計量經濟學第八章時間序列計量經濟學模型-2

1、計量經濟學Econometrics經濟計量學18.1 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗8.2 隨機時間序列分析模型隨機時間序列分析模型8.3 協整與誤差修正模型協整與誤差修正模型第八章第八章 時間序列計量經濟學模型時間序列計量經濟學模型一、時間序列模型的基本概念及其適用性一、時間序列模型的基本概念及其適用性二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機時間序列模型的識別三、隨機時間序列模型的識別8.2 8.2 隨機時間序列分析模型隨機時間序列分析模型1 1、時間序列模型的基本概念、時間序列模型的基本概念 隨機時間序列模型（隨機時間序列模型（time s

2、eries modeling）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型，其一般形式為 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題： (1)模型的具體形式模型的具體形式 (2)時序變量的滯后期時序變量的滯后期 (3)隨機擾動項的結構隨機擾動項的結構 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（ t =t），模型將是一個1階自回歸過程階自回歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t這里， t特指一白噪聲一白噪聲。 一、時間序列模型的基本概念及其適用性一、時間序列模型的基本概念及其適用性 一般的p階自回歸過

3、程階自回歸過程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果隨機擾動項是一個白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純純AR(p)過程（過程（pure AR(p) process），記為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動移動平均（平均（moving average）過程）過程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式給出了一個純純MA(q)過程（過程（pure MA(p) process）。 一、時間序列模型的基本概念及其適用性一、時間序列模型的

4、基本概念及其適用性 將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動自回歸移動平均（平均（autoregressive moving average）過程）過程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式表明：該式表明：（1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的

5、行為那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。來預測未來。 這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。一、時間序列模型的基本概念及其適用性一、時間序列模型的基本概念及其適用性 經典回歸模型的問題：經典回歸模型的問題： 迄今為止，迄今為止，對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型或聯立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關系為基礎，且具有一定的模型結構，因此也常稱為結構式模型（結構式模型（structural model）。 然而，然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結構式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取

6、得相應的量化數據，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。 有時，有時，即使能估計出一個較為滿意的因果關系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預測本身就非常困難，甚至比預測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關系的回歸模型及其預測技術就不適用了。2 2、時間序列分析模型的適用性、時間序列分析模型的適用性 例如例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導地位呢？ 或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行為時間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 隨機時間序列分析模型，就是要通

7、過序列過去的變隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢化特征來預測未來的變化趨勢。 使用時間序列分析模型的另一個原因在于使用時間序列分析模型的另一個原因在于： 如果經濟理論正確地闡釋了現實經濟結構，則這一結構可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。 在這些情況下，我們采用另一條預測途徑在這些情況下，我們采用另一條預測途徑：通過時間序列的歷史數據，得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列未來行為進行推斷。 例如，例如，對于如下最簡單的宏觀經濟模型： 這里，Ct、It、Yt分別表示消費、投資與國民收入。 Ct與與Yt作為內生變量，它們的運動是由

8、作為外作為內生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資生變量的投資It的運動及隨機擾動項的運動及隨機擾動項 t的變化決定的變化決定的。的。tttCYC12110tttICY上述模型可作變形如下： 兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征依賴于投資項It的行為。 如果如果It是一個白噪聲是一個白噪聲，則消費序列Ct就成為一個1階自回歸過程階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(1,1)階的自回歸移動平均過程階的自回歸移動平均過程ARMA(1,1)。ttttICC1111011211111tttttIIYY11121101121111111 自回歸移動平均

9、模型（ARMA）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）是它的特殊情況。 關于這幾類模型的研究，是時間序列分析的重點內容時間序列分析的重點內容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識別和模型的估計模型的識別和模型的估計。 1 1、AR(p)AR(p)模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 隨機時間序列模型的平穩(wěn)性隨機時間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機時間可通過它所生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷序列的平穩(wěn)性來判斷。 如果如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的， 否則否則，就說該AR(p)模型是

10、非平穩(wěn)的。一、隨機時間序列的平穩(wěn)性條件一、隨機時間序列的平穩(wěn)性條件 對于移動平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一個白噪聲，于是 2、MA(q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1 (varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX 當滯后期大于q時，Xt的自協方差系數為0。因此:有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-

11、1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 而而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平模型的平穩(wěn)性取決于穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。部分的平穩(wěn)性。 當當AR(p)部分平穩(wěn)時，則該部分平穩(wěn)時，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。否則，不是平穩(wěn)的。 最后最后 （1 1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型；過程或模型； （2 2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？?/p>

12、以通過差分的方）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通常可以通過差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。應的平穩(wěn)隨機過程或模型。 因此，如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過因此，如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過d d次差分，將次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作為它的模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個自回歸單整移生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個自回歸單整移動平均（動平均（autoregressive integra

13、ted moving averageautoregressive integrated moving average）時）時間序列，記為間序列，記為ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。 例如，一個例如，一個ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作為它的生成模模型作為它的生成模型的。型的。 當然，一個當然，一個ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純過程表示了一個純AR(p)AR(p)平穩(wěn)過平穩(wěn)過程；一個程

14、；一個ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一個純表示一個純MA(q)MA(q)平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程。 所謂隨機時間序列模型的識別所謂隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。 所使用的工具所使用的工具主要是時間序列的自相關函數自相關函數（autocorrelation function，ACF）及偏自相關函偏自相關函數數（partial autocorrelation function， PACF ）。三、隨機時間序列的識別三、隨機時間序列的識別識別原則16一隨

15、機時間序列的識別原則：一隨機時間序列的識別原則：若若XtXt的偏自相關函數在的偏自相關函數在p p以后截尾，即以后截尾，即kp時，時， k*=0=0，而它的自相關函數，而它的自相關函數 k是拖尾的，是拖尾的，則此序列是自回歸則此序列是自回歸AR(p)AR(p)序列。序列。若隨機序列的自相關函數截尾，即自若隨機序列的自相關函數截尾，即自q q以后，以后， k k=0=0（ kqkq）；而它的偏自相關函數是拖尾）；而它的偏自相關函數是拖尾的，則此序列是滑動平均的，則此序列是滑動平均MA(q)MA(q)序列。序列。 ARMA(p,q)的自相關函數的自相關函數，可以看作MA(q)的自相關函數和AR(p

16、)的自相關函數的混合物。 當當p=0時，它具有截尾性質時，它具有截尾性質； 當當q=0時，它具有拖尾性質；時，它具有拖尾性質； 當當p、q都不為都不為0時，它具有拖尾性質時，它具有拖尾性質 從識別上看，通常：從識別上看，通常： ARMA(p，q)過程的偏自相關函數（過程的偏自相關函數（PACF）可能在）可能在p階滯階滯后前有幾項明顯的尖柱（后前有幾項明顯的尖柱（spikes），但從），但從p階滯后項開始逐漸階滯后項開始逐漸趨向于零；趨向于零； 而它的自相關函數（而它的自相關函數（ACF）則是在）則是在q階滯后前有幾項明顯階滯后前有幾項明顯的尖柱，從的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。階滯后項

17、開始逐漸趨向于零。 表表 9.2.1 ARMA(p,q)模模型型的的 ACF 與與 PACF 理理論論模模式式 模型 ACF PACF 白噪聲 0k 0*k AR(p) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾：0*k，kp MA(q) q階后截尾： ，0k，kq 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） ARMA(p,q) q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p階后衰減趨于零 （幾何型或振蕩型） 圖圖 9.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF與與 PACF理論模式理論模式 ACF PACF 模型模型 1： tttXX17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.

18、20.40.60.812345678PACF1 模型 2： tttXX17 . 0 模型 3： 17 . 0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3 模型 4：ttttXXX2149. 07 . 0 模型 5：117 . 07 . 0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40

19、.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5一、長期均衡關系與協整一、長期均衡關系與協整經典回歸模型經典回歸模型（classical regression model）是建立在穩(wěn)定數據變量基礎上的，對于非穩(wěn)定變量，不能使用經典回歸模型，否則會出現虛假回歸虛假回歸等諸多問題。由于許多經濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是即它們之間是協整協整的（的（cointegration)，則，則是可以使用經典回歸模

20、型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均例如，中國居民人均消費水平與人均GDPGDP變量的例子中：變量的例子中： 因果關系回歸模型要比因果關系回歸模型要比ARMAARMA模型有更好的預測功能，模型有更好的預測功能， 其原因在于其原因在于，從經濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協整的（cointegration）。 經濟理論指出經濟理論指出，某些經濟變量間確實存在著長期均衡關系，這種均衡關系意味著經濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態(tài)。

21、 假設X與Y間的長期“均衡關系”由式描述 1 1、長期均衡、長期均衡tttXY10式中:t是隨機擾動項。 該均衡關系意味著該均衡關系意味著: :給定X的一個值，Y相應的均衡值也隨之確定為0+1X。 在在t-1期末，存在下述三種情形之一：期末，存在下述三種情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在時期t，假設X有一個變化量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關系，則Y的相應變化量由式給出:tttvXY1式中，vt=t-t-1。 實際情況往往并非如此實際情況往往并非如此 如果t-1期末，發(fā)生了上述第

22、二種情況，即Y的值小于其均衡值，則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化Yt大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，則Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt 。 可見，如果可見，如果Yt= =0+1Xt+t正確地提示了正確地提示了X與與Y間的長期間的長期穩(wěn)定的穩(wěn)定的“均衡關系均衡關系”，則意味著，則意味著Y對其均衡點的偏離從本對其均衡點的偏離從本質上說是質上說是“臨時性臨時性”的。的。 因此，一個重要的假設就是一個重要的假設就是: :隨機擾動項隨機擾動項 t t必須是平必須是平穩(wěn)序列。穩(wěn)序列。 顯然，如果 t t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消

23、除。 式Yt= =0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個線性組合： tttXY10(*) 因此，如果Yt= =0+1Xt+t式所示的X與Y間的長期均衡關系正確的話，（*）式表述的非均衡誤差應是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 從這里已看到從這里已看到，非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。能成為平穩(wěn)的。 例如：例如：假設Yt= =0+1Xt+t式中的X與Y是I(1)序列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關系成立的話，則意味著由非均衡誤差（*）式給出的線性組合是I(0)序列。這時我們稱稱變量變量X與與Y是協整的（是協整的（cointegrated）。）。協整的定義：協整的定義：兩個或多個非平穩(wěn)時間序列的線性組合序列可能是平穩(wěn)的，假如這樣一種平穩(wěn)的或I(0)(零階單整序列)的線性組合存在，那么這些非平穩(wěn)時間序列之間就被認為是具有協整關系的協整協整 在中國居民人均消費與人均在中國居民人均消費與人均GDP的例中的例中