第9章壓桿穩(wěn)定PPT課件

1、9.1. 概 述第1頁/共64頁搖臂挺桿氣閥 內(nèi)燃機挺桿第2頁/共64頁工作臺活塞桿細長杠件受壓 磨床活塞桿第3頁/共64頁內(nèi)燃機連桿活塞連桿第4頁/共64頁細長桿受壓失穩(wěn) 第5頁/共64頁 對細長壓桿，當壓力逐漸增加，但小于某一極限值時，桿件一直保持直線形狀的平衡。這表明壓桿直線形狀的平衡是穩(wěn)定的。 當壓力逐漸增加到某一極限時，壓桿的直線平衡變?yōu)椴环€(wěn)定，將轉(zhuǎn)變?yōu)榍€形狀的平衡。這時如再用微小的側(cè)向干擾力使其發(fā)生輕微彎曲，干擾力解除后，它將保持曲線形狀的平衡，不能恢復(fù)原有直線形狀。上述壓力的極限值稱為臨界壓力或臨界力，記為Pcr。壓桿喪失其直線形狀，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱為屈曲(buck

2、)。 第6頁/共64頁薄壁容器失穩(wěn) 梁或板條失穩(wěn) 第7頁/共64頁9.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力第8頁/共64頁兩端鉸支的細長壓桿 截面x處的內(nèi)力(此處壓力P取絕對值，而v與M的符號與梁的內(nèi)力符號一致)PvM(a)第9頁/共64頁 對微小的彎曲變形，撓曲線的近似微分方程為（6.5）式，即 22ddvMxEI由于兩端是球鉸，允許桿件在任意縱向平面內(nèi)發(fā)生彎曲變形，因而桿件的微小彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)。所以，上式中的 I 應(yīng)是橫截面最小的慣性矩。代(a)入(b) 22ddvPvxEI (b)(c)第10頁/共64頁引用記號 EIPk 2于是(c)式可

3、以寫成 222d0dvk vxkxBkxAvcossin以上微分方程的通解為 式中A、B為積分常數(shù)。(d)第11頁/共64頁桿件的邊界條件是x=0 和x=l時，v=0當x=0 ，v=0時0B則kxAvsin當x=l ，v=0時0sinklA()第12頁/共64頁 由(*)知A0，否則v0，這與假定壓桿處于臨界狀態(tài)不符。故必有0sinkl由此求得), 2 , 1 , 0(nlnk第13頁/共64頁222lEInP回代到式(d)則有因為n是0、1、2、等整數(shù)中的任一個整數(shù)，故上式表明，使桿件保持為曲線平衡的壓力，理論上是多值的。在這些壓力中，使桿件保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界壓力Pcr。 第1

4、4頁/共64頁 如取n=0，則Pcr=0，表示桿件上并無壓力，自然不是我們所需要的。 如取n=2，則lxAv2sin第15頁/共64頁lxAv3sin 如取n=3，則顯然對于n2，如果在曲線拐點處沒有支座，其變形是不可能實現(xiàn)的。第16頁/共64頁lxAvsin 如取n=1，則這是可能出現(xiàn)的。第17頁/共64頁故臨界力大小為22lEIP這是兩端鉸支細長壓桿臨界力的計算公式，也稱為兩端鉸支壓桿的歐拉(Euler)公式。 (9.1)第18頁/共64頁例1 柴油機的挺桿是鋼制空心圓管，外徑和內(nèi)徑分別為12mm和10mm，桿長383mm，鋼的E=210GPa。根據(jù)動力計算，挺桿上的最大壓力P=2290N

5、。規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=35。試校核挺桿的穩(wěn)定性。 解：挺桿橫截面的慣性矩是 484444m100526. 001. 0012. 06464dDI第19頁/共64頁由公式（9.1）算出挺桿的臨界力為N7400383. 0100526. 010210289222crlEIP 臨界壓力與實際最大壓力之比，為壓桿的工作安全系數(shù)，即23. 322907400crPPn規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=35，所以挺桿滿足穩(wěn)定要求。第20頁/共64頁 前面我們求取了壓桿的臨界力，但是表達式lxAvsin中的系數(shù)A并沒有得到。壓桿過渡為曲線平衡后，軸線彎成半個正弦波曲線。A為為桿件中點（即l/2處）的撓度。

6、它的數(shù)值很小，但卻是未定的，若以橫坐標表中點的撓度d，縱坐標表壓力P。第21頁/共64頁n 當P小于Pcr時，桿件的直線平衡是穩(wěn)定的，d=0， P與d 的關(guān)系是垂直的直線OA。n 當P達到Pcr時，直線平衡變?yōu)椴环€(wěn)定，過渡為曲線平衡后， P與d 的關(guān)系為水平直線AB 。 第22頁/共64頁第23頁/共64頁9.3 其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力第24頁/共64頁千斤頂螺桿 千斤頂螺桿就是一根壓桿(如右圖)，其下端可簡化成固定端，面上端因可與頂起的重物共同作微小的位移，所以簡化成自由端。這樣就成為下端固定、上端自由的壓桿。 第25頁/共64頁 把變形曲線延伸一倍

7、，如圖中假想線所示?？梢娨欢斯潭ā⒘硪欢俗杂汕议L為l的壓桿的撓曲線，與兩端鉸支、長為2l的壓桿的撓曲線的上半部分相同。所以，對于一端固定、另一端自由且長為l的壓桿，其臨界壓力等于兩端鉸支長為2l的壓桿的臨界壓力，即 22cr2lEIP一端固定、一端自由的壓桿(9.2)第26頁/共64頁兩端固支壓桿 兩端固支壓桿 22cr2lEIP 把長為l/2的中間部分CD看作是兩端鉸支的壓桿，其臨界力為 (9.3)第27頁/共64頁一端固支一端簡支壓桿 對這種情況，可近似地把大約長為0.7l 的CB部分看作是兩端鉸支壓桿。于是計算臨界壓力的公式可寫成 22cr)7 . 0(lEIP一端固支一端簡支壓桿 (9

8、.4)第28頁/共64頁公式(9.1)、(9.2)、(9.3)和(9.4)可以統(tǒng)一寫成 22cr)( lEIP這是歐拉公式的普遍形式。式中l(wèi) 表示把壓桿折算成兩端鉸支桿的長度，稱為相當長度，稱為長度系數(shù)。 (9.5)第29頁/共64頁壓桿的約束條件 長度系數(shù) 兩端鉸支 = 1 一端固定，另一端自由 = 2 兩端固定 = 0.5 一端固定，另一端鉸支 = 0.7表9.1 壓桿的長度系數(shù)第30頁/共64頁例2 由壓桿撓曲線的微分方程，導(dǎo)出一端固定、另一端鉸支桿件的Euler公式。 PPxyv解：一端固定、另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)后，計算簡圖如圖示。為使桿件平衡，上端鉸支座應(yīng)有橫向反力Q。于是撓曲線的微

9、分方程應(yīng)為 22ddM xvPvQlxxEIEIEI 第31頁/共64頁引用記號 EIPk 2，上式可以寫成 222ddvQk vlxxEI以上微分方程方程的通解為xlPQkxBkxAvcossin第32頁/共64頁由此求出v的一階導(dǎo)數(shù)為dcossindvQAkkxBkkxxP桿件的邊界條件是x=0時0, 0dxdvvx=l 時0v第33頁/共64頁考慮以上邊界條件，得 0cossin00klBklAPQAklPQB這是關(guān)于A、B和Q/P的齊次線性方程組。因為它們不能皆等于零，即要求以上齊次線性方程組必須有非零的解，所以其系數(shù)行列式應(yīng)等于零。故有 第34頁/共64頁00cossin1010kl

10、klkl展開得 klkl tan上列超越方程可用圖解法求解。 第35頁/共64頁 以kl為橫坐標，作直線y=kl和曲線y=tankl，其第一個交點的橫坐標 49. 4kl由此求得 2222cr7 . 016.20lEIlEIEIkP圖解超越方程 第36頁/共64頁9.4 歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式第37頁/共64頁 前面已經(jīng)導(dǎo)出了計算臨界壓力的公式(9.5)，用壓桿的橫截面面積A除Pcr，得到與臨界壓力對應(yīng)的應(yīng)力為 22crcr)( lAEIAPcr稱為臨界應(yīng)力。把橫截面的慣性矩 I 寫成 AiI2式中i為截面的慣性半徑。 第38頁/共64頁如此，臨界應(yīng)力可以寫成22crilE第39頁/共6

11、4頁引用記號l是一個沒有量綱的量，稱為柔度或長細比。它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力cr的影響。由于引用了柔度l ，計算臨界應(yīng)力的公式可以寫成 ill(9.6)22crlE(9.7)第40頁/共64頁 公式(9.7)是歐拉公式(9.5)的另一種表達形式，兩者并無實質(zhì)性的差別。歐拉公式是由彎曲變形的微分方程導(dǎo)出的，而材料服從虎克定律又是上述微分方程的基礎(chǔ)，所以，只有臨界應(yīng)力小于比例極限P時，公式(9.5)或(9.7)才是正確的。EIMxv22dd第41頁/共64頁令cr小于P ，得p22lE或p2lE于是歐拉公式的適用范圍為取p21lE(9.8)1ll(9.9)第

12、42頁/共64頁 公式（9.8）表明，l1與材料的性質(zhì)有關(guān)，材料不同，l1的數(shù)值也就不同。以鋼為例，E=206GPa，P=200GPa，于是10010200102066921l所以，用A3鋼制成的壓桿，只有當l1 100時，材料可以使用歐拉公式。滿足條件ll1的壓桿，稱為大柔度壓桿。前面經(jīng)常提到的“細長”壓桿就是指大柔度壓桿。第43頁/共64頁 若壓桿的柔度ll1，則臨界應(yīng)力大于材料的比例極限，這時歐拉公式已不能使用，屬于超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題。常見的壓桿，如內(nèi)燃機連桿、千斤頂螺桿等，其柔度就往往小于l1。 對超過比例極限后的壓桿穩(wěn)定問題，也有理論分析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿的計算，一般使用以試驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗公式。在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗公式：直線公式 和 拋物線公式。 第44頁/共64頁直線公式 lba cr(9.10)式中a與b是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。例如對鋼制成的壓桿，a=304MPa，b=1.12MPa。在表9.2中列入了一些材料的a與b的數(shù)值。第45頁/共64頁表9.2 直線公式的系數(shù)材料(MPa)abA3b3723041.12s=235優(yōu)質(zhì)碳鋼b4714612.568s=306鉬鋼b5105783.744s=353第46頁/共64頁 柔度很小的短柱，如壓縮試驗用的金屬短柱或水泥塊，受壓