用于在高二數(shù)學(xué)教案：7.5曲線和方程

1、課 題：7.5曲線和方程（二）教學(xué)目的：1了解什么叫軌跡，并能根據(jù)所給的條件，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的軌跡方程，畫出方程所表示的曲線 2在形成概念的過(guò)程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，以及坐標(biāo)法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學(xué)方法3培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、合情推理、合作交流及獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及主動(dòng)參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神教學(xué)重點(diǎn)：求曲線方程的方法、步驟教學(xué)難點(diǎn)：定義中規(guī)定兩個(gè)關(guān)系（純粹性和完備性）授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教法分析：第一課時(shí)概念強(qiáng)、思維量大、例題習(xí)題不多使用啟發(fā)方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律第二

2、、第三課時(shí)規(guī)律性強(qiáng)，題目多，可結(jié)合實(shí)際靈活采用教學(xué)方法在探索一般性解題方法時(shí)，可采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，在方法的應(yīng)用及拓廣時(shí)，可采用歸納法；在訓(xùn)練與反饋部分，則主要采用講練結(jié)合法進(jìn)行教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（純粹性）(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)（完備性）那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 2定義的理解：在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件兩者滿足了，“曲線

3、的方程”和“方程的曲線”才具備充分性只有符合關(guān)系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來(lái)研究，即幾何問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法 二、講解新課：1. 坐標(biāo)法在笛卡爾以前，人們對(duì)代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究，但是對(duì)于二元方程的研究較少，因?yàn)榇蠹艺J(rèn)識(shí)到二元方程的解都是不確定的 對(duì)于這種“不定方程”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認(rèn)為研究它是沒(méi)有意義的，是不必要的。笛卡爾卻對(duì)對(duì)這個(gè)“沒(méi)有意義的課題”賦予了新的生命，他沒(méi)有把看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把看成是變量(從此，變量引入了數(shù)學(xué))，讓連續(xù)地變，則對(duì)每一個(gè)確定的的值，一般來(lái)說(shuō)都可以從方程

4、算出相應(yīng)的值(這就是函數(shù)思想的萌芽) 然后，他把這些點(diǎn)的集合便構(gòu)成了一條曲線c 由這樣得出的曲線c和方程有非常密切的關(guān)系：曲線上每一個(gè)點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)都是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解；反之，方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上 這就是說(shuō)，曲線上的點(diǎn)集和方程的實(shí)數(shù)解集具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 這個(gè)“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對(duì)曲線的研究 這種通過(guò)研究方程的性質(zhì)，間接地來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標(biāo)法（就是借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法）根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，可以建立不同的坐標(biāo)系 最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)。在目前的中學(xué)階段只采用了直角坐標(biāo)系 2解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究

5、幾何圖形的知識(shí)形成的一門學(xué)科，叫解析幾何 它是一門用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)科，產(chǎn)生于十七世紀(jì)初期，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的奠基人 另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者 他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義：一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來(lái)了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開(kāi)端的標(biāo)志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的領(lǐng)域 3平面解析幾何研究的主要問(wèn)題根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì) 本節(jié)主要通過(guò)例題的形式學(xué)習(xí)第一個(gè)問(wèn)題，即如何求曲線的方程 小結(jié)時(shí)總結(jié)出求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟4求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

6、系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點(diǎn)m的集合；（3）用坐標(biāo)表示條件p（m），列出方程;（4）化方程為最簡(jiǎn)形式；（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)三、講解范例：選題意圖：考查求軌跡方程的基本方法例1 設(shè)a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)、(-1,0),若，求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程解：設(shè)m的坐標(biāo)為，m屬于集合p=.由斜率公式，點(diǎn)m所適合的條件可表示為 ，整理后得 (±1) 下面證明 (x±1)是點(diǎn)m的軌跡方程(1)由求方程的過(guò)程可知，m的坐標(biāo)都是方程 (x±1)的解；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程 (x±1)的解，即， 由上述證

7、明可知，方程 (x±1)是點(diǎn)m的軌跡方程說(shuō)明：所求的方程后面應(yīng)加上條件±例2 點(diǎn)m到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)m的軌跡方程.解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為，點(diǎn)m的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合p=，其中q、r分別是點(diǎn)m到x軸、y軸的垂線的垂足因?yàn)辄c(diǎn)m到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以條件可寫成即±=0 下面證明是所求軌跡的方程(1)由求方程的過(guò)程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；(2) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，那么±，即，而、正是點(diǎn)到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)到這兩條直線的

8、距離相等，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)由(1)(2)可知，方程是所求軌跡的方程，圖形如圖所示.點(diǎn)評(píng)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求軌跡方程的過(guò)程較簡(jiǎn)單.所求方程的形式較“整齊” 四、課堂練習(xí)：1求點(diǎn)p到點(diǎn)f（4，0）的距離比它到直線+5=0的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)p為所求軌跡上任意一點(diǎn)，點(diǎn)p到f的距離比它到直線+5=0的距離小1.故點(diǎn)p到f（4，0）的距離與點(diǎn)p到直線+4=0的距離pd相等pf=pd=-(-4)2.過(guò)點(diǎn)p(2,4)作互相垂直的直線,，若交軸于a，交軸于b，求線段ab中點(diǎn)m的軌跡方程解法一：設(shè)m為所求軌跡上任一點(diǎn)，m為ab中點(diǎn)，a（2,0),b(0,2),且,過(guò)點(diǎn)p（2，4），papb =(x1

9、),=· =-1 即 +2-5=0(1) 當(dāng)=1時(shí)，a（2，0）、b（0，4）,此時(shí)ab中點(diǎn)m的坐標(biāo)為（1，2），它也滿足方程+2-5=0.所求點(diǎn)m的軌跡方程為+2-5=0解法二：連結(jié)pm. 設(shè)m,則a（2,0),b(0,2),pab為直角三角形pm=ab即化簡(jiǎn)：+2-5=0所求點(diǎn)m的軌跡方程為+2-5=0五、小結(jié) ：求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟六、課后作業(yè)： 七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記： 課 題：7.5曲線和方程（三）教學(xué)目的：1會(huì)根據(jù)已知條件，求一些較復(fù)雜的曲線方程2.提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3.滲透數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)重點(diǎn)：找出所求曲線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)

10、系式 教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng)型的軌跡方程的求法（相關(guān)點(diǎn)法）授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點(diǎn)m的集合；（3）用坐標(biāo)表示條件p（m），列出方程;（4）化方程為最簡(jiǎn)形式；（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 二、講解新課：求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說(shuō)明 另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程三、講解范例：例1 已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一個(gè)點(diǎn)到a（0，2

11、）的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程分析：這條曲線是到a點(diǎn)的距離與其到軸的距離的差是2的點(diǎn)的集合或軌跡的一部分解：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，mb軸，垂足是b，那么點(diǎn)m屬于集合p=mma-mb=2即 =2整理得 , 因?yàn)榍€在軸的上方，所以y0，雖然原點(diǎn)o的坐標(biāo)（0，0）是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)是： (0) 它的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點(diǎn)例2 在abc中，已知頂點(diǎn)a(1，1)，b(3，6)且abc的面積等于3，求頂點(diǎn)的軌跡方程 解：設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,作hab于h，則動(dòng)點(diǎn)c屬于集合p=，直線ab的方程是,即.化簡(jiǎn)，得-3=6,即-9=0或+3

12、=0,這就是所求頂點(diǎn)的軌跡方程.點(diǎn)評(píng)：頂點(diǎn)的軌跡方程，就是定直線ab的距離等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 例3 已知abc，第三個(gè)頂點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，求abc的重心的軌跡方程解：設(shè)abc的重心為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式得代入得3，即為所求軌跡方程說(shuō)明：在這個(gè)問(wèn)題中，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)之間有關(guān)系，寫出與之間的坐標(biāo)關(guān)系，并用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，而后代入的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)整理即得所求,這種方法叫相關(guān)點(diǎn)法四、課堂練習(xí)：1.在abc中，b、c的坐標(biāo)分別是（0，0）和（4，0），ab邊上中線的長(zhǎng)為3，求頂點(diǎn)a的軌跡方程分析：依題意畫出草圖，然后設(shè)a點(diǎn)坐標(biāo)為，從而可用表示出ab的中點(diǎn)d的坐標(biāo)，然后按照求曲線方程的步驟進(jìn)

13、行求解解：設(shè)a點(diǎn)的坐標(biāo)為，則ab的中點(diǎn)d的坐標(biāo)為（)由題意可得cd=3即整理得a、b、c三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，a、b、c三點(diǎn)不共線，即點(diǎn)a不能落在軸上，點(diǎn)a的縱坐標(biāo)0所求頂點(diǎn)a的軌跡方程為： (0)結(jié)合學(xué)生所做講評(píng)，并強(qiáng)調(diào)要注意檢驗(yàn)方程的解與曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要結(jié)合實(shí)際意義2已知定點(diǎn)a（4，0）和圓上的動(dòng)點(diǎn)b，點(diǎn)p分ab之比為21，求點(diǎn)p的軌跡方程分析：設(shè)點(diǎn)p，b，由=2，找出與的關(guān)系利用已知曲線方程消去，得到的關(guān)系 (這種方法叫相關(guān)點(diǎn)法) 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)p及圓上點(diǎn)b=2,代入圓的方程，得即 所求軌跡方程為：3過(guò)不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)m任作一直線，分別交軸、軸于a、b，求線段ab中點(diǎn)p的軌跡方程 解法一：設(shè)線段ab的中點(diǎn)為p,作mc軸，pd軸，垂足分別為c、d，則：cm=，oc=，dp=，od=db=mcpd