圖形的旋轉(zhuǎn)變換在中考數(shù)學試題中的應用

1、圖形的旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應用 內(nèi)容摘 要 ：平面圖形的變換主要有平移 , 軸對軸 , 旋轉(zhuǎn) ,相似等幾種 , 旋轉(zhuǎn)變換是一種重要的幾何變換 , 一些久思不得其解的試題 , 若能正確運用 旋轉(zhuǎn)變換 , 就能開拓學生解題思路 , 提高學習興趣 , 使問題迎刃而解 , 關鍵詞 ：旋轉(zhuǎn)變換 ,解題應用前言隨著新課程標準實施 ,其基本理念對近幾年中考數(shù)學命題改革產(chǎn)生了重大影響，新課程標準下初中數(shù)學教材增添了圖形變化問題 ,使數(shù)學更貼近生活，更有利于培養(yǎng)學生實踐與操作能力 , 形成空間觀念和運動變化意識。因此幾何變換這一重要數(shù)學思想 ,在近幾年中考、競賽試題中頻頻出現(xiàn) ,這使得數(shù)學試題解題方法和技巧更加靈

2、活多變。 旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換中基本變換， 由于旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置 ,而不改變其形狀大小 , 這使得原來分散的已知條件和結(jié)論， 通過旋轉(zhuǎn)變換幾何圖形重新組合 ,產(chǎn)生新圖形 , 進而揭示條件與結(jié)論之間內(nèi)在的聯(lián)系 , 找出解題的途徑。下面結(jié)合例題談談旋轉(zhuǎn)變換在平面幾何解題中應用。一 , 有關旋轉(zhuǎn)變換的知識1, 旋轉(zhuǎn)變換的定義 ：由一個圖形改變?yōu)榱硪粋€圖形 , 在改變過程中 , 原圖形上的所有點都繞一個固定的點 , 按同一個方向 , 轉(zhuǎn)動同一個角度 , 這樣的圖形改變叫做旋轉(zhuǎn)變換 , 簡稱旋轉(zhuǎn) , 這個固定的點叫做旋轉(zhuǎn)中心 ,這個轉(zhuǎn)動的角度叫做 旋轉(zhuǎn)角。例如 , 如圖 1將 ABC 繞點 O 按

3、逆時方向旋轉(zhuǎn) 80 0 得 A1B1C1, 在這里點 O 叫做旋轉(zhuǎn)中心 , 旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)是逆時針 , 旋轉(zhuǎn)角是 80 02, 旋轉(zhuǎn)變換 的性質(zhì)： 1旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的圖狀和大小 , 2對應點到 旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等 , 3對應點與 旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于 旋轉(zhuǎn)的角3, 補充知識 , 三角形旋轉(zhuǎn)變換的定理 1：若將三角形以一頂點為中心 , 旋轉(zhuǎn)某一角度 , 則笫三邊的新舊位置亦夾成此角度的交角下面先來證明這個定理如圖 2, 設 ABC 以點 A 為中心 ,逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度后處于 A1B1C1 的位置,AD 為ABC 的 BC 上的高 ,AD1為新位置A1B1C1 的 B1C1 上的高 ,

4、 如圖 BC 與 B1C1 交于點 P,求證 , BC 與 B1C1 交角為證明： , 由 AB旋轉(zhuǎn) 角后 , 到達 AB1的的1BC,ADB1 C1, 而今AD1, DAD1,在四邊形 DA D1,P中而 AD也轉(zhuǎn)到 AD 的的位置, ADPA D1,0,1,四點共圓 , BPB DADP B 180 圓 A,D,P, D三角形旋轉(zhuǎn)變換的定理 2 ：若相似三角形中的一個三角形的兩邊分別垂直于另一個三角形的兩邊 , 則笫三邊也互相垂直。如圖 3. 在 ABC 和 DEF 中 ,DEAB,DFAC , 則 EF BC證明 ：將 DEF 作平移變換 , 便 D 與 A 重合, 設其位罝為 AE1F

5、1,11AB, 同樣如右圖 DE AB, 而 DEAE， AEAF1AC, 對 ABC 及 AE 1F1 來說 , 它們繞著 A 點逆時針旋轉(zhuǎn) 900,1111由定理 1 可知 ,E FBC, EF EF,EFBC, 二, 怎樣進行 旋轉(zhuǎn)變換我們在解題時 , 常常會遇到題設和結(jié)論中的某些元素 , 它們之間的關系 , 在原位罝上不易發(fā)現(xiàn) , 使我們很難思考 , 尤其是初學的學生更感到束手無策 , 這時 , 若采取適當?shù)淖儞Q這里只談一種 旋轉(zhuǎn)變換 , 將它們從原來的位罝變到一種新的位罝 , 使元素間的關系顯示得非常清楚 , 這樣變換后 , 就有利于我們利用某一定理完成解題工作 , 特別是題設中有相

6、等的線段 , 如等腰三角形 , 等邊三角形 , 正方形 , 一條線段被中點分成兩個相等部分 , 等等 , 這時 , 我們更可嘗試運用 , 現(xiàn)舉數(shù)例加以說明。1, 以正三角形為基礎的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例 1,p 為正 ABC內(nèi)一點 ,PC 3,PA 4,PB 5,求正三角形的邊長，分析：本題中線段 PA,PB,PC 如能設法使之成為同一三角形的三邊 , 就找到了解題途征 考慮到 ABC 是正三角形 , 為此把 BCP繞 C 點逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60°得 ACP解：以 C為中心 , 將 BCP逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60°, 那么 B落在 A 點,P 落在 P點 , 連接 P P由旋轉(zhuǎn)變換的

7、性質(zhì)可知 , BCP ACP , CP C P, PCP BCA 60°, PCP是正三角形 ,PP PC 3,P A PB5, PA 4, 因為222222所以 AP P是直角三角形 AP P 90° ,3 45,即PPPAPA ,作 AR垂直于 PC于 R, 那么 , APR 180° 60° 90° 30° , AR2,PR23 ,RC323 在直角三角形 ARC中,ACAR2CR2 2512 3這個例子可推廣為 ,若,p 為正 ABC內(nèi)一點 , PAl,PB m,PC n, 求 ABC的邊長 ,其結(jié)果為m2nl32, 以正方形

8、為基礎的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例 2, 已知：在正方形 ABCD內(nèi)有 AEF, EAF45°,E,F分別在 BC,CD上任意滑動 ,如圖 ,求證： 1 AEF 的高為定值 , 2EF BEFD證明：把 ABE繞點 A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90° , 在正方形外得 ADG, 則 AE AG, BEDG, FAG EAF 45°, AEF AGF, 故 AHAD定長 , 且 EFFG BEFG3. 以等腰三角形為基礎的圖形的旋轉(zhuǎn)變換例 3,已知： ABC 中， AB AC，在 AB C 內(nèi)有一點 P，使 APB > APC，求證： PC > PB證明： 將 APC

9、繞點 A 旋轉(zhuǎn)至 AP B ，如圖 , 連結(jié) PP ，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知 , APC APB, 則 AP AP，PCPB, APC APB，因為 APB > APC，所以 AP B > APB，由于 APP APP ，所以 BPC > BP P ，于是有 BP> BP，而 PB P C ，所以 PC > PB 4, 旋轉(zhuǎn) 180°中心對稱條件中有中點戓中線例 4, 在 ABC中, 點D是AB邊上的中點 ,E 丶F分別是 AC丶BC上的點 , 試證明 ,DEF的面積不超過 ADE和 BDF的面積之和分析：考慮如何把 ADE和 BDF拼成一塊圖形 ,然后和

10、 DEF的面積比較 ,證明：以 D為對稱中心 , 把 ADE旋轉(zhuǎn) 180°變換成 BDE1, 則四邊形 BFDE1是凸四邊形 , SADE SBDFS BDE1 SBDF S四邊形 BFDE1SDE1F S DEF當 E和A重合或 F和 B重合時 , 上式取等號小結(jié)：從以上數(shù)例可知 , 以正三角形 , 正方形 , 等腰三角形 , 線段的中點或中線為基礎的圖形的旋轉(zhuǎn)變換 , 一般步驟是： 1確定旋轉(zhuǎn)中心： , 正三角形 , 正方形一般以頂點為旋轉(zhuǎn)中心 , 等腰三角形一般繞頂角的頂點旋轉(zhuǎn) , 中線一般繞中點旋轉(zhuǎn) 1 確定旋轉(zhuǎn)對象即被變換的圖形 , 一般把某一個三角形旋轉(zhuǎn)到新的位罝, 例1

11、, 例2, 例3, 例4都是如此, 2 確定旋轉(zhuǎn)的方向和角度 , 旋轉(zhuǎn)的方向 只有順時針或逆時針 , 旋轉(zhuǎn)的角度正三角形旋轉(zhuǎn)角一般 600 , 正方形旋轉(zhuǎn)角一般為 90 0, 等腰三角形旋轉(zhuǎn)角一般為頂角的度數(shù)三 , 旋轉(zhuǎn)變換的應用1. 直接運用性質(zhì)解題 1如右圖所示 , 把 ABC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 350 后, 得到 A1B1C, A1B1 交 AC 于點 D, 若A1DC900, 則 A的度數(shù)是 ,A350,. B500,. C550, . D600, 2如圖 , COD 是 AOB 繞點 O 旋轉(zhuǎn) 400 后所得的圖形 , 點 C 恰好在 AB 上, AOD900,則 B 的度數(shù)是

12、度 3如下圖 1所示 , 已知在 AOB 與 DEF 中 ,AB EF B E,ECBD, 顯然有 ABC FED, 若圖形經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)得到圖 2 且有 EDB 250, A660,則 AMD 的度數(shù)是 度 , 若將圖形繼續(xù) 旋轉(zhuǎn)后得到圖 3, 此時 D,.F,B 三點在同一條直線上 , 且有 DE2DF, 連結(jié) EB, 已知 EFB 的面積為 5cm 2, 則四邊形 ABED 的面積為多少？答案 1迭 B, 2 B 的度數(shù)是 600 3 AMD 的度數(shù)是 8902四邊形 ABED 的面積為 15 cm例 5,有甲乙丙三個村莊 , 要在中間建一供水站向三村送水 , 現(xiàn)要確定供水站的位置 ,

13、使所需管道總長最小 ,解： 首先實際問題數(shù)學化 ,在 ABC 內(nèi)求一點 O, 使 OAOBOC最小 , 由此可見 , 所找的位置點 O 實際上就是 ABC 的費馬點證明費馬點 , a當 ABC 所有內(nèi)角 <120°時如圖 ,O 是銳角 ABC 內(nèi)一點 , 且 AOB BOC COA 120°,P 是 ABC 內(nèi)異于 O 的仼意一點 ,求證： PA PBPC OAOBOC分析：這里的兩組線段 PAPBPC和 OAOBOC都不在同一條線段上 , 難以比較 , 我們設法通過旋轉(zhuǎn)變換 , 使 OA,OB,OC 接成一條線段 ,注意到 AOB BOC COA 120°

14、, 若旋轉(zhuǎn)角等于60°, 可能成功 ,證明：, 不仿認為 P在 ABC 內(nèi), 把 OAB 繞 B 點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到 OAB, 點 P 轉(zhuǎn)到 OAB 內(nèi)的點 P,連結(jié) PA,PP,OO 則 OBO,PBP都是正三角形 , O O OB, ,O A OA ,PA PA, P P PB. A OB AOB120°, BOC120° ,故有 C,O,O,A 共線 ,旦 ACOAOO OCOAOB OC,PA P P PCPAPB PC, 無論 P在 ABC 內(nèi)的位罝如何 , 由干 P 與 O 不重合 , 知 APPC 是折線 , 其長度大于線段 AC 的長度 , , P

15、APBPC OAOB OC b如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于 120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點證略 ,3, 用旋轉(zhuǎn)變換的方法解作圖題我們在研究作圖題時， 一般都先進行分析 假定要求作的圖形認為可以作出， 可先畫一個草圖來表示 若作圖的問題比較簡單， 已知的元素和求作的元素間關系明顯，直接有定理可用，則可立即進行作圖但有不少題目，卻不是這樣往往圖形中的各種元素不是集中在一起， 分散相離，很難用定理把兩者聯(lián)系起來， 這就會使我們產(chǎn)生無從落筆的困難， 尤其是初學者更是如此 此時，不仿采取各種變換的方法， 如合同變換， 相似變換等等 這里只談合同變換中一種旋轉(zhuǎn)變換通過圖形中某些元素的旋轉(zhuǎn)變

16、換， 使之相對集中， 顯現(xiàn)出已知與求作中元素之間的關系 ,，揭露出它們的內(nèi)在聯(lián)系 ，從而得到作圖方法下面通過一 - 些實例，說明如何運用旋轉(zhuǎn)變換來解作圖例 6,求作一個正三角形，使它的三個頂點分別落在已知三條平行線上已知三條平行線 L 1,L2, 和 L3 如圖求作一個正三角形 ABC, 使 A,B,C 三點分別落在， L1,L2, 和與 L3 上分析：假定已經(jīng)作得正 ABC ，如右圖在 L1 上我們可以任取一點 A ，作為正 ABC 的一個頂點。再在 L2 上取一點 B，連結(jié) AB 作為正三角形的一邊顯然，其第三個頂點 C 不一定剛落在 L3 上我們?yōu)榱藦囊椎诫y，先放棄這個第三頂點必須在 L

17、3 上的條件這樣，就有了很大的“自由度 ，在 L2 上可以任取一點又為了簡單 ,方便，我們可以過 A 作 ABL2 ，與 L2 相交于 B也就是說，在 L2 上取一點 B，使 AB L2，從而以 AB 為一邊作出一個正 AB C，如上圖這時一般說來， C點不會恰巧落在 L3 上所以現(xiàn)在的問題是如何把 C 移到 L3 上去， 很容易想到 (假定正 ABC 已經(jīng)作得如圖 )只要將 AB B 繞著 A 點，以逆時針方向旋轉(zhuǎn) 6 OO，即可到達 AC C 的位置作法：在 L1 上任取一點 A, 過 A 作 AB1L2 與 L2 交于 B1,以 AB1 為一邊作正 AB1C1 過 C1 作 AC1C90

18、0, C1C與 L3 相交干 C 點, 連結(jié) AC 作 CAB600 與 L2 相交干 B, 連結(jié) BC, 即得 ABC,(2) 繼續(xù)證： B1A C1BAC60 , B11AC, 又 ABAC, AB10C11BAABC1C 900, AB 1B AC 1C, ABAC, 但 BAC 600, ABC 為正三角形 , 亦即為所求之三角形4,用旋轉(zhuǎn)變換的方法解中考題例 7, （07年臨沂市）如圖 6 1，已知 ABC中， ABBC1， ABC90°，把一塊含 30°角的直角三角板 DEF的直角頂點 D放在 AC的中點上 ( 直角三角板的短直角邊為 DE，長直角邊為 DF) ，將直角三角板 DEF繞 D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。 (1) 在圖 6 1中， DE交 AB于M，DF交 BC于N。證明 DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板 DEF與ABC的重疊部分為四邊形 DMBN，請說明四邊形 DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；旋轉(zhuǎn)至如圖 62的位置，延長 AB交DE于M，延長 BC交 DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3) 繼續(xù)旋