二次函數(shù)優(yōu)秀講義

1、二次函數(shù)考點一、二次函數(shù)的概念（1） 定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).（2）注意： 二次項系數(shù)不為“0”； 未知數(shù)最高指數(shù)為“2”； 若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、若是二次函數(shù)，則m的值為 變式訓(xùn)練：若是二次函數(shù)，則的值為。例、化工廠在一月份生產(chǎn)某種產(chǎn)品200噸，三月份生產(chǎn)y噸，則y與月平均增長率x(自變量)的關(guān)系是_例、下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù)模型的是（ ） （A）在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時間的關(guān)系 （B）我國人口年自然增長率為1，這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系（C）豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回

2、地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系（不計空氣阻力） （D）圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系說明：此題在實際情境中考查了對二次函數(shù)模型構(gòu)建的理解考查了如何從所給命題中，找出變量，建立解析式可用排除法針對性練習(xí)：一、填空題1正方形的邊長是2cm，設(shè)它的邊長增加x cm，正方形的面積增加y cm2，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為_，y是x的_次函數(shù)22002年重慶市的國民生產(chǎn)總值是2000億元，預(yù)計2003年比2002年、2004年比2003年每年都增長x，則2003年重慶市的國民生產(chǎn)總值為_億元；設(shè)2004年重慶市的國民生產(chǎn)總值為y億元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為_，y是x的_次函數(shù)3、若是二次函數(shù)，則的值為。二

3、、選擇題1下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（ ）（A） （B） （C） （D）2若是二次函數(shù)，則m的值為（ ）（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）23在半徑為4cm的圓中，挖去一個半徑為x cm的圓面，剩下的一個圓環(huán)的面積為y cm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）（A） （B） （C） （D）考點二、會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般步驟：“設(shè)-列-解-答”設(shè)：根據(jù)條件，設(shè)出相應(yīng)函數(shù)的待定解析式；列：代入數(shù)據(jù)，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解：解方程組，求出待定系數(shù)的值；答：將求出的值帶入所設(shè)的解析方程，即為所求。2、二次函數(shù)的三種解析式以及求二次函數(shù)的一般方法：

4、一般式：，對稱軸為，頂點為（）； 條件：已知圖像上三點或三組（、）的值，通常選擇一般式，即列關(guān)于a、b、c的三元一次方程組解決.頂點式：，其中對稱軸為，頂點坐標(biāo)為（h,k）條件：已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.交點式（兩根式）：,其中是拋物線與軸的兩個交點；條件：已知圖像與軸的交點橫坐標(biāo)、，通常選用交點式，只需求待定系數(shù)。 根據(jù)條件靈活地選擇函數(shù)的解析式典型例題1、已知二次函數(shù)，當(dāng)x4時有最小值-3，且它的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)為1，求此二次函數(shù)解析式例2、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求這個二次函數(shù)的解析式.例3、已知拋物線的頂點為，與軸交點為，求

5、此拋物線的解析式.例4已知拋物線與軸交于，并經(jīng)過點，求拋物線的解析式.例5、求經(jīng)過A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三點且對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式例6、已知拋物線經(jīng)過點(-1，1)和點(2，1)且與x軸相切(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x在什么范圍時，y隨x的增大而增大；(3)當(dāng)x在什么范圍時，y隨x的增大而減小例7已知拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)是1，3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是，確定拋物線的解析式.例8已知函數(shù)的圖像如下圖所示，那么此函數(shù)的解析式為（） A、BC C、D考點三、二次函數(shù) （ ）的圖像（拋物線）和性質(zhì)圖象：確定圖象的頂點坐標(biāo)、對稱軸和開口方向；確定圖象與軸、

6、軸的交點。性質(zhì)：確定增減性；確定最大值或最小值。相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化：特殊與一般相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化； 會把一般式化為頂點式。二次函數(shù)的平移見下圖： ，類型一、yax2(a0)的圖象與性質(zhì)典型例題：例、已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)求：（1）滿足條件的m的值（2）m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）m為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減??？說明：解這類有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)問題，最好能畫出拋物線的草圖，以便利用數(shù)形結(jié)合思想進行觀察和分析作者：王新民 tyxm_w針對性練習(xí)：1在同一坐標(biāo)系中，圖象與的圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為（ ）（

7、A） （B） （C） （D）2拋物線共有的性質(zhì)是（ ）（A）開口向上 （B）對稱軸是y軸 （C）都有最高點 （D）y隨x的增大而增大3若點在拋物線上，則點A關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是（ ）（A）（2，4） （B）（2，4） （C）（2，4） （D）（2，4）類型二、特殊yax2(a0)與一般y=ax2+bx+c(a0)相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化1圖形的移動（翻折，平移，旋轉(zhuǎn)）向上(向下)平移k個單位向 左 (或 右)平移個單位向 左 (或 右)平移個單位向上(向下)平移k個單位 平移：沿x軸平移，左加右減（x變）；沿y軸平移，上加下減（y變）。翻折：沿x軸翻折，y相反；沿y軸翻折，x相反。原點對稱：x、y全相

8、反。典型例題：作者：王新民 tyxm_w例、二次函數(shù)的圖象，可由的圖象A向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到 B向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到C向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到 D向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到作者：王新民 tyxm_w例2、將拋物線向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（ ）（A） （B） （C） （D）例3、拋物線可由拋物線向_平移_個單位，再向_平移_個單位而得到例4、將二次函數(shù) y = - x2 + 2x + 3的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，則平移后的拋物線的解析式為 . 例5、將拋物線向右平移1個單位

9、，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為例6、已知拋物線C1 的解析式 y = 2x2 - 4x + 5，拋物線 C2 與拋物線C1 關(guān)于 x 軸對稱，則拋物線C2 的解析式為 .拓展提升：1、已知的圖象是拋物線，若拋物線不動，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（ ）A B C D2、如圖，拋物線y1x22向右平移1個單位得到拋物線y2，回答下列問題：(1)拋物線y2的頂點坐標(biāo)_；(2)陰影部分的面積S_；(3)若再將拋物線y2繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y3，則拋物線y3的開口方向_，頂點坐標(biāo)_3、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為，

10、且過點（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標(biāo)類型三、的圖象與性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時，開口向上當(dāng)時，開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()的符號決定拋物線的開口方向；相等，拋物線的開口大小、形狀相同；如果相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同。平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式， 其中當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點； 當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點典型例題：例1、如圖，四個二次

11、函數(shù)的圖象中，分別對應(yīng)的是：，則a、b、c、d的大小關(guān)系為（ ）（A） （B） （C） （D）說明：當(dāng)相同時，幾條拋物線的形狀和大小相同，只是位置不同，相互間可以通過平移得到； 的絕對值越大，開口越?。焕?、已知二次函數(shù)為（1）寫出它的圖象的開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)； （2）m為何值時，頂點在x軸上方？例3、已知拋物線的圖象的草圖如圖所示，試確定a，b，c及的符號說明：這是二次函數(shù)中一類典型的數(shù)形結(jié)合問題，其確定符號的一般方法是：a的符號：由開口方向決定；的絕對值越大，開口越小；c的符號：由拋物線與y軸的交點（0，c）的位置來決定；b的符號：由對稱軸的位置及已確定a的符號一起決定（同左異右）

12、；的符號：由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定；的符號：由時，函數(shù)值的符號決定；作者：王新民 tyxm_w作者：王新民 tyxm_w的符號：由時，函數(shù)值的符號決定；例4、函數(shù)的圖象如圖所示，為該函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)這個圖象，你能得到關(guān)于該函數(shù)的哪些性質(zhì)和結(jié)論？（寫出四個即可）說明：此題是一道開放性題目，考查對二次函數(shù)圖象的掌握及對圖象所代表的二次函數(shù)的類型的理解作者：王新民 tyxm_w針對性練習(xí)：1、拋物線y = - 2 ( x 3 )2 7 對稱軸 x = , 頂點坐標(biāo)為 ；2、拋物線 y = 2x2 + 12x 25的對稱軸為 x = , 頂點坐標(biāo)為 .3、若將二次函數(shù)y=x22x + 3配方

13、為y =（xh）2 + k的形式，則y= 4、拋物線y= - 4（x+2）2+5的對稱軸是 。5、拋物線 y = - 3x2 + 5x - 4開口 , y = 4x2 6x + 5 開口 .6、已知P1（）、P2（）、P3（）是拋物線上的三個點，若，則的大小關(guān)系是_。7、已知函數(shù)y=x2-2x-2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范圍是( )A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x38、如圖中有相同對稱軸的兩條拋物線,下列關(guān)系不正確的是( )A h=m B k=n C kn D h0,k09、拋物線的頂點在原點，則m= 10、如圖拋物線對稱軸是x=1,與x軸交

14、于A、B兩點,若B點的坐標(biāo)是(,0),則A點的坐標(biāo)是 11、請選擇一組你喜歡的的值，使二次函數(shù)的圖象同時滿足下列條件：（1）開口向下，（2）當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小。這樣的二次函數(shù)的解析式可以是_。12、二次函數(shù)yax2bxc圖象如圖所示，則點A(ac，bc)在（ ）12題題圖O(第10題圖)xyA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限O（14題圖）13、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是，則下列結(jié) 論中正確的（ ）A B C D 14、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則直線的圖象不經(jīng)過（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限15、已知二次函數(shù)的圖象如圖所

15、示，則在“a0，b0，c 0，b24ac0”中，正確的判斷是（  ） A B  C  D15題 16題 17題16、已知二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中： abc > 0； b = 2a； a + b + c；a b + c ，正確的個數(shù)是（ ）.(A) 4個 (B) 3個 (C) 2個 (D) 1個 17、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)于a、b、c間的關(guān)系判斷正確的是（ ） (A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c <

16、 0拓展提升：1、已知拋物線y=(x - 4)2 - 3的部分圖像(如圖) 圖像再次與x軸相交時的坐標(biāo)是（ ）(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)2、如圖，已知二次函數(shù)y= (a0)的圖象的頂點P的橫坐標(biāo)是4，圖象交x軸于點A(m，0)和點B，且m>4，那么AB的長是 ( )(A)4+m (B)m (C)2m一8 (D)82m3、已知點A（1,）、B（）、C（）在函數(shù)上，則、的大小關(guān)系是( ) A B C D 4、開口向下的拋物線的對稱軸經(jīng)過點（1，3），則_。5、拋物線上有兩點（3，8）和（5，8），則對稱軸是 。6、已知二次函數(shù)，則當(dāng)m= 時

17、，其最大值為0.17、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=2時，x的值只能取0其 中正確的個數(shù)是（  ）Al個     B2個   C3個    D4個19題17題18題18、已知拋物線yax2bxc（a>0）的對稱軸為x1，交x軸的一個交點為（x1，0），且0<x1<1， 下列結(jié)論：9a3bc>0  b<a   3ac>0，其中正確的個數(shù)有（ 

18、0; ）A、0個  B、1個 C、2個 D、3個19、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論： ； ； ； ； ，（的實數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個22題20題20、如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A（3， 0），對稱軸為x1給出四個結(jié)論：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正確結(jié)論是（） （A）（B）（C）（D）21、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，則一定有（ ）（A）b2 - 4ac0 （B）b2 - 4ac=0 （C）b2 - 4ac0 （D）b2 - 4ac022、二次函數(shù)y =ax

19、2bxc 的圖象如圖所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，則P、Q的大小關(guān)系為 . 23、如圖7，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點（-3，0），（x1，0），且2<1<3，又與軸的正半軸的交點在點（0，2）的上方，下列有四個結(jié)論：a>b>0 6a+c>0 9a+c<0 9a+3b+2>0其中正確的結(jié)論是_（將你認為正確結(jié)論的序號都填上）考點四、直線與拋物線的交點（1）拋物線與軸（或平行于軸的直線）的交點該交點是由所得，且只有一個(,).特別地，當(dāng)x=0時，交點為(0, ).（2）拋物線與軸（或平行于軸的直線）的交點由方程組

20、所得，故交點的橫坐標(biāo)是方程的解；交點的個數(shù)受方程根的判別式?jīng)Q定，即：拋物線與軸相交有兩個交點（x1、k）（x2、k）；拋物線與軸相切有一個交點（x、k）（即頂點在上）；拋物線與軸相離沒有交點.特別地，當(dāng)時，即表示為與x軸的交點。二次函數(shù)，當(dāng)時,得到一元二次方程，即一元二次方程是二次函數(shù)的一種特殊形式1、已知函數(shù)解析式，求點的問題，可用方程或方程組解決（代入法）。2、已知點的坐標(biāo)，求函數(shù)解析式中待定系數(shù)的問題，也可用方程思想解決。一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.（5）拋

21、物線與軸兩交點之間的距離：若與軸的兩交點為，由于、是方程的兩根，故：所以：基礎(chǔ)練習(xí)題：1、若二次函數(shù)y=x24x+c的圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c=_ _（只寫一個）2、已知二次函數(shù) y = ax2 2 的圖象經(jīng)過點（1，- 1），則這個二次函數(shù)的解析式為 ，該函數(shù)圖象與 x 軸的交點個數(shù)為 .3、拋物線y = x2 - 6x + c 的頂點在 x軸上，則 c 的值是（ ）.（A） 9 （B） 3 （C） - 9 （D） 04、函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則k的取值范圍是 拓展提升：1、二次函數(shù)的值永遠為負值的條件是a 0, 02、二次函數(shù)y=x26x5，當(dāng)  &#

22、160; 時，y<0，且隨的增大而減小。3、二次函數(shù)y=x22x3與x軸兩交點之間的距離為_.4、已知： 二次函數(shù) y = ( m 3 ) x2 + 2mx + m + 2，其中m 為常數(shù)，且滿足-2 < m < 3，此拋物線的開口 ，與 x 軸 交點（填有、無），與 y 軸的交點在x 軸 （填上方、下方）.5、如果二次函數(shù)y = 2x2 + ( 2a b )x + b，當(dāng)且僅當(dāng)1 < x < 2 時，y < 0，那么 a、b 的值是 .6、拋物線 y = - x2 + 4x + n - 2 的頂點 P 在 x 軸上，求此拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點的坐

23、標(biāo).7、拋物線與Y軸交于點A，與X軸的正半軸交于B、C兩點，且BC=2，ABC的面積=3,求b、c的值。8、已知拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且交點為A（2，0）.（1）求b、c的值；（2）若拋物線與y軸的交點為B，坐標(biāo)原點為O，求OAB的周長（答案可帶根號）綜合提升1、若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅圖像分別表示量之間的關(guān)系，請按圖像所給順序，將下面的a、b、c、d對應(yīng)排序(a) 小車從光滑的斜面上滑下（小車速度與時間的關(guān)系）(b) 一個彈簧不掛重物到逐漸掛重物（彈簧長度與所掛重物重量的關(guān)系）(c) 運動員推出去的鉛球（鉛球高度與時間的關(guān)系）(d) 小楊從A到B后，停留一

24、段時間，然后按原速度返回（路程與時間的關(guān)系）正確的順序是：（ ）(A)（c）（d）（b）（a） (B)（a）（b）（c）（d）(C)（b）（c）（a）（d） (D)（d）（a）（c）（b）OxyOxyOxyOxyABCD2、在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（ ）Oxy3、反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象如圖，它們的解析式可能分別是（ ）（A）y=，y=kx2-x （B）y=，y=kx2+x （C）y=-，y=kx2+x （D）y=-，y=-kx2-x 4、已知一次函數(shù) y = ax + c 與二次函數(shù) y = ax2 + bx + c，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（ ）.(A) (B) (C) (D)5、下列圖中陰影部分的面積與算式|+（）2 + 2-1