】、設(shè)置問題情境：（展示并介紹古代弦圖）同學(xué)們現(xiàn)在看到的是中國古代數(shù)學(xué)中著名的一副圖，叫做弦圖。它是由我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的。早在1300多年以前，這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖 中的面積關(guān)系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一。 弦圖 不僅造型美觀，而且蘊(yùn)藏著很多玄機(jī)。（展示24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)） 大家現(xiàn)在看到的是2002年在我們北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)。這 個(gè)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)源于古代弦圖。它的色調(diào)明暗相間，使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，這不但學(xué)對(duì)世界所做出的重大貢獻(xiàn)。今天咱們也來研究一下弦圖問題1 請(qǐng)觀察會(huì)標(biāo)圖形，圖中有

5、哪些特殊的幾何圖形 ？它們?cè)诿娣e上有哪些相 等關(guān)系和不等關(guān)系？（讓學(xué)生分組討論）形的角度（利用多媒體展示會(huì)標(biāo)圖形的變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四個(gè)直角三角形的面 積之和小于或等于正方形的面積。）問題2.數(shù)的角度 若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為 a、b,應(yīng)怎樣表示這種不等 關(guān)系？學(xué)生討論結(jié)果：小十，仝2必。問題3大家看，這個(gè)圖形里還真有點(diǎn)奧妙。我們從圖中找到了一個(gè)不等式。這 里a、b的取值有沒有什么限制條件？不等式中的等號(hào)什么時(shí)候成立呢？（師生 共同探索）咱們?cè)倏匆豢磮D形的變化，（教師演示）（學(xué)生發(fā)現(xiàn)）a b為正數(shù)，當(dāng)a=b四個(gè)直角三角形都變成了等腰直角三角形， 他們的面積和恰好等于正方形的面積，即 宀X

6、 f 探索結(jié)論：我們得到不 等式工2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。二、數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為,應(yīng)怎樣表示這種不等關(guān)系-芒如果把它變形，我們能得到什么?-這個(gè)不等式 就是今天我們要研究的重點(diǎn)內(nèi)容，我們把它叫做基本不等式。a我們常把叫做正數(shù)：的幾何平均數(shù)，- 叫做正數(shù)廠的算術(shù)平均數(shù)。lab < “2. Ot > 0）基本不等式2'說明兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)。問題2:這個(gè)不等式怎么證明呢？請(qǐng)與同學(xué)討論一下。求證：基本不等式二，（、）（當(dāng)且僅當(dāng)-1' 時(shí)取 證法一:作差變形芬屆麗 0判斷符號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即$二匚時(shí)取取等條件學(xué)生容易忽視取

7、等“=時(shí)的情況，出現(xiàn)這種情況可以讓學(xué)生仔細(xì)從證明問題中 注意“”號(hào)，進(jìn)而提示學(xué)生沒有完成。該過程可以提高學(xué)生對(duì)問題的細(xì)心程度， 可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)周圍事物的觀察力，善于發(fā)現(xiàn)問題的能力。證法二：要證-只要證- -只要證: | - ：只要證 一二'、='宀后乞出廠疔因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以-成立，當(dāng)且僅當(dāng) 兒，即石 時(shí)取| =' 問題3:本證明方法有什么特點(diǎn)？平時(shí)有沒有遇到過?生：從結(jié)論出發(fā)，逐步反推已知。在初中幾何中遇到過。有了第一種證明方法此時(shí)學(xué)生已經(jīng)不會(huì)忽視取 “=條件。證法2的方法我們稱之 為分析”其特點(diǎn)是從結(jié)論出發(fā)（出發(fā)點(diǎn)讓學(xué)生總結(jié)），形式是 要證，只 要證只要證

8、”（形式讓學(xué)生自己總結(jié)），從本質(zhì)上看，只是對(duì)問題做嘗，其中當(dāng)且僅試的探索的過程（即執(zhí)果索因）。當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析 法而獲得解決，特別對(duì)于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的。拓石 < "+ "（£7 > 0 b 王 0）探究：對(duì)基本不等式2再研究在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式- 的幾何解釋嗎？（教師演示，學(xué)生直觀感覺）易證 Rt AC DsR仏D C B,那么 C D2= C A C Ba +Z?” + 右這個(gè)圓的半徑為

9、 -，顯然，它大于或等于CD，即-當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是半徑不小于半弦”這正象著名數(shù)學(xué)家華羅庚說的：數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般 好，數(shù)形分離萬事非可見，數(shù)與形真的是密不可分呀。心+占問題4:前面，我們剛剛學(xué)習(xí)了數(shù)列，二 和 w 在數(shù)列中代表什么?學(xué)生：等差中項(xiàng)等比中項(xiàng) 基本不等式說明兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于他們的等比中項(xiàng)。三、要點(diǎn)訓(xùn)練例1設(shè)J"為正數(shù)，證明下列不等式成立:色/工2"丄空（1） =（ 2）L；讓學(xué)生要讓要說明不等式中等號(hào)成立的條件。 這兩道例題在講授時(shí)以提問學(xué)生為主, 自己說，老師在前面板書。練習(xí)：

10、課后練習(xí)2題16y = x 4例2已知函數(shù)m2，燉），求此函數(shù)的最小值。注意: 要說明什么時(shí)候取得最小值。這是證明基本不等式在函數(shù)上的第一個(gè)應(yīng)用, 學(xué)生能夠結(jié)合基本不等式和函數(shù)綜合解決最值的問題。四、課堂練習(xí)：練習(xí)2題，4題五、課堂小結(jié)：請(qǐng)大家想一想，這節(jié)課你有哪些收獲？1 知識(shí)：基本不等式2 思想方法：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想六、課后作業(yè) 鞏固升華課本第100頁，習(xí)題3.4A組1、2七、板書設(shè)計(jì)基本不等式的證明基本不等式內(nèi)容1證法2例2證法1八、教學(xué)反思1、導(dǎo)入新課采用學(xué)生比較感興趣的變換的幾何圖形為背景，并且，配以解說， 使學(xué)生從方方面面感受弦圖的玄妙， 容易被學(xué)生接受，從而產(chǎn)生興趣，

11、迅速激發(fā) 學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。興趣是驅(qū)使學(xué)生探究的良方，教學(xué)過程中，時(shí)刻應(yīng)注意照顧學(xué)生的學(xué) 習(xí)興趣，推動(dòng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦去探究。2、在建立新知的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。 每個(gè)問題在設(shè)計(jì) 時(shí)，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答。使 思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)， 學(xué)生的思考有價(jià)值，對(duì)知識(shí)的理解和掌 握在不斷的思考和討論中完善和加深。但實(shí)施落實(shí)的可能還不到位，有待改進(jìn)。3、本節(jié)的教學(xué)中要求學(xué)生對(duì)基本不等式在數(shù)與形兩個(gè)方面都有比較充分的認(rèn)識(shí)，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的統(tǒng)一，教學(xué)過程從形得到數(shù)，又從數(shù)回到形，意

12、圖使學(xué) 生在比較中對(duì)基本不等式得以深刻理解。數(shù)形結(jié)合”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方 法，不是教師提一提學(xué)生就能夠掌握并且會(huì)用的， 只有學(xué)生通過實(shí)踐，意識(shí)到它 的好處之后，學(xué)生才會(huì)在解決問題時(shí)去嘗試使用，只有通過不斷的使用才能促進(jìn) 學(xué)生對(duì)這種思想方法的再理解，從而達(dá)到掌握它的目的。4、本課的設(shè)計(jì)是想通過師生課上的探索、 互動(dòng)學(xué)習(xí)，達(dá)到理解掌握知識(shí)的目的。 在教師的引導(dǎo)和啟發(fā)下，學(xué)生自己尋找、探求解決問題的途徑是本節(jié)教學(xué)所采用 的教學(xué)方式。課上學(xué)生學(xué)習(xí)熱情很高，師生的互動(dòng)非常好，出現(xiàn)了很多討論問題 的高潮。學(xué)生能夠針對(duì)教師的問題進(jìn)行充分的分析和討論，而且通過討論，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解得到了深化，達(dá)到了掌握知識(shí)的目的。九、對(duì)本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的說明新課程的理念倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，但這必須是在教師的 引領(lǐng)之下，否則學(xué)生很容易誤入歧途。教師應(yīng)該盡